閉環雙驅動混合輸出六自由度并聯機構運動分析

陳宇航　趙鐵石　耿明超　苑飛虎　李二偉

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室,秦皇島,066004　 2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,066004

閉環雙驅動混合輸出六自由度并聯機構運動分析

陳宇航1,2趙鐵石1,2耿明超1,2苑飛虎1,2李二偉1,2

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室,秦皇島,066004 2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,066004

提出一種分支含閉環雙驅動單元、可實現混合輸出的六自由度并聯機構。分析了動平臺混合運動時驅動分支的等效形式，以及獨立位姿運動和振動時驅動分支的等效形式;分析了混合運動關于位姿運動輸入和振動輸入的位置反解，對振動輸入的位置反解設計了基于機構運動特點的逐次逼近法；運用螺旋理論求得動平臺混合運動時關于全體12個獨立廣義坐標的一、二階影響系數，得到從廣義輸入到動平臺旋量速度、加速度的線性映射；通過數值算例分別對位姿運動輸入和振動輸入的理論分析結果進行了驗證,算例仿真表明,提出的兩種雙驅動輸入分配計算規則均能得到確定的混合運動輸出。

并聯機構;閉環雙驅動;旋量;混合輸出

0　引言

大范圍位姿運動與不同頻率振動相疊加的混合運動廣泛存在于工程應用領域的實際工況，例如衛星等航天器上的并聯精確指向平臺與隔振平臺[1]、多維動力學環境模擬實驗系統等。采用單一驅動器在同一機構中實現這兩種不同性質運動的混合輸出對驅動器要求極高，且容易損壞驅動器。雙重驅動并聯機構能將位姿運動輸入與振動輸入分離，根據運動性質選擇對應的驅動器,通過分支傳動，轉化為動平臺的混合輸出。

雙重驅動的概念最早出現在宏/微雙重驅動機器人系統中[2-3],一般由宏動和微動兩部分組成，微動部分附著于宏動部分之上使系統整體頻帶寬度增加，以實現機器人大工作空間與高精度定位。國內外學者在宏/微雙重驅動領域做了大量研究工作[4-6]。文獻[7]設計了一種用于染色體解剖的宏/微雙重驅動機器人,宏動部分采用6-PPPS機構，微動部分為6-PSS機構;文獻[8]對FAST宏/微雙重驅動機構進行實時運動規劃,實現了末端執行器精確軌跡跟蹤的目標。

雙重驅動并聯機構和一般的宏/微雙重驅動機構有所不同,它是在并聯機構的每個驅動分支中增加一個驅動副,使機構自由度變為原來的2倍，但輸出自由度不變。如果這兩個驅動分別采用宏動與微動量級驅動器，則稱為宏/微雙重驅動并聯機構。文獻[9]采用壓電驅動器與柔性鉸鏈設計了一種3-PUPU宏/微雙重驅動并聯機構,該機構可進行微米級的位置調節并有較好的振動抑制效果;文獻[10]分別采用壓電電機和壓電陶瓷作為宏動與微動驅動，機構采用6-PUPU形式，達到厘米級的工作空間和納米級的定位精度；文獻[11-13]在Stewart平臺的P副上串聯宏/微兩重驅動(可理解為一種6-UPPS機構)，通過振動主動控制使各自由度上的擾動顯著衰減；文獻[14]提出了4-PSPS/PRPUR五自由度宏/微雙重驅動并聯載物臺定位機構；文獻[15-17]分別對四自由度、五自由度雙重驅動并聯機構進行型綜合，豐富了雙重驅動并聯機構構型。將宏/微雙驅動的概念拓展，雙重驅動并聯機構可應用于更多需要兩種不同性質運動混合輸出的工況。上述各機構，雙重驅動連接于同一串聯運動鏈，增加了運動鏈長度，且二級驅動一般不與機架相連，增大了一級驅動的負載，降低了機構動力學性能。

本文設計一種分支帶閉環雙驅動單元的，可實現位姿運動與振動混合輸出的六自由度并聯機構。雙驅動單元中兩驅動器均連接于基座，降低了驅動分支慣量，提高了機構的動特性。機構將位姿運動與振動的輸入分離，合理分配雙驅動輸入量，可得到指定的混合輸出。

