《實變函數(shù)論》課程的教學(xué)實踐與探討

茹靜

摘 要：《實變函數(shù)論》課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門具有一定難度的專業(yè)必修課程。該闡述了《實變函數(shù)論》課程高度的抽象性和邏輯性的特點，分析了在教學(xué)實踐過程中遇到的內(nèi)容偏難偏繁，不易組織教學(xué)，知識的應(yīng)用少等問題，并結(jié)合這些特點和問題陳述了改進教學(xué)效果的認識和體會，提出通過合理選擇教學(xué)內(nèi)容，有效組織課堂教學(xué)，借助多媒體，建立生動有效的教學(xué)模式，教學(xué)方法要靈活多變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣等方式來改進教學(xué)效果的建議。

關(guān)鍵詞：實變函數(shù) 教學(xué)方法 反例

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）07（c）-0158-02

實變函數(shù)論是20世紀初葉形成的一個數(shù)學(xué)分支，是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。《實變函數(shù)論》課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課程，它是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，它既是微積分理論的深化和拓廣，也是泛函分析、偏微分方程、概率論與隨機過程等課程的基礎(chǔ)。對于近年發(fā)展的分形幾何，也起到了引導(dǎo)作用[1]。通過對該課程的學(xué)習可以使學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題能力得到很大的提高，但也正是由于它的高度抽象性導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習這門課程的時候難度很大，所以《實變函數(shù)論》一向被認為是數(shù)學(xué)專業(yè)本科階段最難學(xué)的課程之一。下面就通過對該門課程的教學(xué)實踐，提出幾點教學(xué)體會與認識。

1 《實變函數(shù)論》課程的一般特點

《實變函數(shù)論》以集合論和實數(shù)理論為基礎(chǔ)，其考察對象為定義在可測集上的可測函數(shù)類，，其中心內(nèi)容為勒貝格測度論與勒貝格積分論，該課程具有以下一般特點。

1.1 概念和定理組成整個內(nèi)容

在該課程中基本上沒有什么計算問題，其整個內(nèi)容就是由概念和定理（及相應(yīng)的引理和推論）所組成的一個理論體系 ，其中的習題也是某些定理和結(jié)論的證明。

1.2 高度的抽象性

該課程中的概念有較強的抽象性和接受難度，對這些概念的掌握僅僅是停留在背下來的程度上是不夠的，常常需要有一個多方面的、深入的認識過程，才有可能真正理解其本質(zhì)含義。

1.3 較強的邏輯性

本課程較強的邏輯性體現(xiàn)在定理的證明上，證明過程較長，邏輯性較強，技巧性較高，難度較大。 這門課程中的習題，基本上也都是對某個結(jié)論進行證明的證明題，其中不少有較高的技巧性， 而有的習題就是當年的一篇論文中的部分內(nèi)容，這就使得這些課程中的習題也具有較高的難度[2]。

2 《實變函數(shù)論》課程教學(xué)實踐中存在的問題

2.1 內(nèi)容偏難偏繁，不易組織教學(xué)

由于《實變函數(shù)論》課程的高度抽象性、邏輯性特點，整個教學(xué)環(huán)節(jié)是由 一個接一個的證明組成，學(xué)生很難接受，往往一個概念不能理解就根本聽不懂證明過程，教學(xué)效果差，如果多次重復(fù)又會影響教學(xué)內(nèi)容的完成，甚至即使多次重復(fù)好多同學(xué)也不能真正理解，這樣如何組織好教學(xué)就有很大難度。

2.2 內(nèi)容傾向于理論，知識的應(yīng)用少

整個教學(xué)內(nèi)容過于注重數(shù)學(xué)本身的理論，都是概念和定理的證明，學(xué)生對學(xué)習該課程有一定的恐懼與排斥心理而出現(xiàn)學(xué)習上的的消極現(xiàn)象，以致于缺乏對所學(xué)知識的思考積極性和良好的學(xué)習態(tài)度，只是通過課堂教學(xué)被動地學(xué)習，并不能有效地解決相關(guān)的問題以及用實變函數(shù)的觀點滲透到其他課程（ 如數(shù)學(xué)分析） 中并加以區(qū)別聯(lián)系與應(yīng)用.

