系統(tǒng)可靠性評估的超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)及其靈敏度方法

陳東寧　姚成玉

1.燕山大學(xué)河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,0660042.先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室(燕山大學(xué)),秦皇島,0660043.燕山大學(xué)河北省工業(yè)計算機控制工程重點實驗室,秦皇島,066004

系統(tǒng)可靠性評估的超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)及其靈敏度方法

陳東寧1,2姚成玉3

1.燕山大學(xué)河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,0660042.先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室(燕山大學(xué)),秦皇島,0660043.燕山大學(xué)河北省工業(yè)計算機控制工程重點實驗室,秦皇島,066004

利用區(qū)間模型描述根節(jié)點的失效可能性,解決根節(jié)點的失效可能性不易精確獲取的問題；通過引入超橢球模型來界定不確定性參量的取值范圍，解決區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在求取可靠性指標(biāo)時計算結(jié)果相對保守的問題；定義超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的靈敏度指標(biāo)，為找到系統(tǒng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)提供依據(jù)；結(jié)合貝葉斯網(wǎng)絡(luò)雙向推理求解出在根節(jié)點失效可能性已知的條件下，葉節(jié)點的失效可能性、根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性;給出了可靠性評估實例。

可靠性評估;貝葉斯網(wǎng)絡(luò);超橢球;區(qū)間模型;靈敏度

0　引言

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一種常用的可靠性評估方法,它具有節(jié)點關(guān)系和多態(tài)性描述、計算分析能力及簡便性等方面的優(yōu)勢，在系統(tǒng)可靠性評估[1]、安全性分析[2]和故障診斷[3]等領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。

基于概率模型的傳統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)以元件失效可能性為精確值的假設(shè)為基礎(chǔ),利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理對系統(tǒng)進行可靠性評估[4-5]。在實際工程中,故障模式和故障機理復(fù)雜多樣以及現(xiàn)場數(shù)據(jù)缺乏等原因,導(dǎo)致元件失效可能性難以用精確數(shù)值描述。為此,人們研究用模糊模型來處理這些不確定性參量,從而產(chǎn)生了模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法。文獻[6]將模糊理論引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，采用模糊可能性或模糊子集描述元件的失效可能性;文獻[7-8]研究了利用T-S故障樹轉(zhuǎn)化為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的方法，使貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造更貼近工程實際；文獻[9]提出了基于T-S故障樹和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的模糊可靠性評估方法,用T-S故障樹和T-S門規(guī)則分別構(gòu)造貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型和節(jié)點條件概率表,用模糊數(shù)描述節(jié)點的多種故障狀態(tài),用模糊子集描述節(jié)點各故障狀態(tài)下的故障概率。與傳統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)相比，模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)可以更好地表達節(jié)點的多態(tài)性、模糊性與故障邏輯關(guān)系的不確定性。然而，模糊模型對統(tǒng)計信息的較強依賴性與實際工程中可得數(shù)據(jù)不足、信息不完備之間的矛盾，限制了模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用。

凸模型(包括區(qū)間模型和超橢球模型)能夠彌補概率模型和模糊模型的不足，在處理具有不確定信息的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問題上具有獨特優(yōu)勢[10],在結(jié)構(gòu)可靠性中得到了成功的應(yīng)用與發(fā)展[11-12]。在實際工程中,大量不確定性參量的概率分布雖不易得到，但這些參量變差的界限易于確定,即屬于所謂的“未知但有界”變量。為此，有學(xué)者將區(qū)間模型引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中來處理這些不確定性參量，產(chǎn)生了區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法[13],較好地解決了由于信息的不完整和不確定性對可靠性評估結(jié)果的影響問題。

區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)得到的上級節(jié)點的失效可能性區(qū)間是在各根節(jié)點失效可能性區(qū)間均取界限值的情況下得到的。然而，在實際工程中，各根節(jié)點失效可能性區(qū)間同時取界限值的極端情況很難發(fā)生。超橢球模型在一定程度上可以反映不確定性參量變差之間的相關(guān)性[14],并可有效地規(guī)避區(qū)間模型極端情況的出現(xiàn)，因此，有學(xué)者將超橢球模型應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性問題和故障樹分析方法中。文獻[15]用超橢球模型描述隨機變量的不確定性,解決了部分參量統(tǒng)計信息不足時的結(jié)構(gòu)可靠性評估問題;文獻[16]將超橢球模型與故障樹相結(jié)合，采用超橢球模型對不確定性參量進行描述，解決了基于區(qū)間模型的可靠性評估方法計算結(jié)果相對保守的問題。

