引導學生對代數“不確定性”的理解

李俊

摘 要：有理數與字母溝通在初一學生遇到困難的原因在于，字母轉化為有理數之時需要對字母進行分類討論。初中生之所以不具備分類討論的思維方式，關鍵在于初中生難以將字母與有理數之間的差別區分清楚，他們根據習慣性的直觀思維方式與數字運算的習慣，單純地將字母與數字等同起來，從而忽略了字母數字的抽象性，而將其等同于有理數的直觀性。因此，培養初中生的分類討論思維的關鍵在于，引導學生進一步理解字母本身的抽象性及其在與直觀式的有理數溝通之時的多種可能性，以幫助學生真正地掌握分類討論的思維方法。

關鍵詞：有理數;字母;代數;分類討論

分類討論是近幾年中考中的一個熱點。分類討論是初中數學中一種重要的數學思想，在解題中正確、合理、嚴謹地分類，可將一個復雜的問題大大地簡化，達到化繁就簡、化難為易，分而治之的目的。數學分類思想的關鍵在于根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，從而將其分成幾個不同種類的數學模型，以期達到將復雜的數學問題清晰化的效果。它既是一種重要的數學思想，更是一種重要的數學邏輯方法。

分類思想不像一般數學知識那樣，通過幾節課就可以讓學生掌握，而需要教師將其貫穿于整個中學教學的內容中。教師在教學過程中，需要把握住學生之所以沒能掌握分類討論這一思路的要害，在充分理解分類討論這一數學模型的基礎上，正確看待學生所遇

到的問題，由此幫助學生解決問題。

一、分類討論問題得以確立的數學基礎——代數式自身的“不確定性”

在初中的數學學習階段，開始出現與小學時期不同的數學運算方法，即代數與數字之間的差別。在數字運算中，單純運用加減乘除的運算法就可以解決相關的問題，因為在數字計算中，被給予的數字總是確定的。5這個數字就象征著5本身，它不包含其他的含義。而代數運算則不再是直觀式的數字計算問題，代數內部所包含的問題同時也可以包含著其他抽象的數學結構。例如，字母a在代數式中，可以用來指代一個具體的數字，整數5、10、25，負數-7、-34，但同時它也可以指代一個數學式子，例如3x+2y等等，而類似的抽象結構之間又可以相互聯系和轉化，數學式子最終可

以演變為一個單純的數字，而單純的式子本身同樣可以轉變為一個數字，而轉變的依據無外乎等式兩邊相等的原則。諸如此類的例子是無法用舉例的方法進行說明，而我們所要說明的問題是代

數本身它并不只是一個單純的數字，代數本身它的真正內在含義究竟是什么，對代數式本身的研究和剖析是需要根據題目中所給定的條件進行分析和討論的，由此對代數進行的分類討論才進入了學生所要解答的數學問題中。

二、初中生難以掌握分類討論法的原因——將代數與數字混

為一談

初中生難以掌握分類討論的原因就在于初中生將小學之時對于數字運算的直接性直接套在了抽象的代數式上，由此就忽略了代數本身的多種可能性。例如，在初一階段接觸到的絕對值問題，就容易暴露出初中生直觀思維的特點與抽象的代數之間的矛盾。當在接觸計算a等于多少這一極為根本的數學模型時，將它看成

最為簡單的代數式運算，學生就容易遇到思維轉換上的困難。由于學生在小學時期的數字運算習慣，單純地把a這個數字看成正數，而把-a這個代數看成負數，從而簡單地得出a=a和-a=a這兩個片面的答案，教師在指責學生無法對a這個代數進行分類討論之時，更需要認識到的問題是，學生在面對絕對值無法分類討論的首要原因不是學生沒有理解絕對值這個數學思想，而主要在于學生沒有理解a這個單純的代數。所謂沒有理解a這個代數，實則就是沒有理解a這個代數本身的不確定性。它背后所包含的無限可能性，甚至可以說代數a本身就是一個無所不包的數學模型，包含了運算中的全部可能性。而學生卻是本著一貫直觀的思維運算方法，看到的卻是a前面沒有負號，從而得出a為正數這個錯誤的結論。在指責學生的時候，首先應該思考的是，教師自身是否就有看到問題的關鍵？

