基于交集運算的自由度快速求解方法

盧文娟　張立杰　張一同

1.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,066004

基于交集運算的自由度快速求解方法

盧文娟1,2張立杰1,2張一同1,2

1.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,066004

為簡化機構自由度計算，基于GOM公式和桿組位移參數求交，通過分析平行約束力的位置關系判斷基點轉動參數的有效性，給出并證明了轉動不受約束的3種情況，為有效解決集合求交運算中的轉動參數是否被約束問題，以及機構自由度快速計算和自由度運動性質判別提供了一種簡潔實用的方法。以3種典型機構為例，對基點參數有效性判別和機構自由度快速計算進行了驗證。

自由度；快速求解；集合求交；過約束

0　引言

機構自由度計算是機構分析的最基本問題。在機構自由度研究近160年的歷史中，產生了幾十種具有代表性的自由度計算公式，但這些公式中的大多數在求解某些含有過約束的機構時，其直接計算結果與實際不符[1]，原因在于沒有正確考慮機構中的過約束。當機械系統中對同一構件提供有兩個或以上作用效果相同的約束時，便產生了過約束。對過約束的處理是機構自由度計算的關鍵，同時也是進行機構自由度計算要解決的瓶頸問題。

機構過約束處理方法大致分為兩類：一類是在公式中加入過約束的項進行過約束處理的方法，如黃真等提出的修正的K-G公式[1-3]；另一類是從避開過約束角度考慮的機構自由度快速求解處理方法，文獻[4-9]為這方面具有代表性的研究成果。

在機構學不斷更新的過程中，如何將自由度計算盡量淺顯地表達出來，使其更容易為普通技術人員所理解具有重要的實際意義。本文以交集計算避開過約束為前提，基于GOM公式[10]介紹一種涉及機構轉動問題的自由度計算方法。

1　自由度快速求解方法

1.1GOM公式

以揭示機構自由度、廣義桿組和輸出參數三者的內在關系且避開過約束為目的，基于廣義桿組自由度和基點參數等新概念，建立了一種新的自由度公式——GOM公式。這里定義每個獨立環路與其相鄰環路不重復的獨立桿件的組合為廣義桿組，簡稱為桿組。桿組在空間坐標系中位移的向量表達形式為

(1)

由n個桿組位移參數組成的矩陣稱為位移參數矩陣，其表達式為

由L個獨立環路組成的機構，其自由度數目為

(2)

式(1)和式(2)合稱為GOM公式。

1.2自由度快速求解方法的基本思想

以圖1所示機構為例，介紹并推導基點角位移參數有效性的判斷原理。在圖1的兩機構中，兩桿組組成分別相同，圖1a中的2個分支Z方向軸線不重合，而圖1b中的2個分支Z方向軸線重合。

(a)F=1，一個轉動自由度(b)F=2，2個轉動自由度圖1　(Z)U(Y)R(Y)-(Z)U(Y)R(Y)機構

圖1中的2個機構在圖示坐標軸方向中的位移參數矩陣均為

表示2個桿組中均存在2個沿Y方向的約束力。不考慮組成并聯機構的2個桿組的軸線關系對基點參數的影響，直接求交集得到的基點參數可記為

2個桿組參數中均存在沿Z方向的轉動角位移，而基點參數中對應的γ是否有效，取決于Y方向的平行約束力是否約束Z方向的轉動。

結合螺旋理論中約束螺旋和運動螺旋的互易積為零[11]的思想，分析平行約束力(不失一般性地設為Y方向)對轉動(設為Z方向)的約束關系。

對于n(n≥2)個同方向的平行約束力構成的幾何關系可能為：共軸、共面平行或空間平行。

(1)平行約束力共軸時，其最大線性無關數為1，僅約束沿著約束力方向的移動，不會約束任何轉動。

(2)平行約束力共面時，首先寫出由該n個Y方向約束力組成的約束螺旋系。為使得螺旋形式簡單，沿其中一個約束力方向建立坐標系，使其通過坐標系的原點，其約束螺旋系的一般表達形式為

(3)

