通脹環境下對沖基金最優投資策略

方和遠，費為銀，芮亞運

通脹環境下對沖基金最優投資策略

方和遠，費為銀?，芮亞運

（安徽工程大學數理學院，安徽蕪湖 241000）

研究了使對沖基金管理者和投資者收益最大化的對沖基金最優投資模型，考慮了通脹因素對其投資收益的影響.首先，定義投資者和管理者的價值函數，刻畫基金管理者的最優投資問題.其次，通過隨機分析和動態規劃的方法得出管理者在考慮通脹情形下最優投資杠桿.最后，對結果進行數值分析，并解釋其經濟意義.

對沖基金；通貨膨脹；高水印；激勵費；最優投資策略

對沖基金也叫避險基金或套利基金（Hedge Funds），是指由金融期貨、金融期權等金融衍生工具與金融機構結合后，用高風險投機為手段而以盈利為目的的金融基金.由于近期對沖基金的普及，它也漸漸為眾人所熟知，因此對其研究也呈遞增趨勢.Lan［1］等建立了一個最優投資杠桿的動態模型，并通過此模型得到了最優投資策略.Goetzmann［2］等求出了管理費和高水印下激勵費的數量價值，并且得到了管理費和激勵費價值的閉型解.Panageas［3］等得出了在沒有清算邊界時的最優杠桿以及管理者收益.Hodder［4］等建立了有限期離散模型，通過模型從數量上解決了風險厭惡的對沖基金管理者的投資策略問題，并在此基礎上討論了管理者的內生基金重啟期權的重要性.

近些年來受到金融危機的影響，包括我國在內的世界各國都爭相采取量化寬松的貨幣政策和財政政策，導致通貨膨脹日趨嚴重，全球性通脹壓力顯現，通貨膨脹已經成為當今社會的熱點話題.以我國為例，2009年年底全國物價開始呈現出明顯的上漲趨勢，自2010年10月起物價指數（CPI）突破4%，2011年初達到了5%，2011年6月和7月則突破了6%.2012年全年CPI漲幅為2.6%，2013年1月份同比增長2%.雖然通貨膨脹未來的走勢是不確定的，但可以肯定的是通貨膨脹將長期存在.這表明我國已進入了一個全面的通貨膨脹周期.因此，通脹因素在投資策略研究中是一個不可避免的問題.費為銀［5］研究了Knight不確定下帶通脹的最優消費和投資模型.丁傳明［6］研究了在金融市場和消費市場上同時存在通貨膨脹或通貨緊縮情況下的最優消費投資問題.姚海祥［7］等考慮通貨膨脹因素下，利用均值-方差模型研究了連續時間投資組合選擇問題.

1　基本模型

管理者可以投資有固定利率r的無風險資產，也可以投資在有超額收益的風險資產上，在沒有杠桿的情形下，管理者的增值回報d Rt為

式中，B為布朗運動；α1表示超過無風險利率r的預期收益率；σ1是風險資產收益波動率.

利用增值回報率d Rt，我們可以設風險資產價格為d P（t）=（r+α1）P（t）dt+σ1P（t）d Bt.另一方面，考慮通貨膨脹折扣率為定義在帶流概率空間（Ω，F，P，｛Ft｝t≥0）上的可測適應過程，服從以下隨機微分方程

式中，bq為預期即期通貨膨脹率；σ2為通脹波動率.它們均為［0，T］×Ω上可測，Ft適應，一致有界的過程.利用通貨膨脹率對風險資產價格進行折算，得到折現后的價格為

利用伊藤公式可以得到風險資產價格為

其中.則增值回報就可以寫成

設W為基金的總資產，D表示其投資在無風險資產上的數量，那么投資在風險資產上的數量表示為W-D.設π為（風險）資產與總資本的比例，即π=（W-D）/W.對沖基金常常會使用短期借款.一級經紀人及證券衍生品等來獲得投資杠桿.在有杠桿時，D≤0，π≥1.當基金需要囤積現金時，△＞0，0＜π＜1.

管理者的報酬主要為管理費和激勵費兩個方面，而管理費是總資產的一個固定比例部分，即：｛cWt：t≥0｝.激勵費一般通過高水印HWM與基金的業績表現直接聯系.在區域W＜H中，高水印H確定性的增長g表示在沒有資金外流的情形下H的增長率，g可能為0，無風險資產利率r或者其他值，它可以反應投資者在不投資其他資產時的機會成本.除此之外，當基金有資金流出時，應下調高水印HWM.與Goetzmann［2］的模型一樣，我們也設投資者每單位時間連續贖回資本δWt，這里的δ≥0是一個常數.因此，當W＜H時，H以（g-δ）的利率指數增長

當g=δ時，式（1）表示高水印H達到最大值W，Ht=maxs≤tWs，HWM為總資產達到的最高水平.

