基于分層總和法的地基沉降計算教學反思

沈揚　杜文漢　邱晨辰

摘要：目前，工程中計算地基沉降常使用規范推薦方法，而各類土力學教材所用的方法卻不盡相同，或者直接介紹分層規范推薦方法，或者根據分層總和法的基本原理進行講解。總體而言，各類教材對此處知識點的介紹側重不同，對沉降計算整體知識框架關注不夠。通過比較規范推薦方法與土力學教材中常用的一般原理法，建立兩種方法的聯系，同時進行教學反思，以期找到一種更好的教學方法，從原理上講解工程中所使用規范方法的具體內涵，幫助學生理解沉降計算知識體系。

關鍵詞：分層總和法；規范；沉降計算；教學方法

中圖分類號：G642；TU470 文獻標志碼：A 文章編號：10052909（2015）05007905

土力學是土木工程專業重要的基礎課。它既有高等數學、理論力學、材料力學等基礎課程的理論性，又是解決實際工程問題的基礎，有較強的應用性，因此，在教學中必須將這兩者

有機結合。

以沉降計算的講解為例，教材涉及的一般理論方法和工程中的規范方法，在課堂教學和工程應用中有著計算思想上前后承接的關系，但是在具體應用過程中又有明顯的不同。地基沉降計算方法包括一般分層總和法（下文簡稱“一般法”），GB50007-2002《建筑地基基礎設計規范》推薦法（下文簡稱“02規范法”）和GB50007-2011《建筑地基基礎設計規范》推薦法（該規范于2012年正式施行，下文簡稱“12規范法”）。對于一般法和規范法而言，一般法常見于土力學教材之中，該方法將地基每一分層的土體所受應力簡化為線性，重在講明方法的原理所在，削弱了計算結果的可靠性，在工程中不宜使用；規范法在公式推導過程中利用較為精確的微積分思想，并通過化簡得到了可以利用查表法計算的公式，但對于公式中符號的含義則需要更多

的解釋。在課堂上講授該知識點時，若僅僅講授原理，而不提及工程應用的規范法，學生固然可以理解分層總和法的原理，但就實際應用而言必然會出現理解上的欠缺；反之，僅講授規范法，學生雖然可以利用當前的規范進行地基沉降計算，

只能從公式上看出方法的不同，對規范從02版到12版改進的原理不明白，這難免會造成機械使用，

導致誤解概念。在全面進行現代化建設的當今，工程建設必然需要更多杰出的工程師，而眼下在課堂上學習的學生必將成為國家的未來建設者。由此可見，在課堂講授時，統籌兼顧各知識點、注重知識的完整性和系統性非常重要。文章以沉降計算為例，兼顧考慮基本理論和規范方法，注重討論其中的邏輯承接，以期將沉降計算的整體架構予以說明。

一、分層總和法簡介

分層總和法的概念：在地基可能產生壓縮的土層深度內，按土的特性和應力狀態的變化將地基分為一定厚度的若干層，對每一分層分別計算其壓縮量Si，最終計算各分層的壓縮量的總和，即得到地基表面的最終沉降量S[1]。

分層總和法之所以成立是建立在一系列假設之上：

假設1，地基土受荷后不能發生側向變形；

假設2，按基礎底面中心點下附加應力計算土層分層的壓縮量；

假設3，基礎最終沉降量等于基礎底面下壓縮層范圍內各土層分層壓縮量的總和。

根據以上假設，我們可以計算得到求土體壓縮量最基本的微分表達式：

ds=εzdz=σzEsidz（1）

式中，ds為土層微元壓縮量；

εz為土體的豎向應變；

dz為土層微元厚度；

σz為土層的附加應力；

Esi為第i分層土的壓縮模量。

在從原理上分析分層總和法時，往往把重點放在總體計算思想的把握上，采用離散的方式進行粗略計算。根據參數之間的相互轉化，計算地基沉降的公式如下：

S=ni=1Si=ni=11EsiΔpihi （2）

式中，S為地基的最終沉降量；

Si為第i分層土的沉降量；

n為地基分層數；

Δpi為第i分層土的應力變化量；

hi為第i分層土的原始厚度（hi≤0.4b，b為基礎寬度）。

該方法從理論框架上講清了分層總和法的原理，但在計算時其假定附加應力在各個土層中呈線性分布，即該層的代表性附加應力大小為土層上、下表面處附加應力的平均值，因此在計算土體整體沉降量時，各土層的附加應力值之間是不連續的，是離散的。由此可以看出，雖然該方法傳達了分層總和法的思想，但所涉及的計算模型對土層中的應力分布情況作出了很大的簡化，因此其計算結果并未達到工程要求的精確程度，往往會引起較大的誤差。該種方法利于課堂教學，既可以講清分層總和法的原理，也不會因為繁瑣的計算而使初學者對分層總和法望而卻步；但是，由于該方法的計算模型粗糙，不能應用到工程實際中去，也給學生走出課堂走向實踐帶來了不便。當然，有些土力學教材使用規范法對該知識點進行了說明，但由于規范法公式復雜，涉及到的參數較多，往往使得初學者難以理解，在利用規范法計算時只能簡單復制

