基于數學本質的概念教學

吳建華

本人曾作為廣州市名師應邀在“廣州市名師、特級教師教學思想推介研討會”上執教課例《方程的意義》。

《方程的意義》一課屬于概念教學。概念是思維的基本形式，是事物的本質屬性在人腦中的反映。數學概念是客觀現實中的數量關系和空間關系的本質屬性在人腦中的反映。數學概念是一切數學知識和數序思維的基礎。在小學數學教學中，引導幫助學生形成正確的數學概念，是數學教學的重要任務。

對于《方程的意義》一課，我們該怎樣把握數學本質？在小學數學教材中，方程是這樣定義的：含有未知數的等式叫做方程。實質上，方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。如此理解，方程的定義是一個發生式定義，刻畫的是方程形成或產生的過程。這樣的方程本質體現了方程的核心價值，那么在教學中如何基于這一“方程”本質進行教學？

一、概念引入：在已知數與未知數之間建立關系，經歷概念發生的過程

方程是含有未知數的等式，是為了解決實際問題，建立已知數和未知數之間的一種等量關系。而讓學生學會找等量關系是學生學習方程解決問題的重點和難點。這方面應該貫穿于本單元教學的全過程。本節課是學生初次建立方程的概念，引導學生學會找等量關系是本節課的難點，因此，本課中我從從天平引入，提供了兩邊可以一起操作的直觀模型，引導孩子感悟天平的平衡實質是等式的原型，并在此過程中，引導學生感悟分類的數學思想和方法。

通過觀察天平圖，得到各式各樣的式子，采用自然分類的方法：學生將相關的數學式子寫出來后，將它放在相應的位置（等式或不等式）。然后再引導學生觀察這些式子的特點，得出方程的定義。在這過程中，分類的標準是在學生已有的學習經驗的基礎上自然形成的，從而感悟到分類在學習中的作用。

二、概念探究：在構建模型中揭示概念內涵，經歷概念形成的過程

2011版小學數學課程標準指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義，這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。《方程的意義》一課的教學是引導學生感悟模型思想的重要載體。

如何更好地使學生感悟模型的思想，促進孩子對“方程”的認識從表征走向本質？我以“天平”為主線，構造模型。

實物天平——各種狀態的天平圖——平衡狀態的天平圖——心中的天平——解釋方程在生活中的應用。

從實物天平中，引發問題：天平的這種平衡與不平衡的現象和數學有什么聯系呢？一下將學生的思維從現實生活中的天平引發到數學思考上來。

提供各種不同狀態的天平圖，讓學生從觀察中，用數學的式子表示出天平的狀態，從天平的狀態抽象出數學問題，然后再用數學的符號建立起等式、不等式，再建立起方程的概念。

平衡狀態的天平圖：這是學生從“稱物體質量相等”的活動轉入到“等量關系”的重要一環。怎樣引導學生尋找“等量關系”呢？我出具了各種各樣的平衡的天平圖，如立體圖形質量平衡、水果質量平衡……引導學生找到左右兩邊相等的數量關系，感悟等量關系的建立是列方程的依據。

心中的天平：心中的天平的建立，不是那么容易的事情，它應該在學生讀懂題意的基礎上建立起來。我以紅花和黃花圖（如圖）切入，找到左右兩邊相等的數量關系從而建立心中的天平。通過多種圖例，引導學生感悟心中的天平既可以是質量相等，也可以是數量相等、路程相等、總價相等……。

最后，方程在生活中的應用，我設計了一個情景：老師和學生站在一起，有方程嗎？當只有師生兩個信息時，不存在方程，因為缺了“關系”。然后我提供“三種關系”的信息，讓學生選擇信息，找到等量關系，從而感受方程就在身邊。最后通過講方程中的“故事”，進一步解釋了方程的應用和意義。

三、概念運用：豐富概念的外延，經歷數學應用的過程

本課的重點是“理解方程的意義”。我引導學生在“感知方程的多樣性”上豐富概念的外延。這“多樣性”包括形式上的多樣性和數量關系上的多樣性兩方面。

形式上的“多樣性”：引導學生觀察小朋友寫出的各式各樣方程，有含加、減、乘、除法運算的，有一步計算的，兩步計算的，有含小括號的，還有的含兩個未知數的；在辨一辨、議一議中，感知方程中未知數可以用不同的字母表示，未知數可以參與多種運算……

數量關系表達方式上的“多樣性”：因為同樣的情境，有不同的數量關系的表達方式，因此用方程表示的形式也不同。

對課堂的練習，我始終堅持立足教材，有效開發，以教材為主、課外習題為輔的原則。教材習題的使用有三種方式：一是有效整合，二是變式應用，三是適當補充。

有效整合：教材習題怎么呈現，怎么整合使用？天平圖、各式各樣的方程、辨析題、天平平衡圖、建立心中天平的相關練習都是教材的原型，怎樣有效整合是呈現方式的問題。如觀察各式各樣的方程中，凸顯一些特別形式上的方程；辨析中凸顯未知數的多樣性等……

變式應用：如本課中，天平平衡圖的第二幅圖（圖2）是課本練習的變式，目的在于引導學生尋找等量關系列出方程，這個方程含兩個未知數，分別放在兩邊，這是一種特殊的方程。對于師生自由創編的環節，也是教材（如圖1）的變式。

適當補充：如本課中，我增加了回顧看圖寫方程的過程，引導學生明確方程的本質意義，增加力度研學課本62頁的四幅情境圖，目的在于體現怎樣處理、用好教材，又如適當補充各種圖形圖和水果圖的天平圖，目的在于讓學生更好地體會不管天平左右兩邊放什么、有已知還是未知，只要兩邊質量相等，都可以寫出等式。在認識方程環節，補充“議一議”。在自由創編環節，補充各種關系“老師比學生大28歲，老師和學生的年齡和是48歲，老師的年齡是學生的3.8倍”，補充多種生活中的情景，結合方程“x+5=18”講故事，目的在于更好地體現方程就在生活中，賦予方程更多的在生活中的應用。

四、教學的核心：數學思想和數學精神的培育

2011版小學數學課程標準把數學學習的總目標定為“四基”——基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。數學課堂的魅力上，一是體現在教師本身的人格魅力上，二是體現在數學本身的魅力，數學本身的魅力在于其內含的數學思想和數學精神。

在《方程的意義》一課中，不斷創設讓學生“可觸的標高”，引發學生的數學思考。在實物天平中，溝通天平與“數學”的關系；“分類”活動中，不管怎樣分，都可以找到同樣的式子——“方程”。什么是方程？在平衡的天平圖中，可以找到怎樣的“等量關系”？如何建立心中的天平？心中的天平可以表示哪些數量相等的關系？光有老師和學生的信息，能找到方程嗎？同一情境中，為什么會列出不同的方程？同一方程，怎么表示不同的情境？在這過程中都可以不斷滲透“分類”“變與不變”等數學思想。

在數學精神的培育上，從上課伊始的猜謎語中“抓住特征、學會分析”；書寫“=”的要求上體現認真、嚴謹的學習態度；了解方程發展史，體現人類的智慧；感悟方程在數學上的重要地位，在學習“簡單”知識中體現的“不簡單”；在感知方程的多樣性中體驗數學學習的樂趣；在自由創編中的“舉一反三”……這些無一不是數學精神的教育，而這種教育應該是無痕的，應該貫穿于數學教學的全過程。