本文提出系統(tǒng)可靠性評估的超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)及其靈敏度方法：利用區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)解決元件失效可能性不易精確獲取的問題；采用超橢球模型對不確定性區(qū)間變量進行描述，解決區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)求解結(jié)果相對保守的不足；提出超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的靈敏度指標(biāo)及計算方法，用以度量葉節(jié)點隨根節(jié)點故障狀態(tài)變化的快慢程度，為提高系統(tǒng)可靠性提供依據(jù)。

1　超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)評估方法

在實際工程中，元件的失效可能性具有不確定性,而描述不確定性的模型方法有概率模型、模糊模型和凸模型。不確定性模型與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，已產(chǎn)生了傳統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)、模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)、區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。凸模型能夠彌補概率模型和模糊模型的不足，而且，超橢球模型相比于區(qū)間模型更為合理，因此，本文嘗試將超橢球模型與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，提出超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)評估方法并給出推理計算公式。

1.1區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點描述及其不足

(1)

圖1　二維區(qū)間模型

1.2超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)評估方法

1.2.1超橢球模型對區(qū)間節(jié)點的約束

超橢球模型根據(jù)超橢球域來處理不確定性參量。式(1)表示的根節(jié)點各故障狀態(tài)的失效可能性區(qū)間,用超橢球模型描述為

(2)

以二維超橢球模型為例,二維超橢球模型與二維區(qū)間模型對比如圖2所示。

圖2　二維區(qū)間模型與二維超橢球模型

相比于區(qū)間模型,超橢球模型排除了一部分區(qū)間變量的可能取值區(qū)域。對于區(qū)間模型，當(dāng)所有區(qū)間變量同時取區(qū)間的邊界值時才得到上級節(jié)點失效可能性區(qū)間的邊界值。而在工程實際中，各個根節(jié)點同時出現(xiàn)最差或最好情形的可能性非常小,并且根節(jié)點數(shù)目越多這種可能性越小。因此，與區(qū)間模型相比，采用超橢球模型對根節(jié)點加以約束更加符合工程實際。

各根節(jié)點的失效可能性取值范圍應(yīng)在滿足式(2)的超橢球區(qū)域內(nèi)部。為此引入矢量

z=D-1P

(3)

z=(z1,z2,…,zn)T

(4)

(5)

(6)

可將式(2)轉(zhuǎn)化為新的超橢球模型:

(z-z0)T(z-z0)≤1

(7)

(8)

各根節(jié)點失效可能性的取值范圍在滿足式(7)的超橢球區(qū)域內(nèi)部,相當(dāng)于在Δz=z-z0空間超橢球內(nèi)隨機均勻取值。設(shè)單位超橢球的球坐標(biāo)為(r,θ1,θ2,…,θn-1),其中,r∈[0,1],θi∈[0,2π](i=1,2,…,n-1),則兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(9)

由式(3)～式(9)可得,根節(jié)點的失效可能性為

(10)

由于超橢球的球坐標(biāo)均為區(qū)間變量，因此，根節(jié)點的失效可能性也為區(qū)間形式。

1.2.2葉節(jié)點T的失效可能性

超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的葉節(jié)點T故障狀態(tài)為Tq的失效可能性P(T=Tq)為

(11)

其中,P(x1,x2,…,xn,T=Tq)為根節(jié)點x1,x2,…,xn的所有故障狀態(tài)與葉節(jié)點T故障狀態(tài)為Tq的聯(lián)合概率;P(T=Tq|x1,x2,…,xn)為條件概率,其含義為考慮根節(jié)點x1,x2,…,xn所有故障狀態(tài)的條件下,葉節(jié)點T為Tq的可能性。

1.2.3根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性

(12)

式(12)從故障診斷的角度反映了系統(tǒng)發(fā)生故障后根節(jié)點修正的失效可能性，通過根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性可以對系統(tǒng)可靠性信息有更深一步的了解。

1.3算法驗證

以文獻[8]中液壓驅(qū)動系統(tǒng)為例，采用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法對其進行可靠性評估。液壓驅(qū)動系統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)、條件概率表見文獻[8]中的圖5、表2～表4。假設(shè)根節(jié)點x1,x2,…,x8故障狀態(tài)為1的失效可能性如表1所示,且根節(jié)點x1,x2,…,x8故障狀態(tài)為1的失效可能性與故障狀態(tài)為0.5的失效可能性相同。

表1　根節(jié)點的失效可能性　10-6/h

1.3.1葉節(jié)點T的失效可能性

采用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法求得葉節(jié)點T的失效可能性,并與文獻[8]方法、區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法進行對比,見表2。

表2　葉節(jié)點T的失效可能性　10-6/h

1.3.2根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性

采用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法求得葉節(jié)點T故障狀態(tài)分別為0.5和1的情況下,根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性,并與文獻[8]中的圖6、圖7以及區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法進行對比,見表3。