依然以絕對值這個數學概念為例，在初中的有理數運算中，代數式通常只需要和數字進行溝通，在這個過程中就需要結合具體的數學問題來進行分析并得出結論，看清給定的代數前提條件，從而對代數進行符號上的界定。而在沒有給出前提條件之時，真正體現出代數式思維性的就在于a這個代數自身。a既是一個簡單的代數，更是一個豐富的數學模型，而對這個數學模型能否進行全面的分析，就看出學生是否理解了a本身。因此，在對分類討論法進行教授的時候，最關鍵的基礎性工作依然是幫助學生理解這個代數a，從而建立起a與諸如具體的有理數、其他運算公式之間的聯系，a自身所包含的變量思想也就體現在其中。

三、問題的解決

分類討論是一種整體式的數學思維方法，整體就在于充分考慮到代數字母作為變量的各種可能性。而學生未能理解這一點，而簡單地把字母看成一個數字，甚至是正數，而沒抓住作為變量的a的含義。因此教師在講解分類討論問題時，就需要抓住問題的要害即字母a本身。

1.語言講解：引導學生建立起代數與數字之間的聯系

教師在對基本的代數進行講解時，需要著重強調代數字母本身的特點和性質，告訴學生a不是一個自己想當然的數字，至少a的符號到底代表什么，我們無法確切地知道，因此對于a必須進行分類討論。

2.數形結合實例講解

以七年級上冊第二章為例，作為起始章節，教師可以將新知識作為載體，把數學分類思想和方法滲透到課堂教學中。比如“正數、負數和零”，這是學生首次對數進行真正意義上的分類討論，教師可以借助數軸的教學和演示把空洞的數字投射到數軸的左邊、右邊和原點上。借助數形結合加深分類思想，從而順利地完成新舊知識的過渡。在結合數軸的分析時，可以對知識點進行系統地升華，從講解具體數字在數軸左右的同時，將代數的數學思想引入課堂，與數軸結合起來進行講解，為接下來的代數運算做好鋪墊

工作。

教師要把握好滲透的契機，重視新概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。在本章接下來的難點絕對值和相反數教學過程中，要注重新知識與分類思想的滲透，可以讓學生自主討論一下字母a，它的相反數是-a，從中體驗分類思想，再提出疑問，如果a代表有理數，那么a和-a的大小關系是什么，讓學生暢所欲言，進一步加深對新知識的理解和運用。

3.講解與練習雙管齊下

在抓住學習重點、突破學習難點及解決具體數學問題中，分類的思想方法是處理這些問題的助手，這些問題的解決過程，也是數學思想方法反復運用的過程。在強化學生溝通有理數和代數之間的關聯時，更應通過練習反復地訓練和講解，學生在遇到具體問題之時，時刻會處在抽象思維運用和單純直觀問題的反復徘徊之中，教師應當給予耐心，不怕學生在問題中出錯，要堅信通過練習的強化可以達到訓練學生思維的目的，培養學生的數學思維。

代數在初中階段的出現對于剛入學的初中生而言，是遇到的第一個數學難題，教師在講解的時候不可只是單純地灌輸具體的解題思路，這樣就喪失了數學的思維樂趣，也不能單純地把通行的公理和結論告知學生，問題的關鍵不在于結論是什么，而在于結論如何得出。正如黑格爾在談論幾何學時所說：“我們更不會把這樣的人當作一位幾何學家，他能外在地知道（熟記）歐幾里得的定理，而不懂它們的證明，或者如果人們可以對比起來說的話，而不內在地知道（理解）它們?！蓖瑯?，對于有理數分類談論這一簡單的數學思想而言，要求學生熟悉運用a這一數學模型依然只屬于外在地熟記，而真正的內在理解這一數學模型則是明白a代表什么，明白a的無窮可能，而這樣內在地理解首先需要教師自己的體驗，才將其傳遞，進而引導學生達到這一層次。

參考文獻：

[德]黑格爾.精神現象學[M].賀麟，王玖興，譯.北京：商務印書館，1979.