高階非線性完全頻散性波浪數值模型及應用

馮衛兵， 邵 東， 王明明， 張 俞

(1. 河海大學 港口海岸和近海工程學院，江蘇 南京 210098; 2. 海岸帶資源與環境研究所，江蘇 南京 210098; 3. 南京水利科學研究院，江蘇 南京 210029)

高階非線性完全頻散性波浪數值模型及應用

馮衛兵1,2， 邵 東1， 王明明3， 張 俞1

(1. 河海大學 港口海岸和近海工程學院，江蘇 南京 210098; 2. 海岸帶資源與環境研究所，江蘇 南京 210098; 3. 南京水利科學研究院，江蘇 南京 210029)

為更精確地模擬強非線性完全頻散性波浪的傳播，采用長波上非線性重力表面波傳播高階數學模型，綜合參考此模式已有的研究成果，建立了一個高達五階的完全頻散性非線性數值模型。應用該五階模式對斜坡地形、潛堤地形及正弦沙鏈地形進行模擬計算，并與已有的實驗資料進行對比，結果顯示五階模式較低階模式模擬結果的精度上有了明顯提高，模擬波形與實驗結果吻合度良好，證明高階模式更適用于高頻散高非線性波浪傳播的數值模擬。

完全頻散性；波浪傳播；斜坡；潛堤；五階模式

波浪是海岸工程中重要的海洋動力條件，對海工結構安全、港灣停泊條件、海岸泥沙運動、污染物擴散等具有重要的影響，因此研究波浪的運動情況對海岸工程建設有重要意義。天然波浪有頻散性、非線性和隨機性等特性，運動規律受地形、障礙物、流場、水位、能量攝入與損耗等諸多因素的綜合影響。迄今為止，波浪的傳播問題只有一些特例有理論解析解，所以研究其控制方程的數學模型及數值模擬具有很大的應用價值。目前被廣泛采用的數學模型主要有四種：基于水深和流場緩變假定的波浪折射變形數學模型(以波能、波作用守恒方程為主的控制方程)及其擴展[1-2]；基于微幅波理論的緩坡方程及其擴展[3-7]；基于非線性長波Boussinesq方程及其擴展[8-10]；此外，具有完全頻散性非線性規則波傳播方程是近年來一個重要的研究方向[11-15]。

文中擬采用洪廣文[13, 16-18]所提出的完全頻散性波浪模型(二階偏微分方程,其系數為高階非線性kη的函數)進行非線性波浪的數值模擬，對該模式的高階形式進行研究，以期提高數值模擬的精度，使得此模型在波浪強非線性頻散性情況下的模擬結果更為精確可信。

1 波浪數學模型

對于波浪的傳播，洪廣文等[13, 19]提出了緩變水深、水位與流場水域中的完全頻散性非線性傳播數學模型，其五階模型摘要如下。

基于流動無旋條件下的勢流理論，波流組合的連續性方程為：

其中，g為重力加速度，W*為綜合能量因子，代表加入Bernoulli方程中的一個小量的能量耗散系數。因為式(1)為線性方程，文中僅考慮長波上的重力表面波，因此φT可以被分解成波浪速度勢φ和長波速度勢φc，波高也可分解為波浪與長波兩部分：

在時域和空域范圍內，ηc均為一個緩變因子，因此，水面的時間梯度主要由波浪決定，即Dηc/Dt=0。為將三維控制方程(式(1)及邊界條件)，轉換成平面二維形式，并分解為當地與遷移兩部分，可以設求解波浪速度勢為：

φ(x,y,z,t)=F(x,y,z,t)Φ(x,y,t)

式中：F(x,y,z,t)為當地部分，最早由Berkhoff在推導靜水中線性緩坡方程時引入，主要用于描述沿水體縱向的變化，而Φ(x,y,t)為遷移部分，描述在二維平面中的變化。應用關于F和Φ的二階格林公式，經推導可將方程化為如下形式：

=C(t),z=ηt

式(4)與式(5)構成給定淺水長波作用下波浪傳播控制方程組，為確定其顯示表達式，F(x,y,z,t)=coshk(h+z)/coshk(h+ηc),-h≤z≤ηT=η+ηc；頻散參數k由下式確定：