由表2、表3可見,采用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)得到的結(jié)果包含了文獻[8]中的結(jié)果,并且比區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法得到的區(qū)間寬度小,避免了根節(jié)點失效可能性區(qū)間同時取界限值這一極端情況的發(fā)生,結(jié)果更為合理。

2　靈敏度

靈敏度分析就是研究改變參數(shù)的值及其傳播過程，考察參數(shù)變化對目標(biāo)對象所產(chǎn)生的影響，從而對系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的重要性進行量化分析,靈敏度分析在系統(tǒng)的特性分析和異常特征發(fā)現(xiàn)方面有著廣泛的應(yīng)用。通過可靠性靈敏度評估，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可靠性的脆弱性演化機制，可以將設(shè)計變量對可靠度的影響程度進行排序,進而指導(dǎo)可靠性評估[17]。根節(jié)點的靈敏度是指根節(jié)點失效可能性引起葉節(jié)點失效可能性的變化率，靈敏度的大小反映了葉節(jié)點隨根節(jié)點故障狀態(tài)變化的快慢程度，即對設(shè)計變量的敏感程度。在前面提出超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)評估方法的基礎(chǔ)上，進一步提出超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)下的靈敏度計算方法。

2.1超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)靈敏度方法

2.1.1根節(jié)點狀態(tài)的靈敏度

(13)

其中

(14)

2.1.2根節(jié)點的靈敏度

根節(jié)點xi關(guān)于葉節(jié)點T故障狀態(tài)為Tq的靈敏度為

(15)

式中,ki為根節(jié)點xi故障狀態(tài)的個數(shù)。

由式(15)看出,對于多態(tài)系統(tǒng),具有ki個故障狀態(tài)的根節(jié)點xi的靈敏度是葉節(jié)點處于故障狀態(tài)Tq時,根節(jié)點xi處于非0故障狀態(tài)的靈敏度的均值。可見,根節(jié)點的靈敏度綜合反映了根節(jié)點失效可能性引起葉節(jié)點失效可能性的變化率。

同時,上述公式也適用于區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法下的靈敏度計算,只需將已知區(qū)間變量替代超橢球變量即可。因此,所提出的超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)靈敏度方法具有一定的適用性。

2.2算法驗證

以文獻[8]的液壓驅(qū)動系統(tǒng)為例，采用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法計算在葉節(jié)點T故障狀態(tài)分別為0.5和1的情況下根節(jié)點xi的靈敏度,見表4。

表4　根節(jié)點的靈敏度

由表4可知,在葉節(jié)點T故障狀態(tài)為0.5的情況下,x4、x2、x7的靈敏度較大;在葉節(jié)點T故障狀態(tài)為1的情況下,x4、x2、x6的靈敏度較大。采用區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)得到的靈敏度區(qū)間比超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)得到的靈敏度區(qū)間要寬，這與前文分析結(jié)果一致。

3　液壓系統(tǒng)可靠性評估

斗輪機(即斗輪堆取料機)是一種高效連續(xù)的散料堆取裝置，與間歇起重機械相比，具有生產(chǎn)效率高、節(jié)省作業(yè)時間、安全可靠等優(yōu)點,廣泛應(yīng)用于港口、電廠、鋼廠等行業(yè)。工作裝置是斗輪機的重要組成部分，包括斗輪機構(gòu)、俯仰機構(gòu)，而機構(gòu)的驅(qū)動方式多為液壓驅(qū)動。斗輪機液壓系統(tǒng)由主機俯仰、斗輪驅(qū)動液壓系統(tǒng)組成。其中，斗輪機主機俯仰機構(gòu)支撐臂架和斗輪工作，并通過調(diào)節(jié)斗輪升降使其在不同高度取料和堆料，是斗輪機工作過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。俯仰機構(gòu)的工作可靠性要求非常高，必須滿足無故障長周期連續(xù)運轉(zhuǎn)的要求，而且一旦發(fā)生臂架墜落事故，將會產(chǎn)生斗輪機傾覆危險，嚴(yán)重時會影響到人身安全。可見，主機俯仰液壓系統(tǒng)是斗輪機中關(guān)鍵的子系統(tǒng)之一，其原理如圖3所示。

圖3　液壓系統(tǒng)原理圖

根據(jù)斗輪機主機俯仰液壓系統(tǒng)工藝原理,構(gòu)造圖4所示的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。其中,中間節(jié)點y1,y2,y3,y4分別表示液壓油源、液壓缸升降異常、系統(tǒng)供油不足和液壓缸無法保持同步。根節(jié)點x1,x2,…,x14代表的元件名稱及其失效可能性見表5。

