綜合評價法在數學建模中的應用

經驗人：朱艷科 房少梅

綜合評價法在數學建模中的應用

經驗人：朱艷科 房少梅

研究綜合評價方法及其在數學建模中的應用， 對于建模競賽和實際的數學研究工作都有著十分重要的現實意義。文中對五個常用的綜合評價方法進行了簡介，并對其優缺點進行對比，最后以全國大學生數學建模競賽2009年B題為例，介紹模糊綜合評價法在數學建模中的應用。

現代綜合評價方法經過50年的發展，由經典方法中派生出了很多方法和模型，這些方法和模型被廣泛應用于經濟發展、工業生產以及安全分析等方面。正如任何事物都有它的兩面性一樣，各評價方法的使用條件、優缺點及適用對象不同，難免存在著局限性和不足之處，對此我們必須有所認識。因此本文首先對幾種常用的綜合評價方法進行概述，再對各方法優缺點及適用情況進行總結和比較，最后通過一個實例說明綜合評價方法在數學建模中的應用。

常用綜合評價法簡介

層次分析

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱為AHP）是T.L.Saaty（1975）提出的一種綜合評價方法。該方法是通過對評價對象的性質和影響因素進行全面分析，并將全部因素分成有相互聯系的有序層次，進而構造出自下而上的階梯式的層次結構。在確定權值方面，首先對同一層次的各因素進行比較，確定每一層次內各因素相對重要性的權值，然后再根據各個指標的數值及其權值，對評價對象做出綜合評價。該方法是一種多準則、多目標、無結構特征的綜合評價方法，被廣泛應用于經濟發展比較、科技管理評價、事故致因分析、資源規劃分析、人員素質測評及安全經濟分析等方面。

模糊綜合評價法

模糊綜合評價法（Fuzzy Comprehensive Evaluation）簡稱為FCE。FCE法是一個利用模糊數學知識進行模糊決策的方法。它是運用模糊關系集成的原理，對評判對象給出比較全面而量化的隸屬度，建立模糊綜合評判矩陣，從而進行綜合性評判的一種方法。FCE法可以根據評價具體指標情況，賦予每一個評價對象一個非負的評價分值，據此對評價對象進行排序。

數據包絡分析

數據包絡分析（Data Envelopment Analysis），簡稱為DEA。DEA方法是A.Charnes和W.W.Copper等（1978）在“相對效率”概念的基礎上提出的一種根據多個投入指標和多個產出指標，對一系列類似的評價對象的相對有效性或效益進行評價的綜合評價方法。任何一個經濟系統的運行都可以看成一個單元，也被稱為決策單元（Decision Making Units ，簡稱DMU），通過投入一定數量的生產要素之后，會產出一定數量 的“產品”，這些不同的經濟活動的最終目的都是盡可能地取得最大的“效益”。從“投入”到“產出”中間過程中需要經過一系列決策，也可以說“產出”是決策的結果。DMU的概念是廣義的，可以是一個大學，也可以是一個企業，也可以是一個國家。評價是根據輸入和輸出數據來評價各決策單元的優劣。自第一個DEA模型——C2R模型被提出之后，DEA方法不斷完善和發展，被運用到諸如資源配置、技術進步、技術創新、金融投資等領域。

神經網絡

神經網絡（Neural Network，簡稱為NN）自上世紀80年代提出后，由于其超強適應能力和學習能力，解決了許多傳統方法難以解決的問題，在很多領域得到廣泛應用。NN方法是一種模仿人腦結構和功能的信息處理系統，是由諸多人工神經元按照一定的拓撲結構互連形成的，按照一定的學習規則，通過對樣本數據的學習和訓練，把網絡掌握的“知識”以神經元之間的連接權值和閾值儲存下來，利用這些從學習樣本獲得的“知識”來實現對未知樣本的推理能力，。雖然目前有一些綜合評價方法能較好地考慮并集成綜合評價過程中的各種定性與定量信息，但是在應用中，這些方法或多或少仍存在著隨機性、主觀性和模糊性。而NN方法能結合評價者的經驗，且能降低或消除評價過程中的一些不確定性因素的影響，其既具備綜合評價方法的規范性，又具有較高的求解效率。

