用好“心中天平” 構建方程模型

丁小東

數學課程標準指出，應用數學模型思想的建立激發學生學習數學的興趣，在建立模型的過程中，可以直觀體現出數學與生活的聯系。方程作為小學數學代數知識的重要內容，實現了數學學習由算術思維向代數思維的跨越，成為學生解決實際問題的重要手段。在教學方程時，運用實物天平構建起學生“心中的天平”，滲透建模思想，可以使學生的認知由具體上升為抽象，形成數學理論，提高學生的數學素養。

一、實物引領，搭建具體與模型之橋

數學學習源于生活的需要，讓學生積累起基本的數學活動經驗是教學的最終目的。學生可以從生活中獲得直接經驗，但不能形成理論，只有經過數學重構才能豐富學生的間接經驗。教學時以實例為引入的資源，可以實現由直觀到抽象、由感性到理性的飛躍。教師應以實物為引領，讓學生在感知的過程中認識到知識與生活的關系，搭建起直接經驗與間接經驗互通的橋梁，開啟學生智慧發展的大門。

在新課學習伊始，教師為學生展示了天平，讓學生根據在科學中所學的知識說一說自己對天平的認識。有的同學說天平可以稱物體的質量;有的說當天平兩邊物體的質量相等時，天平就平衡了;還有的說天平是公平公正的象征。教師進行演示，左邊放2包各100克的物體，右邊放200克的砝碼，天平平衡;左邊放一個20克，另一個80克的物體，右邊放兩個各50克的物體，天平平衡;而當左邊放50克的物體，右邊放60克的物體，天平不平衡。這樣就將天平的平衡與物體質量的相等聯系在了一起，幫助學生初步建立了兩邊相等的模型，實現了由實物天平到心中天平的過渡，借助天平這一工具初步搭建起了方程模型。

二、豐富表象，逐步體驗建模的過程

學生通過自己的體驗得到的知識才是真知識。在教學時不要怕時間不夠，真實的體驗可以讓一節課的教學收到兩節課的效果，當學生真正經歷了學習的過程，掌握了建模的思想，其效果比教師反復地教要好得多。在教學時，教師要在學生認知水平和已有經驗的基礎上層層推進，這樣才能讓學生在不斷豐富認知表象的基礎上體驗出建模的過程，從而更好地投入到學習中來。

在學生已經有了天平平衡表示兩邊質量相等的經驗的基礎上，教師可以逐步豐富學生的表象認識。如在天平右邊放上200克的砝碼，讓學生從講桌上已有標出量的物體中選擇能使左右平衡的兩個物體，并用式子表示出來。有的學生選擇了一個150克的蘋果和一個50克的橘子，列式為150+50=200;有的學生選擇了一個180克的桃子和一個20克的葡萄，列式為180+20=200。然后教師交換了一下水果的放法，將蘋果和葡萄放在左邊，結果天平不平衡了，這時該怎樣表示呢？學生可以很簡單地寫出150+20<200。這樣，學生就可以感知天平的平衡與不平衡對應了式子的相等與不等。接著，教師拿出一個沒有標出質量的核桃說：對于不知道質量的物體我們可以怎么表示？學生由學過的用字母表示數都會想到用x表示。那么要將它與蘋果放到左邊，你猜會出現什么情況？如何用式子表示出來？學生由上面的經驗可以列出三種情況：150+x=200;150+x>200;150+x<200，這樣使學生更進一步積累了活動經驗，實現了將實際問題抽象為數學問題的轉化。

剛才已經列出了這么多式子，什么樣的是方程呢？接下來，教師引導學生把式子分成兩大類：等式與不等式，然后對于等式又分成都是數字的和含有未知數的兩大類，都是數字的等式是算式學生們都很熟悉，含有未知數的等式學生預習時也了解到了是方程，這樣通過不斷探究學生就在腦中建立了方程的模型。

三、把握本質，展現建模的應用目的

模型思想的主要目的是將數學與生活結合在一起，課堂教學的關鍵是利用生活中的實例讓學生感受到建模思想的重要性。當遇到問題時學生會有意識地構建方程模型來解決問題，這樣就體現出學生經歷了“問題—模型—應用”的全過程，使學生在認真思考的狀態中體驗到表達等量關系的方程模型。

在學生由天平建立了方程的模型后，教師可以給出這樣一個問題：將35千克葡萄裝入一個盛15千克的大箱和2個小箱正好裝完，你會想到什么樣的數學問題？這里有天平嗎？雖然這里沒有實物天平，但是學生心中的天平由此啟動，借助于“心中的天平”可以成功解決現實生活中的問題，設每個小箱盛葡萄x千克，列出2x+15=35。在此基礎上再進行延伸，教師給出方程5x+10=70，讓學生結合生活賦予其現實意義，學生在自己生活經驗的前提下創造出一個個生動而富有數學味道的小故事，實現了知識的升華，更加豐富了方程模型的應用。

總之，構建數學模型是一個綜合性的過程，在數學教學中滲透建模思想，可以幫助學生更好地將數學與生活聯系在一起，學生在對知識加深理解的同時，也一并掌握了技能，在學習過程中既感悟了數學思想，又學會了方法，積累了豐富的活動經驗。同時在構建模型的過程中，學生經歷了觀察、分析、猜想、總結等過程，其應用意識和分析解決問題的能力都得到了較好培養，數學素養自然得到較大提升，并為學生的可持續發展奠定了良好的基礎。