1　機構特征與雙驅動分支等效形式

1.1閉環雙驅動并聯機構特征

機構由動平臺、基座及6條結構相同的雙驅動分支構成,分支以兩兩一組的形式沿圓周均布于基座上。驅動分支為(PRRPR)US機構,其中(PRRPR)為閉環雙驅動單元,以兩個P副作為驅動輸入，靠外側的驅動為第一驅動，靠內側的驅動為第二驅動。第一驅動下端通過R副與基座鉸接于點ei(i=1,2,…,6),第二驅動沿豎直方向,設其軸線與基座交點為fi，所有ei和fi在同一水平面內。分支上端通過S副與動平臺鉸接于點bi。機構三維造型如圖1所示。

動平臺的位姿運動輸出由第一驅動實現，振動輸出由第二驅動實現。通過雙驅動不同形式輸入組合，可實現動平臺位姿運動與振動的混合輸出。

1.2雙驅動分支等效形式

分支中含(PRRPR)雙驅動的閉環機構,可應用約束螺旋理論將其轉化成等效廣義運動副[18]。

圖2　分支機構簡圖

將圖2中閉環機構視為具有兩個分支的并聯機構，fiai為第一分支,eidi為第二分支。其中分支fiai的運動螺旋為

(1)

根據$°$r=0[18]得分支fiai約束螺旋系：

(2)

同理,分支eidi的運動螺旋系為

(3)

坐標變量中沒有上標i的表示常量,數值在各{i}系中相同。分支eidi約束螺旋系為

(4)

由式(2)、式(4)得閉環機構的約束螺旋系為

(5)

則閉環單元的運動螺旋為

(6)

注意到式(5)、式(6)數值上分別與式(2)、式(1)相同，由式(6)可知，閉環雙驅動單元等效為由一個移動副P和一個轉動副R組成的復合運動副。分支i等效為[PR]US支鏈,對動平臺沒有約束作用。機構桿件數n=20,運動副數g=24,由修正的Grübler-Kutzbach公式計算機構自由度為12,6條雙驅動分支剛好提供12個輸入,保證機構有確定的運動輸出。

動平臺混合運動由位姿運動和振動組成，根據兩種運動的幅值分別求對應驅動量。分析任一驅動時，另一驅動視為鎖定。單驅動瞬時閉環單元的等效形式如圖3所示。

(a)位姿運動　(b)振動圖3　閉環雙驅動單元瞬時等效形式

圖3a所示為實現動平臺位姿運動時閉環雙驅動單元的等效形式，顯然此時可等效為一個R副,分支變為RUS分支;圖3b所示為實現動平臺振動時閉環雙驅動單元的等效形式。式(4)變為

(7)

由式(2)、式(7)得閉環單元的約束螺旋系為

(8)

求式(8)的反螺旋，得閉環單元運動螺旋為

(9)

可知閉環單元仍可等效為一個R副。

2　機構混合輸出位置反解

機構位置反解是實現運動控制的基礎。任一瞬時，動平臺的混合運動可分解為位姿運動和振動兩部分。

2.1位姿運動位置反解

以ei和fi所在平面中心為原點,建立參考坐標系oxyz,記為{o}系,x軸與f1f2平行,z軸豎直向上;以bi所在圓的圓心為原點建立運動坐標系pxpypzp,記為{p}系,xp軸與b1b2平行,zp軸垂直動平臺向上。初始位置時,{p}系與{o}系對應坐標軸平行，如圖1所示。

bi在{o}系與{i}系的坐標分別為

(10)

(11)

(12)

2.2振動位置反解

(13)

(14)

計算機求解式(14)速度較慢,且多數控制器一般不具有直接求解高次方程的函數，所以該方法不適用于實時伺服運動控制。根據分支機構運動特點，本文設計了一種逐次逼近求解法[19]。

(15)

圖4　ci點軌跡關系圖

經過測算,該方法效率較高。當精度ε=0.0001 mm時,對于工作空間內的任意位姿,最多循環25次即可得到結果,平均用時0.8 ms，滿足實時伺服控制要求。所用計算機相關配置為CPUInteli5-4570 3.2GHz,內存2G。

3　廣義坐標到動平臺速度和加速度的映射

任意時刻,將動平臺混合運動的速度、加速度分解為對應于位姿運動和振動的兩部分

(16)

式中,VC、AC為動平臺混合運動旋量速度、加速度；VG、AG為動平臺位姿運動旋量速度、加速度;VV、AV為動平臺振動旋量速度、加速度。

圖5　逐次逼近法求解流程

3.1位姿運動速度與加速度

當動平臺處于任意位姿(Rip,ip)時,可得分支i各鉸鏈點坐標，分支內各運動副螺旋可以確定，動平臺旋量速度對應位姿運動的部分為[20-21]