當W≥H時，基金的收益為d Ht-（g-δ）Htdt＞0.管理者以比例k收取激勵費，即：k［d Ht-（g -δ）Htdt］，之后高水印H就被重置.

在Goetzmann［2］中，基金在每單位時間內外部清算的概率為λ，這種清算是管理者所不能避免的，設τ1表示外部隨機清算時間.另一方面，如果基金的業績過差，投資者也有可能進行清算，例如，大量的損失可能導致投資者對管理者失去信心也會導致清算.具體的，假定當總資產下降到高水印的b比例時，基金就會被清算.設τ2表示由較差業績所導致的內部清算時間，則有

基金的清算只可能發生在τ1或者τ2，在清算時刻τ=min｛τ1，τ2｝，管理者會一無所獲，投資者只能得到基金剩余的資產Wτ.在此模型框架中，清算的代價是非常大的，因為管理者會失去未來所有的報酬.

基金業可能要面臨投資機構或者合約中對杠桿的限制，始終給出一個這樣的杠桿約束

式中，ˉπ≥1是杠桿所允許的最大值.因為如果杠桿可以任意取大，則這個模型可能會變的毫無意義.

有了以上所有假設，我們可以給出總資產的動力學方程.在清算之前（t＜τ），基金的總資產Wt為

式中，第1項和第2項表示給定杠桿策略π時W的變化；第3項為投資者的連續贖回，即：資金外流；第4項為管理費；第5項為當總資產超過高水印HWM時所支付的激勵費.這里的J是一個有著平均到達率λ的跳過程.當跳發生時，基金發生外部清算，W變為0.

相應地，投資者和管理者的值函數就可以如下表示：設β表示管理者的折現率，對于一個給定的動態杠桿策略π，用F（W，H；π）表示總現值

式中，M（W，H；π）為管理費的現值；N（W，H；π）為激勵費的現值，即

在發生隨機清算后，管理者的管理費和激勵費都為0.

類似地，我們給出投資者價值P（W，H）定義

一般地，因為管理者的投資能力和收費不同，P（W，H）也會不同于W，基金的總價值V（W，H）就由F（W，H）和P（W，H）的和給出

投資者會希望管理者像管理自有資產那樣來管理他們的資產，他們很理智地希望P（W，H）至少要大于零時刻的投資W0，由定義我們有H0=W0，因此，在0時刻，我們要求

式（6）的約束只存在于基金的開始階段，而投資者與管理者之間的利潤分配依賴于他們的議價能力.在競爭性市場中，熟練的管理者得到所有的利潤，而式（6）的約束也會起作用.然而，在例如經濟危機的階段，投資者可能通過提供稀缺資本來獲得租金，此時式（6）的約束力較輕.我們可以把管理者的最優化問題寫成如下形式π

它滿足式（2）清算邊界、式（3）杠桿約束及式（6）投資者自愿參與.

2　模型求解

利用隨機分析和動態規劃的方法來解.首先，利用齊次性對值函數進行簡化，也就是說，如果加倍W和H，則F（W，H）的現值也會相應加倍.我們可以使用W和H之間的比值來作為變量，即：w=W/H.進一步地，可以設F（w）=F（W，H）/H.

管理者的杠桿策略主要依賴于其自身的風險厭惡程度，用下式來衡量

式（7）是由齊次性所推出的.當ψ（w）＞0時，可以推斷管理者是風險厭惡的；當ψ（w）≤0時，是風險喜好的.這里的風險態度是管理者自身所固有的，而且是隨機的.

現給出如下命題.

命題1 在上述假設下，基金管理者的最優杠桿策略為

式中，ψ（w）是由式（7）所定義的.

證明 當W＜H時，可以得到HJB方程

式（9）滿足式（3）杠桿約束的，左邊的（β+λ）表示隨機清算概率.式（9）左右兩邊同時對π進行求導

利用齊次性進一步簡化式（10）為

將杠桿約束條件式（3）與式（11）合并，得到杠桿策略為式（8）.證畢.

ψ（w）＞0也就等價于f″（w）＜0，它說明二階條件是滿足的，管理者是厭惡下行清算風險的.如果ψ（w）足夠大，就不需要式（3）的杠桿約束來限制，那么它的最優杠桿就是α/（γ2ψ（w））.

ψ（w）≤0也就是f″（w）≥0時表示二階條件是不滿足的，管理者會表現出風險喜好的行為.選擇最大所允許的杠桿，此時約束式（3）就會起作用，即π（w）=ˉπ.此時，需要一個大小適當的杠桿約束，這樣才能確保管理者最優化問題有意義.

風險中性投資者的風險承擔能力是隨著w的變化而變化的.用ˉw表示杠桿約束剛起作用時w的臨界值.因為管理者的最優選擇為ˉw，所以管理者的值函數f（w）在w=ˉw處是二次連續可微的，即

風險態度和杠桿約束都是為了確保風險中性管理者的最優投資問題有意義.