，停留在“知其然不知其所以然”的狀態。對此，筆者從式（1）的微元體方程入手，逐步分析教材中常使用的一般分從總和法與工程應用的規范推薦方法的關系，以期搭建起從課堂到實踐的橋梁，找到規范推薦法的新舊變化。

二、規范法計算公式的推導過程

如上文所述，一般法產生

誤差的原因很大程度上是選取了“離散型”的附加應力值，因此，在工程中，我們常常采用國家規范推薦的方法進行地基沉降計算，以提高計算精度。規范法在計算地基沉降時舍棄了“線性”的近似計算手段，而是利用了較為精確的微積分思想將其代替。02規范法的具體計算公式如下式[2]（3）：

S=ψsS'=ψsni=1Si

=ψsni=1p0Esizi·αi-zi-1·αi-1（3）

式中，ψs為經驗系數修正；

S'為理論計算沉降量；

p0為基礎底面附加應力；

zi為基底至第i土層底部的距離；

αi為基礎底面計算點至第i層底面范圍內平均附加應力系數，通過查表而得。

可以看出，規范法的公式較為復雜，直接講授規范法并不利于學生理解。因此，在講授的過程中需要對計算式的推導加以說明，也需要指出式中相關參數的具體含義，以及規范法與一般法的不同之處。它們的區別不僅表現在計算公式的復雜程度上，更在于計算結果的精度不一樣。之后規范法雖有更新，但僅僅是化簡技巧上的變化，而并非計算思想上的改動。

從本質上講，規范法也是分層總和法的一種，因此整體思路也滿足上述假設，先求單層沉降量，再求各分層沉降量之和。

根據微積分的思想，對上式（1）進行積分運算，可以得到第i層土的完整壓縮量：

Si=∫zizi-1ds=∫zizi-1σzEsidz=1Esi∫zizi-1σzdz （4）

與前文所述一般法相比，此處利用微積分式代替了上述離散式的計算手段，更精確地表達了由于附加應力改變引起的土體壓縮，雖然看似復雜，但計算原理一致。

從上式（4）中可知σz是求解壓縮量的關鍵。地基中的附加應力σz常采用布辛涅斯克解[3]，其表達式如下：

σz=2π[arctannm1+m2+n2+

mn1+n2+2m2m2+n21+m21+m2+n2]p0（5）

式中，m為第i層下邊界深度z與基礎底面短邊b一半的比值，m=2z/b；

n為基礎底面長邊l與短邊b的比n=l/b。

經過字母代換后可看出σz與m、n相關，則式（4）可簡化寫為：

Si=p0Esi∫zizi-1f2zb，lbdz（6）

由于該式中出現了zi、zi-1、2zi /b、2zi-1/b、l/b共5個參數，作為應用而言，即使是復雜的計算，最終仍要回歸于比較簡潔的數據處理，查表法便是工程中常用的方法之一，而查表計算作為一種二維平面處理數據的方式，通過5個參數確定一個變量是不合實際的，因此需對其進行必要的簡化。根據等效的數學變形，式（6）可變形為：

Si=p0Esi∫zizi-1f2zb，lbdz=

p0Esi∫zi0f2zb，lbdz-∫zi-10f2zb，lbdz （7）

該式由兩個定積分式組成，但計算形式相同，積分上限不同，因此以其中一個為例繼續計算。記：

A0i=p0∫zi0f2zb，lbdz（8）

該積分式有zi、2zi /b、l/b共3個參數，距離最終化簡到2個參數的目標只有一步之遙。不過 “這一步”其實有著多種途徑可以選擇，02規范法是其中的一種化簡方式。在講授化簡過程中不妨引導學生對多種可能性進行思考，啟發學生以工程師的角度看待問題。