(17)

由文獻[22]中的推導可得

(18)

根據閉環輸入單元的幾何關系，可得等效驅動速度與廣義速度的關系:

(19)

將式(19)寫成矩陣形式：

(20)

將式(20)代入式(18),得到位姿運動時廣義速度向動平臺旋量速度的線性映射:

(21)

對式(17)求導,并根據文獻[22]對Hessian矩陣的推導,得

(22)

由文獻[22]得

(23)

式(19)對時間求導得

(24)

將式(24)寫成矩陣形式

(25)

i,j=1,2,…,6

將式(20)、式(25)代入式(23)并整理得位姿運動時廣義加速度向動平臺旋量加速度的映射:

(26)

3.2振動速度與加速度

此時等效R副輸入速度向動平臺振動部分旋量速度的線性映射關系式為

(27)

(28)

式(28)對時間求導得

(29)

(a)瞬時等效R副與虛設桿件(b)瞬時等效四桿機構圖6　振動驅動閉環單元瞬時等效機構簡圖

將式(29)寫成矩陣形式,有

(30)

將式(30)代入式(27),得振動廣義速度向動平臺振動旋量速度的線性映射為

(31)

與位姿運動推導相似，動平臺振動旋量加速度映射關系為

(32)

(33)

將式(33)寫成矩陣形式得

(34)

將式(30)、式(34)代入式(32)并整理得振動廣義坐標向動平臺振動旋量加速度的映射為

(35)

3.3混合運動速度與加速度

將式(21)、式(26)、式(31)、式(35)代入式(16)并整理得系統廣義坐標與動平臺混合運動旋量速度、加速度的映射關系式:

(36)

4　數值算例與仿真

給定機構結構參數如下：動平臺鉸鏈點所在圓直徑950 mm，第一驅動鉸鏈點中心所在圓直徑1103.68 mm,第二驅動鉸鏈點中心所在圓直徑805.07 mm,lac=460 mm,lbc=751 mm,{p}系相對{o}系的初始高度為700 mm。

4.1位姿運動算例

Ryg=20°sinπt

ωyg=20°πcosπt

εyg=-20°π2sinπt

理論推導所得為動平臺旋量速度、旋量加速度與輸入的映射關系，所以要將動平臺運動轉化為旋量形式。通過MATLAB計算得各分支位姿輸入的位移、速度和加速度隨時間變化曲線如圖7所示。圖7曲線表明，動平臺繞yp軸做±20°大范圍位姿運動時，輸入的位移、速度和加速度變化平滑，變化范圍滿足常見的驅動器技術參數指標要求，機構具有良好的運動特性。同時,機構具有以較小輸入獲得較大輸出的特點。動平臺在其他自由度方向的位姿運動也有相似的結果，篇幅所限不一一列舉。

(a)位姿輸入位移

(b)位姿輸入速度

(c)位姿輸入加速度圖7　位姿輸入規律

4.2振動算例

運用2.2節設計的逐次逼近法計算振動位置反解,并由式(31)和式(35)計算振動輸入速度和加速度，結果如圖8所示。當動平臺以±10°的振幅和5 Hz振動頻率繞yp軸做角振動時,振動輸入位移變化范圍為64.91 mm,最大速度為963.26 mm/s,最大加速度約為4.5g,在1個振動周期內輸入變化較平穩,振動驅動器能夠達到這樣的指標。在實際應用中，一般不會出現±10°這樣大振幅的振動，可見該機構在振動方面應用空間比較廣闊。

(a)振動輸入位移

(b)掁動輸入速度

(c)振動輸入加速度圖8　振動輸入規律

4.3混合運動算例仿真

由于機構自由度大于輸出自由度,所以對于動平臺的任意位姿，輸入有無窮多解。為了得到唯一解，需設定求解規則。本文設定兩種求解規則，具體如下。

規則1優先計算位姿輸入，以每一時刻位姿驅動伸長為結構參數計算對應時刻的振動輸入。該規則適用于振動輸入頻率高于位姿輸入頻率，且位姿驅動伸長量更容易實時獲取的場合。

以動平臺繞yp軸轉動的混合運動為例，位姿運動、振動和混合運動如下(位姿運動頻率0.5 Hz,振動頻率5 Hz)：

圖9　規則1振動輸入位移

圖10　規則1機構混合輸出

位姿輸入如圖7a所示，對應振動輸入如圖9所示。通過ADAMS仿真得到機構混合運動輸出,如圖10所示。可見仿真輸出曲線與理論曲線幾乎完全重合，說明按規則1求解雙驅動匹配輸入量能夠得到指定的混合運動輸出。