于是，非線性波浪傳播模型式(4)與式(5)可以表示成以下顯式形式：

為對這個五階的數學模型進行驗證，進行如下工作：

2 波浪傳播方程的數值解法

2.1方程的形式

為方便計算，將式(7)和式(8)即緩變水底地形水域完全頻散性非線性波傳播方程(無流情況)寫成統一的形式：

為作線性迭代，此五階模式保留線性項：

2.2數值方法

對控制方程組采用時間前插，空間變網格中心差的差分方法進行離散，離散后的方程在改進的Crank-Nicholson預測——校正——迭代模式基礎上，采用文獻[16]提出的淺水復雜地形條件下非線性方程的新解法(同胚線性的預測——校正——迭代方法)進行計算，該差分格式具有無條件穩定性。空間差分采用變網格的形式。

數值解法如下：

式中:β是迭代格式中引入的松弛因子，其取值為0≤β≤1，文中取β=0.5。

計算時，在初始時刻(t=0)，除入射邊界外，計算域其他部分的的波面η及勢函數Φ均賦值為0。在入射邊界處設置Tanimoto型邊界條件以消除反射波。對出流邊界，采用由洪廣文和張洪生[20]提出的“時、空移位”統一邊界條件和海綿層消波相結合的方法來處理出流邊界，以達到更好的消波效果。

3 模型驗證與分析

為驗證上述建立的五階模型，文中進行了多種不同地形的驗證。由于篇幅所限，此處僅列出針對斜坡地形、Dingemans潛堤地形及正弦沙漣水域“Bragg”共振的模擬和分析。

3.1斜坡地形的模擬和分析

波浪從深水區傳播至淺水區后會發生相當復雜的改變，想要精確模擬這些現象，要求數值模式能夠包含非線性變形、折射、繞射、波與波之間的相互作用、破碎、爬高等多種因素的計算能力。Kenney等[21]采用Hansen和Svendsen 1979年進行的斜坡上波浪破碎實驗得出的數據進行模型驗證，這里也將采用此實驗對五階模型進行驗證比較。Hansen實驗模型布置如圖1所示。

圖1 Hansen與Svendesn實驗地形Fig.1 Experiment of Hansen and Svendesn

對均勻水深采用一種網格，斜坡部分采用漸變步長方法計算，網格在計算區域內的部分網格步長從大到小連續變化，漸變網格法可以防止由于網格節點處空間步長突變，產生反射影響計算結果，優勢在于改善計算結果的同時，節省了計算時間和計算機內存。波浪破碎采用試算的方法確定破碎點，五種波浪要素情況下的各參數取值如表1所示。

為檢驗兩組不同數據的符合程度，采用Willmott提出的一致性指標公式[22]：

對模擬結果和實驗值進行定量分析。

表1 斜坡數值模擬參數取值表Tab.1 Parameters of the numerical simulation of a sloping bottom

如圖2所示，文中列出五種波要素情況下斜坡上相對波高的模擬值與實驗值的對比，圖中實線為模擬值，散點為實驗值，x軸表示水深值，y軸為相對波高值。

圖2 Case1至Case5相對波高模擬值與實驗值比較Fig. 2 Comparison of the calculeted relative wave heights and experimental ones in cases 1 to 5

從圖2中可以看出，破波前后此模式模擬出的波高值及變化趨勢與實測數據接近。表2采用一致性指標對數據進行分析，并與前人所得出的其他模式模擬成果進行比較。如表中一致性指標值所示，本模式的一致性比較結果較先前的結果有了很大的改善，說明在此斜坡地形情況下，五階模式可以更好地模擬非線性波浪傳播。