2.3 學(xué)生思考問題缺乏積極性，學(xué)習目標盲目

在《實變函數(shù)論》的課堂教學(xué)中，學(xué)生對于一個問題的思考往往陷于被動接受和思維惰性之中，往往不會理性地分析問題的條件，更談不上結(jié)合所學(xué)知識有效的解決問題。

學(xué)生在大學(xué)本科階段經(jīng)過四年學(xué)習后都面臨著就業(yè)和繼續(xù)深造的選擇，這樣就導(dǎo)致學(xué)生會急功近利地為盡可能達到目標而學(xué)習，過多地注重于與就業(yè)崗位或考研學(xué)習方向相關(guān)的課程學(xué)習而忽略了本課程的學(xué)習[3]。

3 改進教學(xué)的幾點研究體會

考慮到該課程教學(xué)過程中所出現(xiàn)的問題，就改進教學(xué)提出幾點建議。

3.1 合理選擇教學(xué)內(nèi)容，有效組織課堂教學(xué)

對教學(xué)內(nèi)容的選擇首先要求教師重視教材的選擇。實變函數(shù)教材的版本很多，而且不同于其它數(shù)學(xué)類的專業(yè)課，不同的教材在教學(xué)內(nèi)容的多少、深度、廣度上都有很大差異，這就要求教師在開課前一定要根據(jù)本專業(yè)學(xué)生的實際情況，選擇難度和知識點都很合適的教材，根據(jù)教材的內(nèi)容進行一定刪減，選擇教學(xué)內(nèi)容，教材講解要詳細，從而方便學(xué)生課后自學(xué)，促進課堂教學(xué)。在組織課堂教學(xué)的過程中，注重強化學(xué)生的解題意識，比如講解可數(shù)集與不可數(shù)集的定理的證明，盡可能做更改，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮思考積極性參與討論，從集合對等的角度，給予更為直觀易懂的證明。

3.2 借助多媒體，建立生動有效的教學(xué)模式

多媒體教學(xué)已經(jīng)越來越多的應(yīng)用于課堂教學(xué)，與單一的板書講解方式相比更加生動形象。在《實變函數(shù)論》的教學(xué)實踐中合理地使用多媒體教學(xué)可以擴大課堂的時空，收到事半功倍的效果。教學(xué)過程中采用黑板和多媒體結(jié)合，概念、定理以及一些圖形可以以多媒體形式展示，定理的推導(dǎo)和證明仍以板書為主，這樣利于引導(dǎo)學(xué)生思維和演練，又能發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，提高教學(xué)效率。

3.3 教學(xué)方法要靈活多變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣

《實變函數(shù)論》課程的教學(xué)必須注意采用多種教學(xué)方法，將抽象內(nèi)容形象化、具體化，從而利于學(xué)生接受，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。

（1）類比法是在實變函數(shù)教學(xué)中較常用的方法，我們知道實變函數(shù)的中心問題是建立一種新的積分理論勒貝格積分理論，它產(chǎn)生的原因就是由于黎曼積分理論的缺陷大都來源于黎曼 積分定義對函數(shù)的連續(xù)性依賴過多。作為黎曼積分的推廣，在整個學(xué)習過程中都要不斷將黎曼積分與勒貝格積分做比較，從而在兩者之間架起了一座橋梁，使學(xué)生能順利地從黎曼積分過渡到勒貝格積分。這樣進行教學(xué)，不僅可以使學(xué)生加深了對勒貝格積分本質(zhì)的認識，同時也搞清了勒貝格積分與黎曼積分之間的關(guān)系與異同，才能使學(xué)生很好的理解勒貝格積分。

（2）教師在教學(xué)過程中應(yīng)多舉例子，恰當舉例可以使學(xué)生正確理解概念、定理。在講解定理概念時，除了認真講清含義外還應(yīng)當結(jié)合正反兩方面的例子，即能使學(xué)生理解概念的本質(zhì)，也能使學(xué)生去掉一些錯誤的認識。教師在教學(xué)過程中如果能采用直觀法教學(xué)，將講授的內(nèi)容與習題相互補充，多舉例題并加以分析也是十分有益的[4]。

3.4 啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識

在讓學(xué)生對于整個課程結(jié)構(gòu)內(nèi)容了然于胸的前提下，在具體的教學(xué)中，還應(yīng)注重訓(xùn)練學(xué)生對所學(xué)知識的運用能力。當前國內(nèi)外的教育教學(xué)模式都熱衷于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識， 即數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識[5]。應(yīng)教師做到能夠在課堂教學(xué)中將有用的數(shù)學(xué)思想和有效的學(xué)習方法引入到學(xué)生的思維意識中，促進學(xué)生在今后的學(xué)習中能夠樹立良好的提出問題、分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)意識。

4 結(jié)語

《實變函數(shù)論》作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門本科專業(yè)必修課，它的教學(xué)方法對我們數(shù)學(xué)專業(yè)教師來講是一門值得認真學(xué)習探索的的學(xué)問。教師應(yīng)在明確學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)目標的前提下，對教學(xué)方法有意識的不斷探索并在實踐中的驗證和完善，最終達到提高教學(xué)效果的目的。

參考文獻

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[3] 鐵勇.大學(xué)生學(xué)習實變函數(shù)課程的困因和教學(xué)改革的探討[J].曲靖師范學(xué)院學(xué)報2011（3）：71-73.

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[5] 許紹元，陳亮.在《實變函數(shù)》課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科研能力的體會[J].淮北煤師院學(xué)報，2003（2）：53-56.