主成分分析

主成分分析（Principal Component Analysis），簡稱為PCA。PCA是由Pearson K（1901）提出的，是利用特征空間降維的方法，把多個評價指標精簡為少數幾個綜合主成分指標的一個多元統計方法。主成分分析是把原來的一組有線性相關關系的指標轉成另一組不相關的指標，這組新的指標可按照方差大小來排序。第一個綜合指標具有最大的方差，稱為第一主成分，第二綜合指標的方差次大，稱為第二主成分，依此類推，K個原始指標可以對應有K個主成分。實際應用中可以根據方差貢獻保留少數幾個主成分，由此可以達到降維的作用。主成分分析的實際應用十分廣泛，如人口統計學、數量地理學、分子動力學模擬、綜合評價等領域中均有應用。

五種常用綜合評價方法的對比

通過上述對五種常用綜合評價方法的簡介，將各種評價方法的優缺點歸納在表1中。

表1　五種綜合評價方法的優缺點總結

模糊綜合評價方法在數學建模中的應用

下面以2009年全國大學生數學建模競賽的B題中的第一問的解題為例，介紹模糊綜合評價方法在數學建模競賽中的應用。

評價指標體系的建立

在深入分析該眼科醫院病床實際安排情況的基礎上，考慮以下幾個指標組成評價病床安排的指標體系。

1病床使用率：即是一定時期內被使用的病床數與總病床數之比。

2病床返還率：即是一定時期內病人返還病床數與總病床數之比。

3平均等待入院時間：即是病人在門診就診到被安排入院之間的時間間隔。

4 等待隊長：即排隊入院的人數。

以上四個指標中，病床使用率和病床返還率是反映醫院病床利用率的指標，而平均等待入院時間和等待隊長是反映病人滿意度的指標。

模糊綜合評價模型的建立與求解

首先，根據醫院病床安排問題的實際情況，確定出影響醫院病床安排模型優劣主要有病床使用率、病床返還率、平均等待入院時間以及等待入院隊長這四個主要因素。因而，可以確定相應的模糊綜合評判因素集：

U=｛病床使用率，病床返還率，平均等待入院時間，等待入院隊長

其次，針對問題的四個因素，都可以給出由很好、好、一般和差這四個元素組成的評判集：

評判集=（很好，好，一般，差）

立足于醫院病床安排問題的實際情況，對于評判因素集中的每一個因素，我們可以確定出相應評判集中每一個因素的具體量化指標范圍。比如，對于評判因素集中的第一個因素，當病床使用率超過90％時，認為對應的評價等級為很好；當病床使用率介于85％和90％之間時，認為對應的評價等級為好；介于80％和85％之間，認為一般；而當病床使用率小于80％時，認為對應的等級為差。以此類推，可以得到評判因素集中每一個因素的評判集，具體如表2所示。

表2　各個因素的評判集

最后，對已選取日期為32-54的數據，利用式（1）（2）（3）（4）分別計算其對應的床位使用率、床位返還率、平均等待入院天數以及平均等待隊長這四個評判集元素的值。

以日期為32的數據組為例，有：

因此，可以得出日期為32當天，醫院的床位使用率

為0.7721，床位返還率為0.1333，平均等待入院時間為7.86天，等待隊長為97人。以此類推，可以計算出日期為32-54所對應的四個評判集元素的指標值，具體求解結果如表4所示。

表4　日期為32-54所對應的四個評判集元素的指標值

隸屬度函數的確定

根據醫院病床安排的實際情況，可以采用模糊統計方法來確定出評判因素集中四個元素對應于評判集中四個元素的隸屬度函數。模糊統計方法是基于模糊統計實驗基礎上的隸屬度函數確定方法。所謂的模糊統計實驗必須包含以下四個要素：