表2 不同模式的結果一致性分析表Tab. 2 Table of consistency analysis

3.2Dingemans潛堤地形的模擬和分析

通常，波浪傳播至淺水區遇到潛堤后，部分主波能量由于波浪非線性的提高由低頻迅速轉移至高頻，高頻波邊界與自由水面的相位差引起諧波振動，即產生次波。即使主波為長波(非線性很弱)，自由高頻諧波的頻散性仍然是影響波浪變形的主要因素，波浪能量在諧波之間進行轉移。因此對波浪的頻散性和非線性的精確預測十分必要。波浪越過潛堤后，每個高頻次波都以自身的相位速度進行傳播，從而迅速改變波浪的形狀。深水處的相對水深kh要大于潛堤頂部淺水區的相對波數。這些現象都要求數值模型在高頻散性波浪區域具有良好的適用性，因此預測波浪在潛堤地形上的傳播變形是波浪傳播數值模型的一個較好的驗證。

為驗證波浪的非線性和頻散性，Dingemans 1976年前后在一潛堤地形進行物理實驗[23]，測量了波浪在潛堤地形上的傳播變形，該實驗地形為：設置21.0 m長的數值水槽，左端為入流邊界，右端采用開邊界，水槽靜水深度為0.4 m，在距入流邊界5.7 m處設置一個梯形潛堤，迎浪斜坡坡度1∶20、背浪斜坡坡度1∶10，堤頂平臺寬2.0 m，水深0.1 m，具體布置如圖3所示。圖上方的數值表示測波儀據造波板的距離(單位：m)，用以采集固定點隨時間歷程的波面情況。

圖3 Dingemans試驗布置及測點位置示意Fig. 3 Location of the measuring points in the experiment of Dingemans

采用五階數值模型模擬時，入射波浪振幅a=0.01 m，入射波周期T=2.02 s，計算網格間距Δx=0.2 m，時間步長Δt取T/60。在數值計算中選取了圖3中所標明的11個斷面進行模擬(從距離造波板2.0 m至21.0 m之間共11個測點)。由于篇幅所限，文中僅列出具有代表性的幾個斷面的計算結果。圖4為各測點的數值計算值與Dingemans的試驗數據的比較，其中縱軸為波面值，橫軸表示時間歷程。

圖4 各測點處波面值數值解與Dingemans試驗數據比較Fig. 4 Comparison of the calculated results and experimental data of Dingemans at the measuring points

從總體上來看，波浪在爬上潛堤后，在潛堤堤項、潛堤后坡及堤后水域，波峰與波峰之間產生了副波，與實測曲線的規律相符。在潛堤前的測點，即2.0 m、5.7 m的測站，波面模擬結果與實測實驗數據吻合度良好，這是因為潛堤前部水深未發生變化，波浪處于定常狀態(見圖4(a))；波浪在潛堤頂部測點，即12.5 m、13.5 m的測站處，由于水深變淺，波浪開始產生非線性變化，模擬值與實測值的吻合度較好，峰值、谷值以及次波形態與實驗值都比較一致(見圖4(b))，證明此模式能夠適用于非線性波浪的傳播；對于堤后各測站，即19.0 m 和21.0 m處的測站，因為波浪較強的頻散性，波形與實驗值的偏差略大于堤前與堤頂各測站，但是本數值計算結果與實驗結果的波形吻合仍然比較好，模擬結果可信。

為體現文中計算模式的優越性，選擇離潛堤較遠處的兩個測點(19.0 m，21.0 m)，將本模式計算值與文獻[2]中的數值模擬結果、以及實測實驗值相比較。如圖5所示，從文中五階模式的模擬值與文獻[2]的三階模式所得出的結果對比來看，五階模式能夠更精確地表現出次波形態，非線性現象也表達得更加直觀，證明五階模式在此種地形情況下，計算的精度與結果的可靠性有了明顯的提升。與三階模式相比，五階模式較大地提升了模式的非線性和頻散性，可以更貼切地模擬高非線性及頻散性情況下的波浪傳播。

圖5 五階模式、三階模式以及實驗數據比較Fig. 5 Comparison of the results of 5th-order model, 3rd-order model and experiment

為更加直觀量化地表示模式計算值與實驗實測數據的接近程度，此處也采用上述一致性指標對數據進行分析。表3列出對應圖中所示的測點的一致性指標值，并在測點19.0和21.0 m處與三階模式進行了比較。

