數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

高春俠

“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本研究對象，這兩個(gè)內(nèi)容既互相獨(dú)立又互相聯(lián)系，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中包括“以數(shù)解讀形”和“以形分析數(shù)”兩個(gè)方面。數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)和形有機(jī)組合，使數(shù)學(xué)問題得到轉(zhuǎn)化，“形”讓“數(shù)”更具體明了，“數(shù)”使“形”更形象靈活。因此，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用比較廣泛，借助數(shù)形結(jié)合思想可以方便快捷地解決二次函數(shù)問題，怎樣利用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題呢？要在解題中有效實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：第一，以數(shù)軸、坐標(biāo)系為橋梁把函數(shù)圖象幾何化;第二，利用面積、距離、角度等幾何量來解決二次函數(shù)問題。

一、在已知圖形中搜集信息

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）;點(diǎn)F（0，1）在y軸上，直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H。

（1）求二次函數(shù)的解析式;

（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP。

解析：二次函數(shù)的解析式可以順利解決，對于（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP;我們要挖掘圖象蘊(yùn)含的信息，PM平行于y軸，可得∠OFM =∠PMF，接下來探究∠PMF是否等于∠PFM，因?yàn)镻在二次函數(shù)的圖象上，可以設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么由P向y軸作垂線段PB，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理表達(dá)出PF的長度，依據(jù)P的坐標(biāo)可以表示PM的長度，那么可以證明PF= PM，于是可以得到∠PMF=∠PFM，所以∠OFM=∠PFM，結(jié)論得到證明。本題的解決依賴于通過“數(shù)”：PM、PF的長度的表達(dá)式證明二者相等，數(shù)相等，線段長相等，通過“形”的狀態(tài)得到“數(shù)”的性質(zhì)，又通過“數(shù)”的性質(zhì)演繹出“形”的狀態(tài)。

二、畫圖象并搜集信息

有些二次函數(shù)問題需要自己動(dòng)手畫出相應(yīng)的圖象，然后整理所畫圖象中蘊(yùn)含的信息，從而使問題得到解決，看下面的問題：

例如：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

解析：首先探究怎樣根據(jù)題意畫出y=|ax2+bx+c|的圖象，當(dāng)ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，此時(shí)y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分的圖象，當(dāng)ax2+bx+c<0時(shí)，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，此時(shí)y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c），因此y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方部分與x軸對稱的圖象。

已知y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是-2，所以函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分與x軸對稱的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是2，所以畫出y=|ax2+bx+c|的圖象如圖：

因?yàn)閗≠0時(shí)，函數(shù)圖象在直線y=2的上方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有兩個(gè);函數(shù)圖象在直線y=2上時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有三個(gè);函數(shù)圖象在直線y=2的下方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有四個(gè)。

所以若|ax2+bx+c|=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)圖象應(yīng)該在y=2的上邊，可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，k的取值范圍是 k>2。

我們體會(huì)到把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化到形上，通過圖形直線y=2的上方和下方的拋物線上縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到了|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，k的取值范圍是k>2。

通過上面兩個(gè)問題的分析，我們體驗(yàn)到了數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用價(jià)值及其運(yùn)用方法，也就是只要充分挖掘題中所蘊(yùn)含的信息，借助坐標(biāo)系及相應(yīng)的幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的方式，就可以尋找到解題的有效途徑，不再讓二次函數(shù)成為難題和困擾，使解題成為一種快樂的體驗(yàn)。

（責(zé)任編輯 馮 璐）