規則2優先計算振動輸入，以每一時刻振動驅動伸長為結構參數，計算對應時刻位姿輸入。該規則適用于振動輸入頻率低于位姿輸入頻率，且振動驅動伸長量更容易實時獲取的場合。

給定動平臺繞yp軸轉動的運動規律，位姿運動、振動和混合運動分別如下(位姿運動頻率0.5 Hz，振動頻率0.1 Hz)：

振動輸入規律如圖11所示，對應的位姿輸入規律如圖12所示。在ADAMS中,依據所得雙驅動輸入規律進行仿真，得機構混合運動輸出曲線如圖13所示。仿真曲線仍與理論曲線重合，證明按規則2求解雙驅動輸入量同樣可以得到確定的混合運動輸出。

圖11　規則2振動輸入

圖12　規則2位姿輸入

圖13　規則2機構混合輸出

5　結論

①面向工程應用領域對不同特性運動混合輸出的需求，設計了分支帶閉環雙驅動單元的混合輸出六自由度并聯機構。②將混合運動分離，運用約束螺旋理論分別得到對應位姿運動與振動的驅動分支等效形式。③得到動平臺混合運動關于位姿運動和振動的位置反解關系，針對振動位置反解設計了一種逐次逼近求解法，其計算結果滿足求解精度及實時性要求，避免了求解高次方程的復雜過程。④推導出機構關于12個獨立廣義坐標的一、二階影響系數，得到廣義坐標到動平臺混合運動旋量速度、加速度的線性映射。為多輸入少輸出系統的運動學求解提供參考。⑤數值算例證明，機構在實現獨立的位姿輸出和振動輸出時，驅動特性良好，主要驅動參數滿足常規驅動器技術指標；提出兩種雙驅動輸入分配計算規則，仿真表明兩種規則均能得到確定的混合運動輸出。

[1]楊建中. Stewart并聯機器人在航天器上的應用 [C]//全國第十二屆空間及運動體控制技術學術會議論文集.北京: 中國空間技術研究院,2006:426-431.

[2]Sharon A,Hogan N,Hardt D E.High Bandwidth Force Regulation and Inertia Reduction Using a Macro/Micro Manipulator System[C]//The 1988 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Philadelphia:IEEE,1988:126-132.

[3]孫立寧,董為,杜志江. 宏/微雙重驅動機器人系統的研究現狀與關鍵技術[J].中國機械工程,2005,16(1):91-95.

Sun Lining,Dong Wei,Du Zhijiang.State-of-the-Art and Key Technologies of Macro/Micro Dual Manipulator System[J].China Mechanical Engineering,2005,16(1):91-95.

[4]Yang Tangwen,Xu Weiliang,Han Jianda.Dynamic Compensation Control of Flexible Macro-Micro Manipulator Systems[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2010,18(1):143-151.

[5]Taghirad H D,Nahon M A.Jacobian Analysis of a Macro-micro Parallel Manipulator[C]//IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics.Zurich:IEEE,2007:1-6.

[6]Lew J Y,Trudnowski D J.Vibration Control of a Micro/Macro-manipulator System[J].Control Systems,IEEE,1996,16(1):26-31.

[7]Feng J,Gao F,Zhao X,et al.A New Macro-micro Dual Drive Parallel Robot for Chromosome Dissection[J].Journal of Mechanical Science and Technology,2012,26(1):187-194.

[8]Duan Xuechao,Qiu Yuanying,Du Jingli,et al.Real-time Motion Planning for the Macro-micro Parallel Manipulator System[C]//2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation(ICRA).Shanghai:IEEE,2011:4214-4219.

[9]Yuan Yun,Li Yangming.Modeling and Control Analysis of a 3-PUPU Dual Compliant Parallel Manipulator for Micro Positioning and Active Vibration Isolation[J].Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control, 2012,134(2):021001.

[10]Dong Wei,Sun Lining,Du Zhijiang. Design of a Precision Compliant Parallel Positioner Driven by Dual Piezoelectric Actuators[J].Sensors and Actuators A:Physical,2007,135(1):250-256.

[11]李偉鵬,黃海.基于Hexapod的精密跟瞄平臺研究[J].宇航學報,2010,31(3):681-686.

Li Weipeng,Huang Hai.Study of Space-born Precise Tracking/Pointing Platform Based on Hexapod[J].Journal of Astronautics,2010,31(3):681-686.