（1） 論域U ；

（2）U 中一個固定的元素x0；

（3）U 中的一個隨機變動的集合A*；

（4）U 中的一個以A*為彈性邊界的模糊集A ，并對的變動起到制約的作用。其中有使對A 的隸屬關系是不確定的。

假設做了n 次模糊統計試驗，可以計算出：

事實上，隨著n的不斷增大，隸屬頻率最終趨于穩定，稱其頻率的穩定值為x0對A 的隸屬度，即

例如，在日期為32-54的數據中，床位使用率≥90％，即對應評判集中“好”的模糊試驗數為21，于是，病床使用率對應于“好”的隸屬度

同理，可以得到：

于是，得到病床使用率對應于評判集“較好”、“好”、“一般”和“差”的隸屬度分別為0.9130、0.0434、0和0.8260。同理，可以求出病床返還率、平均等待時間以及等待入院隊長對應的隸屬度。具體求解結果如表5所示。

表5　四個評判因素對應的隸屬度

對病床利用率、病人滿意度的評價

考慮到評判集四個元素中，病床的使用率和病床的返還率都是集中體現醫院病床利用率的指標，因此，將這兩個因素組成一個新的評判元素集，用以反映醫院的病床利用率；而評判集中，平均等待入院時間和等待入院隊長都是反映病人滿意度的指標，故可以將這兩個因素組成另一個評判集，用來刻畫病人的滿意度。于是，得到兩個新的評判集：

床位利用率=｛病床使用率，病床返還率｝

病人滿意度=｛平均等待入院時間，等待入院隊長｝

根據特爾菲法，對各因素及各類別在評價中的重要性進行權衡，確定權數分配，用模糊矩陣表示：

床位利用率 ：w1=［0.6 0.4］；

病人滿意度 ：［0.4 0.6］；

綜合評價得分=×床位利用率+w4×病人滿意度；

其中w3和w4為對應的權重。

根據實際情況，取w3=0.4，w4=0.6，得到床位利用率、病人滿意度以及綜合評價指標結果如表6所示。

表6　床位利用率、病人滿意度以及綜合評價指標結果

從表4中，我們可以得出以下結論。

1 病床利用率的評價結果中，對應于“較好”的隸屬度為0.6，高于其他隸屬度值。從醫院的角度分析，原有的病床安排模型體現的是較高的病床利用率。

2 病人滿意度的評價結果中，對應于“較差”的隸屬度為0.3391，顯然高于其他隸屬度值。從病人的角度分析，原有的病床安排模型時不能迎合病人的滿意度的，模型有待改進。

3 結合病床利用率以及病人滿意度兩方面分析，對應于“差”的隸屬度為0.3461，明顯高于其他的隸屬度值。因此，從總體的綜合評價可以看出，醫院的病床安排模型是不太合理、有待優化的。

小結

考慮醫院病床安排模型的“優劣”是一個模糊的概念，其影響因素中有些是定量的，有些是定性的，且具有不同的實際含義。此外，考慮到模糊綜合評價法有結果意義清晰明確，有較強的系統性這些特點，能較好地解決實際中較模糊的且難以量化的問題。因此，在對醫院病床安排模型的優劣做出綜合評價時，模糊綜合評價方法是一個非常適用的方法。

結語

通過以上的理論綜述及實例分析，可以看到，綜合評價方法在數學建模中有著非常廣泛的應用。綜合評價中的核心問題就是要對多屬性的復雜系統作出客觀、全面以及科學的評價，因此在評價中要綜合考察多個相關因素，根據條件運用適當的方法。參賽者在面對數學建模中的綜合評價問題時，應根據評價對象和目的，在現有資料的條件下科學地選擇評價方法。在大多數情況下，絕對最優的評價方法是不存在的，只有較為適宜的方法。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.17.044