圖4　液壓系統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

10-6/h

假設(shè)根節(jié)點x1、x3、x4、x14和中間節(jié)點y1采用0、1表示無故障和完全故障兩種故障狀態(tài)，其余根節(jié)點和中間節(jié)點采用0、0.5、1表示無故障、半故障和完全故障三種狀態(tài)。根據(jù)專家經(jīng)驗和歷史數(shù)據(jù)得到貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的條件概率表，其中，中間節(jié)點y1的條件概率表見表6。

表6　中間節(jié)點y1的條件概率表

3.1葉節(jié)點T失效可能性

假設(shè)根節(jié)點故障狀態(tài)為0.5的失效可能性與故障狀態(tài)為1的失效可能性相同。采用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法求得葉節(jié)點T的失效可能性,見表7。

表7　葉節(jié)點T的失效可能性　10-6/h

3.2根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性

利用式(1)、式(10)～式(12)可求得在葉節(jié)點T故障狀態(tài)分別為0.5和1的情況下，根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性,見表8。

由表8可知,在系統(tǒng)故障狀態(tài)為0.5的情況下,根節(jié)點x8、x6、x5的后驗可能性較大;在系統(tǒng)故障狀態(tài)為1的情況下,根節(jié)點x11、x8、x9的后驗可能性較大。因此,在進行預(yù)防維修或故障診斷時,應(yīng)優(yōu)先對后驗可能性大的根節(jié)點進行檢查。

表8　根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性

3.3根節(jié)點靈敏度

利用式(1)、式(10)、式(13)～式(15)可求得在葉節(jié)點T故障狀態(tài)分別為0.5和1的情況下,根節(jié)點的靈敏度，見表9。

表9　根節(jié)點的靈敏度

由表9可知,在系統(tǒng)故障狀態(tài)為0.5的情況下,根節(jié)點x7、x6、x5的靈敏度較大;在系統(tǒng)故障狀態(tài)為1的情況下,根節(jié)點x7、x11、x9的靈敏度較大。靈敏度大的根節(jié)點為系統(tǒng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié),其參數(shù)攝動對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響較大。

由表7～表9可以看出,超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法得到的區(qū)間寬度要比區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法得到的區(qū)間寬度小，可見，超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法可以彌補區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)求解結(jié)果相對保守的不足。

4　結(jié)論

(1)提出了系統(tǒng)可靠性評估的超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法，該方法通過引入超橢球模型來界定不確定性參量的取值范圍，解決了區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在求取可靠性指標(biāo)時，計算的結(jié)果相對比較保守的問題。利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的雙向推理能力，可以計算出葉節(jié)點的失效可能性、根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性。

(2)提出了超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的靈敏度指標(biāo)及計算方法，用以反映葉節(jié)點隨根節(jié)點故障狀態(tài)變化的敏感程度，進而指導(dǎo)可靠性評估。該靈敏度算法也適用于區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，通過對比分析，所提方法的靈敏度區(qū)間寬度小于區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的靈敏度區(qū)間寬度，驗證了所提方法的正確性。

(3)利用超橢球貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對斗輪機主機俯仰液壓系統(tǒng)進行可靠性評估，利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)正向推理，計算出系統(tǒng)故障的葉節(jié)點失效可能性、根節(jié)點靈敏度；利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)反向推理，求得在已知葉節(jié)點故障的條件下根節(jié)點狀態(tài)的后驗可能性。所求得的可靠性指標(biāo)為找出和改進系統(tǒng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)提供了依據(jù)。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

System Reliability Assessment Method Based on Hyper-ellipsoid Bayesian Networks and Their Sensitivities

Chen Dongning1,2Yao Chengyu3

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science (Yanshan University),Ministry of Education of China,Qinhuangdao,Hebei,066004 3.Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Failure probabilities of root nodes were described by interval model to solve the difficulty to obtain the failure probabilities accurately.Hyper-ellipsoid model was utilized to define the ranges of the uncertain parameters to improve the relatively conservative reliability indices calculated by the interval Bayesian networks method.Sensitivity indices of hyper-ellipsoid Bayesian networks were proposed to provide basis for finding the key link of the system.The leaf node’s failure probability and the root nodes’ state posterior possibilities were solved by combining with Bayesian networks bidirectional inference under the condition of the root nodes’ failure probabilities as known.Reliability assessment example was given at last.

reliability assessment;Bayesian network;hyper-ellipsoid;interval model;sensitivity

2014-09-16

國家自然科學(xué)基金資助項目(51405426);河北省自然科學(xué)基金資助項目(E2012203015)；河北省教育廳資助科研項目(ZH2012062)

TB114.3< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.019

陳東寧,女,1978年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院副教授、博士。主要研究方向為系統(tǒng)可靠性及智能優(yōu)化。獲國家科技進步二等獎1項。出版專著2部,發(fā)表論文40篇。姚成玉,男,1975年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院教授、博士。