重新給出關于w的動力學方程

此處J為純跳過程，表示基金的隨機清算.

命題2 管理者的收益函數f（w）是解下面的常微分方程得到的

并且滿足邊界條件

證明 在上界（W=H）處，當總資產從W=H增加到H+△H時，管理者會得到收益，那么在高水印下一次調整之前，管理者的收益現值為F（H+△H，H），之后高水印會調整為H+△H，管理者得到激勵費k△H，那么總資產變為H+△H-k△H.利用F（W，H）在高水印調整前后的連續性，總現值就變為

利用泰勒公式并讓△H趨于0，就能得到

在清算邊界處，有

用w=W/H以及F（W，H）的齊次性得到

根據式（17）可推得

將他們帶入式（9）的HJB方程和式（15）、式（16）的邊界條件中，可以推得式（12）常微分方程、式（13）邊界條件及式（14）.證畢.

式（13）表示在清算邊界b時，管理者的收益為0.這個假設與Goetzmann［2］相同，這個模型不同的地方在于：管理者可以通過動態杠桿來影響清算的可能性.式（13）清算邊界這種基于業績的清算風險在我們的分析中起著至關重要的作用.式（14）給出了剛好達到清算邊界w=1時管理者的收益，式（12）常微分方程給出了管理者的總收益.式（12）中有出現撤資率δ和外部清算強度λ，因為他們對總價值都有影響的.

3　數值模擬及經濟分析

3.1參數選擇

首先設定預期通脹率bq為0.05，通脹波動率σ2也為0.05，在管理費和激勵費的參數選擇中，選常用的2-20報酬策略，即c=2%，k=20%.并且假設管理者和投資者的折現率相等，即β=r.所有的利率都是按年連續復利的，模型中的δ+λ（贖回率和外部清算強度的總和），r-g（w的凈增長率）都是確定的.設定杠桿約束為ˉπ=4.超額報酬率α1為0.07，收益波動率σ1為0.1，清算邊界b為0.685，也即基金下行到清算邊界的最大值為1-b=31.5%.

同時，需要設w的凈增長率r-g為0.因為如果不為0時，所有的管理者都可以通過把所有的資金投資在無風險上的辦法來獲得激勵費.設外部清算率λ=10%，這也就表示基金在只有外部清算可能的情形下是可以持續10年的.由于對沖基金投資者很少會規律性地贖回，因此選擇δ=0，那么總的撤資率δ+λ= 10%.在沒有特殊說明的情形下，我們的分析都由這些參數進行.

3.2最優杠桿π,管理者收益f（w）,風險態度ψ（w）

最優杠桿π（w）的圖像如圖1所示.由圖1可以看到，最優杠桿π隨著資金量w的增大而增大.在資金量最低，即清算邊界b=0.685處，杠桿值很小，大約為0.98.隨著資金量w值的增加，杠桿也隨之增大，在圖像的最右邊，即資金量最大時，杠桿達到最大，為π=2.98.這主要是因為當管理者的資金量越大時，得到的管理費和激勵費也就越多，同時也距離清算邊界更遠，那么管理者就更加敢于投資在風險資產上，最優杠桿π和資金量w呈現同方向變動關系.

在實踐中，當管理者的報酬為深度虛值時，即負債較大時，就有可能進行賭博式的投資來恢復自身收益，這在我們的模型中是不允許的.這個模型雖然是無限期限的，但是一旦觸到清算邊界時，管理者就將失去未來所有的管理費和激勵費.Goetzmann［2］的管理費和激勵費估值模型中也證明：管理者越靠近清算邊界時投資就越謹慎，而不是更加風險喜好.這與我們圖1中得到的結果相一致.

管理者收益f（w）如圖2所示.有效風險態度ψ（w）=-wf″（w）/f′（w）如圖3所示.由圖2可以看到，在圖2的端點處，對沖基金管理者得到了約22%的收益，即f（1）=0.22，也就是說管理者的這0.22的收益是由管理費和激勵費共同得到的.在圖2中端點處管理者收入為0，這是因為此時觸及到所設定的清算邊界，此時管理者是沒有收益的.圖3中的風險態度也說明了這一點.由圖3可以看到，在清算邊界附近時，風險態度值較大，表示風險厭惡，此時管理者會十分小心謹慎.因為如果一旦觸到清算邊界時，他們將會一無所有，所以取值最大.隨著w的增加，離清算邊界越遠時，清算風險就越小，因此管理者的風險態度也會逐漸從厭惡變為喜好.數量上說，他們的風險態度從7.13變為2.35，此時對風險的厭惡程度就變得較小了.