[12]崔龍,黃海.高穩定精密跟瞄機構設計與仿真[J].北京航空航天大學學報,2008,33(12):1462-1465.

Cui Long,Huang Hai.Design and Simulation of Highly Stable and Precise Tracking-pointing Platform[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2008,33(12):1462-1465.

[13]李偉鵬,黃海,邊邊.精密跟瞄Hexapod平臺研制及其振動控制[J].航空學報,2009,30(2):259-264.Li Weipeng,Huang Hai,Bian Bian.Design and Vibration Control of Precision Pointing Hexapod[J].ACTA Aeronautica et Astronautica Sinica,2009,30(2):259-264.

[14]趙鐵石,馮海兵,劉艷輝,等.五自由度宏/微雙重驅動并聯機構及其運動學分析[J].燕山大學學報,2010,34(6):501-507.Zhao Tieshi,Feng Haibing,Liu Yanhui,et al.5-DOF Dual-drive Parallel Mechanism and Its Kinematics[J].Journal of Yanshan University,2010,34(6):501-507.

[15]Li Ningnin,Zhao Tieshi,Bian Hui.Type Synthesis of Dual-driven 4-DOF Parallel Mechanism[J].Machine Design and Research,2008,24(1): 51-53.

[16]范彩霞, 劉宏昭. 雙驅動五自由度并聯機構型綜合[C]//第9屆中國機構與機器科學應用國際會議(CCAMMS 2011) 暨中國輕工機械協會科技研討會論文集. 上海: 中國機械工程學會機械傳動分會機構學專業委員會,2011.

[17]范彩霞,劉宏昭.基于李群理論的雙驅動2T3R五自由度并聯機構型綜合[J]. 中國機械工程,2012,17:2053-2057.

Fan Caixia,Liu Hongzhao.Type Synthesis of Dual-driven 2T3R 5-DOF Parallel Mechanism Based on Lie Group Theory[J],China Mechanical Engineering,2012,17:2053-2057.

[18]Huang Zhen，Liu Jingfang,Zeng axing.The General Method of Analysis of Mechanisms Mobility Based on Constraint Screw Theory[J].Science in China: E Series,2009,39(1):84-93.

[19]Zhang Hui,Wang Qiming,Ye Peiqing,et al.Forward Kinematics of General Stewart Platform and the Application[J].Journal of Mechanical Engineering,2002,38(Supp):108-112.

[20]Zhao Tieshi,Geng Mingchao,LiuXiao,et al.Kinematics and Dynamics Hessian Matrixes of Manipulators Based on Lie Bracket[EB/OL].[2013-03-06].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201303-167.

[21]耿明超,趙鐵石,趙飛等.非慣性系下彈性欠驅動機器人動力學建模及應用[J].中國機械工程,2014,15:2080-2085.

Geng Mingchao,Zhao Tieshi,Zhao Fei,et al.Dynamics Model of Elastic Underacutated Robot in a Non-inertial Frame and Its Applications[J].China Mechanical Engineering,2014,15:2080-2085.

[22]黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構學[M].北京:高等教育出版社,2006.

(編輯蘇衛國)

Kinematic Analysis of a 6-DOF Parallel Mechanism with Closed Loop Dual-drive and Composite Output

Chen Yuhang1,2Zhao Tieshi1,2Geng Mingchao1,2Yuan Feihu1,2Li Erwei1,2

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System， Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of Education of China,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

A parallel mechanism that can accomplish 6 dimensional composite output was proposed,each leg of it had a closed-loop dual-drive unit.The equivalent form of one leg was analysed when the moving platform was under composite motion,so as the equivalent form of one leg corresponding to independent position and orientation motion and vibration.The inverse position solution about position and orientation drive and vibration drive were analysed,for inverse position solution of vibration drive,a kind of successive approximation method was designed based on the motional features of mechanism.Using screw theory the first and second order influence coefficients of all the 12 general coordinates were obtained, so the linear mapping from general inputs to screw velocity and acceleration of moving platform was obtained.Theoretical analyses of position and orientation motion drive and vibration drive were verified by numerical examples,it is indicated by the numerical simulation that composite output can accomplish through the two rules presented for dual-drive distribution.

parallel mechanism;closed-loop dual-drive;screw;composite output

2014-10-21

國家自然科學基金資助項目(51375420)

TP24；V19DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.017

陳宇航,男，1986年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。研究方向為并聯機器人技術。趙鐵石(通信作者),男,1963年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。耿明超,男,1984年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。苑飛虎，男,1986年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。李二偉,男,1987年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。