(3)約束力空間平行時：首先寫出由該n個Y方向約束力組成的約束螺旋系。為使得螺旋形式簡單，沿著其中一個約束力方向建立坐標系，使其通過坐標系的原點，其約束螺旋系的一般表達形式為

(4)

式(4)中第一個和第二個約束螺旋表示2個共面的Y方向約束力，a，c，e可任意選取。由于是空間約束力系，則d和f中至少有一個不為零。對式(4)求其反螺旋，則可得到運動螺旋系的表達式：

(5)

該螺旋系表示具有繞Y方向的轉動以及沿X和Z方向的移動，而Z方向的轉動是被約束的。

綜上所述可知，某軸線方向的轉動不受約束，存在以下三種情況：

情況一：桿組中有平行約束力存在，但平行約束力共線，其垂直方向的軸線轉動不被約束。

情況二：桿組中有平行約束力存在，但平行約束力共面，則垂直于平行約束力而與約束力平面共面的軸線轉動不被約束。

情況三：桿組中不存在垂直于某轉動軸線方向的平行約束力，則該軸線方向的轉動不被約束。

1.3自由度快速求解方法的步驟和特點

建立在位移參數矩陣基礎上的本文自由度快速求解方法，只需簡單判斷轉動垂直方向上平行約束力的位置關系即可進行求解。其求解流程圖如圖2所示。

圖2　基于集合求交自由度求解流程圖

基于以上三種情況進行集合求交計算自由度的方法具有如下特點：

(1)用α、β、γ、x、y、z6個元素描述各桿組的位移特征，可以直接表達各桿組的移動軸線和轉動軸線方向。

(2)采用“集合求交”避開了機構過約束計算。

(3)將組成機構的各桿組作為一個單元，用桿組的位移參數向量去描述桿組的運動，而非單獨描述某單個運動副的運動。

(4)用機構中各桿組的位移特征并行求交處理取代將各個桿組依次疊加進行交集運算的處理方式，以避開環路數目較多的機構帶來的計算上的不方便。

(5)桿組位移參數表示桿組對動平臺提供的約束的性質和約束力(偶)的方向；利用桿組的廣義自由度進行機構的自由度表示，體現了各桿組對輸出構件的約束作用。

(6)將螺旋理論思想應用于求交集計算和判斷同方向約束力對垂直方向轉動的約束，解決了轉動求交不便的問題。

2　求解實例

為將上述提到的機構具有某軸線方向轉動，且不受約束的三種情況應用到交集運算中，現以三種代表性的典型機構為例，進行機構自由度快速計算，并驗證機構平臺轉動與平行約束力的關系。

例1：沒有平行約束力的求交集問題。

圖3所示為黃真等[12]于2000年發明的一個完全對稱的4-URU并聯機構，它由4個相同的URU分支同時連接上下平臺構成。分支中的第一個是虎克鉸，即U副，第二個是轉動副R，第三個也是U副。每個URU分支相當于包含了5個單自由度的轉動副，其中間轉動副R兩側的兩個轉動副是相互平行的，且第一個轉動副與基面相垂直，第5個轉動副與運動平臺相垂直，起始時上下平臺平行。

圖3　4-URU機構

根據圖2流程進行的圖3機構自由度計算步驟如下：

(1)驗證R12和R22軸線共面不平行時，其軸線是否垂直，且不影響計算結果。令R12和R22軸線垂直，并分別以R12和R22的軸線方向為坐標軸的X方向和Y方向(圖3)，則機構的位移參數矩陣可表示為

各桿組的位移參數及桿組的階可分別表示為

(2)不考慮轉動是否被約束，通過直接求交集得到基點參數。其表達式為

(3)基點參數中僅有Z方向的角位移參數，且在垂直于Z軸方向上沒有平行約束力，根據1.2節中的情況三，即γ為有效參數，則

(4)根據GOM公式(式(1)),求得的各桿組的廣義自由度為

將數值代入GOM公式(式(2))。求得的機構自由度數為

例2：約束力共線時的求交集問題。

圖4所示為對稱的五自由度并聯機構，它由3個相同的RR(RRR)分支同時連接上下平臺。RR(RRR)表示分支由5個轉動副構成，括號中的3個R表示轉動副的軸線交于一個中心點，即3個分支的3個中心點重合于一個共同的中心點。每個分支的前2個轉動副平行且垂直于基面[13]。