表3 一致性分析表Tab.3 Table of consistency analysis

可以看出，文中五階模式的計算結果與實測值吻合很好，并在非線性較強的堤后測點19.0和21.0 m處較文獻[2]中的三階模式有了明顯的改良，與實測值達到了很高的吻合度。

3.3波浪通過正弦沙漣水域“Bragg”共振的模擬

在平均水深不變的情況下，線性波通過正弦沙漣底床時，因水底地形對波浪的作用，入射波產生“Bragg”共振現象。波狀地形前反射波增大，波狀地形后透射波減小。Davies等[24]針對正弦沙漣底床地形進行波浪傳播物理模型試驗，水深由下式給出，計算地形如圖6所示。

式中：λ為沙漣波長，l為對應的沙漣波數，n為沙漣個數，xs為沙漣起始位置。

圖6 正弦沙漣地形數值水槽Fig. 6 Numerical water tank with sinusoidally rippled topography

已有研究表明，當n等于2 和4 時，原始緩坡方程計算結果和實測值仍較為符合，而n等于10 時，其計算結果則與實測值有較大誤差，這里選取n=10的情況進行驗證計算。入射波波參數:H=0.05 m,T=1.31 s，L=2 m。沙波地形前8L(x1=16 m)的距離處為入流邊界，沙波后2L處為開邊界位置。反射系數按如下公式確定：

圖7中分別為位于x=20、24、30、34、40 m的5個特征點的波面時間過程線。

圖7 各特征點波面時間過程線Fig. 7 Variation of wave surface in function of time at each feature point

由圖7可看出，考慮地形因子J的五階非線性模式模擬的結果穩定可信。另外，文中非線性模型模擬的反射系數較試驗值略小，透射系數略大(表4中列出的各模式反、透射系數)表明非線性波浪透射能力比線性波浪強。

表4 各模式反、透射系數比較表Tab. 4 Comparison of reflection and transmission coefficient of different models

4 結 語

基于長波上非線性重力表面波傳播數學模型的五階形式，建立了一個五階的完全頻散性非線性數值模型，通過實驗地形波浪傳播變形情況進行了較為系統的模擬計算，驗證了波浪的非線性、頻散性等特性以及波浪的破碎，對五階模式的精度及適用性進行了探索和研究。通過斜坡地形、Dingemans潛堤地形及正弦沙鏈地形的波浪傳播模擬結果可以看出，五階模式模擬的結果穩定可信，并且比三階模式在模擬精度上有較大的提高，對于復雜地形和強烈非線性波浪的傳播模擬具有更好的適用性。文中驗證只限于對二維非線性傳播典型問題，三維問題有待今后進一步探討。

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The numerical application of a high-order nonlinear and fully dispersive wave model

FENG Weibing1,2， SHAO Dong1， WANG Mingming3， ZHANG Yu1

(1. College of Harbor, Coastal and Offshore Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. Institute of Coastal Resources and Environment, Hohai University, Nanjing 210098, China; 3. Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, China)

For the purpose of a more accurate description of the propagation of waves with a strongly non-linear and fully dispersive nature, a high order and fully dispersive nonlinear wave propagation model is used in enhancing the precision, so that a 5th-order, fully dispersive and strongly non-linear numerical model is realized. By applying the 5th-order model to the calculation for a uniform sloping bottom, a submerged breakwater and a sinusoidally varying topography, it has been observed that the accuracy has been significantly improved with a better correspondence of the form of the wave to experimental data, which illustrates that the 5th-order model is more suitable for the simulation of the propagation of fully dispersive and strongly non-linear waves.

fully dispersive; wave propagation; sloping bottom; submerged breakwater; 5th-order model

TV139.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2015.01.006

1005-9865(2015)01-0049-09

2014-01-17

國家自然科學基金資助項目(51279055)

馮衛兵(1960-)，男，江蘇南通人，教授，博士生導師，主要從事海岸及河口動力學，港口、海岸工程規劃與管理，海洋及海岸工程環境，海岸帶資源開發與管理等研究。E-mail：wbfeng60@126.com