02規范法選擇的化簡變形如下：

A0i=p0∫zi0f2zb，lbdz=

p0zi∫zi0b2zif2zb，lbd2zb（9）

記：

αi=∫zi0b2zi·f2zb，lbd2zb=Aoipozi（10）

式中，αi為基礎底面計算點至第i層底面范圍內平均附加應力系數，通過2zi/b、l/b查表確定得到。

再將式（9）和式（10）帶入式（7）得：

Si=p0Esizi·αi-zi-1·αi-1（11）

利用經驗系數修正，得到如式（3）所示的02規范法推薦的最終沉降量計算公式。

與一般法相比，該方法運用微積分的思想，無疑保證了計算的精度。同時，規范法引入了查表的計算方法，從計算角度而言減少了工作量。從整體教學框架而言，首先介紹一般法，利用淺顯易懂的計算講明分層總和法的原理，使學生由淺入深，從較為簡單的沉降計算表達式入手，同時融入微積分思想于其中，通過一步步的推導得到最后的規范法計算公式。學生在最后利用規范法查表計算時，不僅能夠知其然，也能知其所以然。在講授的過程中注重知識點的前后銜接，說明一般法與規范法的層進關系，從而使學生在課堂上理解規范法的原理，在規范進步更新時不至于概念誤用。

三、規范法改進以及由此引起的反思

隨著時代的進步，規范也在一步步的完善。順應時代的需要，12規范法應運而出。具體計算公式如下式（12）所示[4]：

S=ψsS'=ψsni=1Si=

ψs·bni=1p0EsiKi-Ki-1（12）

式中，Ki為矩形面積上均布荷載作用下中心點下沉降系數，根據查表確定得到。

在新規范中，學生面對公式中出現的新參數，往往更關心12規范法與02規范法的差異。因此，在分析12規范法時，應啟發學生思考規范的改進之處，究竟是計算原理的改進，還是計算精度或計算便捷度的提升，從而引導學生以更開闊的眼界學習規范。

其實，與02規范法相比，12規范法依然利用了微積分的計算思想，計算精度也相同，但其最終表達式之所以不同，是因為對式（8）化簡的方法不同，從而提升了計算速度。12規范法選擇的化簡方式如下：

A0i=p0∫zi0f2zb，lbdz=

p0b2∫zi0f2zb，lbd2zb（13）

回顧02規范法中選擇的化簡方式，如式（9）所示，將參數b放到積分式里并通過配湊一個zi達到僅剩兩個參量的目的，但該方法卻略顯繁瑣，不如12規范法化簡直接。從表面看是數學推導過程選擇不同，實際上是在充分理解公式含義基礎之上的改進。

根據式（13），令：

Ki=12∫zi0f2zb，lbd2zb（14）

式中，矩形面積上均布荷載作用下中心點下沉降系數Ki可以根據2zi/b、l/b查表確定得到。

再將式（13）和式（14）帶入式（7）中，得到第i層土壓縮量為：

Si=bp0EsiKi-Ki-1（15）

利用經驗系數修正，得到12規范的推薦計算公式。

比較新舊規范法的區別可以看出，新版規范的進步之處在于使得實際計算更為便捷，而并非計算思想的不同。在講授沉降計算時，從基本原理入手，逐步深入，并對規范法中的符號加以說明。

從上述推導不難發現，一個小小的改變可以成為應用上的進步，但在工程應用中很少會關心規范是如何改進的，而在課堂上就需要教師指明這種改進是如何而來。學生作為今天課堂上的學習者，也是明天國家的建設者，更是未來規范的制定者。現在的規范不能由昨日的磚瓦搭砌，未來的工程也不能受制于傳統方法的約束。如果目前的教學缺少了對方法原理的解釋，或是缺失了原理外對方法的闡述，知識點體系便不能很好地搭建。筆者所想表達的教學思想也在于此，把知識點的原理加以剖析，將現行的規范方法加以拆解，搭建起健全的知識體系，使得學生從細節上理解方法的含義，從宏觀上把握學科進步的方向，把如今課堂的進步轉化為將來規范的不斷完善。

四、 結語

筆者詳述了計算沉降的分層總和法，分析了一般法、02規范法、12規范法的不同，從計算思想、計算方法等角度辨析了它們之間

的差異和聯系。在課堂教學中，教師不但要傳授教材中的方法，也要指出一種思路供學生思考；當教材內容與工程實際有所出入時，應當引導學生關注工程應用，不但做到“魚漁兼授”，使學生在課堂中真有所得；同時也要注重培養學生對系列問題的反思，做到融會貫通，面對規范時能夠理解其中的原理，應用時不至于生搬硬套。文章以地基沉降計算為例，通過推導地基沉降的計算公式，分析理論公式與工程應用公式的相互關系，指出這種教學思想的關鍵，在講授其它知識點時能夠兼顧理論與實踐，注重知識體系的完整傳授。參考文獻：

[1]盧廷浩.土力學[M].2版.南京：河海大學出版社，2005.

[2]中國建筑科學研究院，等.GB50007-2002 建筑地基基礎設計規范[S].北京：中國建筑出版社，2002.

[3]郭繼武.地基基礎設計禁忌與疑難問題對策[M].北京：中國建筑工業出版社，2013

[4]中國建筑科學研究院，等.GB50007-2011 建筑地基基礎設計規范[S].北京：中國建筑出版社，2011.