圖4　3-RR(RRR)并聯機構

(1)為使得到的桿組參數最少，以匯交中心為坐標軸原點，以Ri1軸線方向為Z軸方向建立坐標系，得到的機構位移參數矩陣為

各桿組的位移參數及桿組的階分別為

(3)基點參數中存在3個角位移參數，且在Z方向上存在3個相平行的約束力，且3個約束力的作用點均作用在匯交中心，即3個約束力共線，滿足1.2節中介紹的情況一，即存在一個公共約束，但不對任何轉動產生約束，基點參數中不存在無效參數。其數學表達式為

(4)根據GOM公式計算的各桿組的廣義自由度為

計算的機構自由度為

例3：轉動受平行約束力約束的求交集問題。

圖5所示為一3分支S/PRS/PSS非對稱并聯機構[14]，機構的上下平臺都是三角形。機構桿組1中僅有一個球副，桿組2是5自由度PRS運動鏈，桿組3是7自由度PSS運動鏈，為無約束分支，不對動平臺產生約束。

圖5　S/PRS/PSS非對稱并聯機構

(1)為使得到的桿組參數最少，以轉動副R的軸線方向為Y軸。得到的機構位移參數矩陣表達式為

各桿組的位移參數及桿組的階分別為

(3)基點參數中存在3個角位移參數，且在Y方向上存在2個相平行的約束力。2個約束力的作用點分別在桿組1和桿組2的球副中心(圖5)，不滿足1.2節中介紹的三種情況，不能構成過約束，但會約束動平臺的一個轉動，即約束兩力所決定的平面法線方向的轉動，使得基點參數中角位移參數γ成為無效參數，即

(4)根據GOM公式計算的各桿組的廣義自由度為

計算的機構自由度為

3　結論

為簡化機構自由度計算，本文基于GOM公式和桿組位移參數求交法，以及螺旋理論分析了平行約束力的三種位置關系，結合基點轉動參數的有效性，給出了轉動不受約束的三種情況：

(1)桿組中有平行約束力存在，但平行約束力共線，其垂直方向的軸線轉動不被約束。

(2)桿組中有平行約束力存在，但平行約束力共面，則垂直于平行約束力而與約束力平面共面的軸線轉動不被約束。

(3)桿組中不存在垂直于某轉動軸線方向的平行約束力，則該軸線方向的轉動不被約束。

基于本文三種情況的機構自由度計算方法，可有效解決集合求交運算中的轉動參數有否被約束的問題，為機構自由度快速計算和自由度運動性質判別提供了一種簡潔、實用的方法。同時也為機構自由度的深入研究和復雜機構自由度的化簡分析開辟了新的途徑。

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(編輯何成根)

Fast Solution Method of Mobility Calculation Based on List Intersection

Lu Wenjuan1,2Zhang Lijie1,2Zhang Yitong1,2

1.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education of China, Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Hebei Key Laboratory of Heavy Mechinery Fluid Power Transimission and Control,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

In order to express DOF calculation as simple as possible, based on the GOM formula and the intersection calculation of displacement parameters of general link group, three cases were presented and proved when the rotation was not as constrained. These cases were proposed by analyzing the relationship of parallel constrain forces to judge the validity of base point parameters. Therefore, the problem of the validity judgement of base point parameters in the calculation of “rotation intersection” was solved effectively. And it provides a neat and practical method for the quick determination of the DOF and motion characteristics. Finally several typical examples from the literature were performed to show how to judge the validity of base point parameters and to calculate the DOF with the method mentioned above.

degree of freedom(DOF); fast solution; list intersection; virtual constraint

2013-11-08

國家自然科學基金資助項目(51005195, 51275438)；河北省高等學?？茖W技術研究項目(QN2014175)

TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.018

盧文娟，女，1983年生。先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室、燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為并聯機構自由度分析和型綜合。發表論文10余篇。張立杰(通信作者)，男，1969年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。張一同，男，1945年生。燕山大學機械工程學院教授。