根據文獻［1］中的結論，在不考慮通脹的情形下，當資金量最大時管理者收入現值分別為0.2，在這里是小于帶通脹的情形下的.同樣的，風險態度在清算邊界和資金量最大時分別為6.5和2.11.因為在考慮通脹的情形下，投資者需要在未來得到更多的收益才能保證自己如今的收入，所以收入現值更大，而在投資時更為激進，因此風險厭惡程度更小.

總資產邊際值和高水印邊際值如圖4所示.利用齊次性可以得到FW（W，H）=f′（w）.從圖4a中可以看到，隨著w的增加，f′（w）從清算邊界0.685處的1.73減少到1處的0.34，總資產的邊際值下降較多.這是由于w的值越大清算風險就越小.在清算邊界處資產的增加，產生的價值要遠遠大于遠離邊界處的增加.因為清算邊界處資產的增加會減少基金清算風險，清算風險是代價最大的風險，所以總資產的邊際值就越小.

同樣地，利用齊次性可以得出高水印的邊際影響FH（W，H）=f（w）-wf′（w）.從圖4b中可以看到，如果增加H同時也就減小了w（w=W/H），增加了投資者的清算風險.由于管理者是最厭惡基金清算的，所以H和F（W，H）是呈負相關的，即FH＜0.

從數量上來說，高水印的邊際影響也是很大的.即使是在w=1處，此時管理者很接近得到激勵費，每增加一個單位H，管理者值函數減少0.12，即FH（H，H）=f（1）-f′（1）=-0.12.H的邊際影響甚至大于由于減小w值產生的影響.在清算邊界b=0.685處，邊際影響FH（b H，H）=f（b）-bf′（b）=-1.18.直觀上來看，隨著H的增加，管理者就越難得到激勵費，也更接近于清算邊界，這會使管理者的投資信心變差，積極性也會降低.在只考慮激勵費的模型中，文獻［3］給出的值函數結論與本文相反，這是由于兩個模型基本假設不同，文獻［3］模型是沒有清算邊界，所以管理者并不急于穿過高水印.本文模型中要考慮下行清算風險.

4　小結

研究帶通脹的對沖基金最優投資模型，得到了其投資的最優杠桿.杠桿值隨著資金量的增加而增大，當總資產增加到與高水印相同時，此時杠桿值達到最大值為2.98.在考慮通脹的情形下，由于對沖基金管理者需要在未來得到更多的收益才能保證自身更多的收入現值，所以收入現值始終是稍大于一般情形下（即不考慮通脹情形）.在總資產與高水印相等時，收入現值為0.22，而一般情形下的值為0.2，其中0.02就是在通脹上的差距，基金管理者需要冒更大風險來獲得這0.02的收益，對風險的喜好程度也就更大，且始終大于不考慮通脹情形下的風險態度值.

［1］ Y C Lan，N Wang.The economics of hedge funds［J］.Journal of Financial Economics，2013，110（2）：300-323.

［2］ W N Goetzmann，J Ingersoll，S A Ross.High-water marks and hedge fund management contracts［J］.Journal of Finance，2003，58（4）：1 685-1 717.

［3］ S Panageas，M M Westereld.High-water marks：High risk appetities？Convex compensation，long horizons，and portfolio choice［J］.Journal of Finance，2009，64（1）：1-36.

［4］ J E Hodder，J C Jackwerth.Incentive contracts and hedge fund management［J］.Journal of Financial and Quantitative A-nalysis，2007，42（4）：811-826.

［5］ 費為銀，李淑娟.Knight不確定下帶通脹的最優消費和投資模型研究［J］.工程數學學報，2012，29（6）：799-806.

［6］ 丁傳明，鄒捷中.考慮通貨膨脹影響的最優消費投資模型［J］.中南大學學報，2004，35（1）：167-170.

［7］ 姚海祥，姜靈敏，馬慶華.考慮通貨膨脹因素下的連續時間均值-方差投資組合選擇［J］.控制與決策，2012，28（1）：43-48.

The optimal investment strategies of hedge funds under inflation

FANG He-yuan，FEI Wei-yin?，RUI Ya-yun
（College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

This paper studies a model of optimal investment strategy of hedge funds which maximizes both managers and investors＇income.In the model，the influence of inflation was considered.After defining the value function of manager and investor，the model characterizes the manager＇s optimal investment problem.Then，the optimal investment leverage under inflation is deduced through the stochastic calculus and the stochastic dynamic programming method.Finally，the results and its economic meaning are analysed.

hedge funds；inflation；HWM；incentive fees；optimal investment strategy

O211.63；F224.11

A

1672-2477（2015）02-0089-06

2015-01-22

國家自然科學基金資助項目（71171003，71271003）；安徽省高校自然科學基金資助項目（KJ2012B019，KJ2013B023）

方和遠（1990-），男，安徽蕪湖人，碩士研究生.

費為銀（1963-），男，安徽蕪湖人，教授，碩導.