基于改進引力搜索算法的稀布同心圓環(huán)陣優(yōu)化

袁建濤，楊 暉，梁 靜，張聞濤，稂華清，2

(1.中國空空導彈研究院，河南 洛陽471009;2.航空制導武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽471009)

0 引 言

圓口徑天線陣能在上半空間范圍形成任意方向的波束，同時圓結構口面的對稱性使波束形狀和天線增益基本保持不變。這些優(yōu)點使圓面陣在雷達、聲吶、衛(wèi)星通信等領域得到日益廣泛的應用。但由于均勻圓面陣方向圖具有較高的旁瓣電平，使其在應用中受到限制。降低旁瓣電平的方法有多種，包括激勵幅值優(yōu)化、相位優(yōu)化及陣元位置優(yōu)化等。具有最小陣元間隔約束的同心圓環(huán)陣可以采用稀疏和稀布兩種優(yōu)化方案在減少一定數(shù)量單元數(shù)的同時來降低旁瓣電平，但稀布優(yōu)化比稀疏優(yōu)化有著更大的優(yōu)化自由度，可以得到更低的旁瓣電平，且國內外鮮有研究。

稀布天線陣列優(yōu)化設計是一個復雜的非線性優(yōu)化過程，隨機性和魯棒性強，在對搜索空間沒有特殊要求的智能算法稀布陣或稀疏陣綜合中得到廣泛的應用，并取得了良好的結果。引力搜索算法(Gravitational Search Algorithm，GSA)［1－5］是近幾年提出的一種新的智能優(yōu)化算法，它基于牛頓萬有引力定律，依靠群體中粒子間的相互作用力產(chǎn)生群體智能，進而指導種群的優(yōu)化搜索方向，現(xiàn)已成功應用于數(shù)字濾波器的設計、天線陣列綜合、無人機航跡規(guī)劃等。文獻［6］通過算法性能對比，證明GSA 與遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)［7］和粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)［8］相比收斂性能更優(yōu)，但同樣存在早熟收斂問題。

為了解決標準引力搜索算法早熟收斂問題，提出一種改進的GSA(IGSA)，用于具有陣元間隔約束的同心圓環(huán)陣陣元數(shù)目和陣元分布聯(lián)合優(yōu)化。通過對粒子慣性質量進行基于適應度值的線性加權，強化優(yōu)性能粒子，弱化劣性能粒子，加快算法的收斂速度;引入遺傳算法的變異算子，通過大概率的基因變異，改善GSA 的種群多樣性及局部搜索能力，解決算法早熟收斂問題。仿真結果證明，IGSA 收斂性能優(yōu)于標準GSA。

1 引力搜索算法

自然界中，萬有引力無處不在且不可躲避，粒子會在萬有引力作用下相互吸引，如圖1 所示。

圖1 萬有引力作用

和粒子群算法一樣，引力搜索算法首先對粒子的位置和速度進行初始化。設種群中有N個粒子，搜索空間為D 維，則第i個粒子定義為

式中:Maj(t)和Mpi(t)分別為粒子j 和粒子i 的慣性質量;ε 為一個很小的常數(shù);Rij(t)為第i 和第j個粒子之間的歐氏距離;G(t)為t 時刻的引力常數(shù)。Rij(t)和G(t)的表達式分別為

式中:G0為引力常數(shù)的初始值;α 為衰減速率;T為最大迭代次數(shù);本文G0取10，α 取5。

式中:randj為［0，1］之間的隨機數(shù);Mi(t)為第i個粒子的慣性質量。

粒子的速度和位置在迭代過程中的更新為

在GSA 中，粒子的慣性質量與適應度值的大小有關，慣性質量的更新如下:

式中:fiti(t)為t 時刻第i個粒子的適應度值。對于求適應度最小值，worst(t)和best(t)定義為

2 改進后的引力搜索算法

在GSA 中，粒子的慣性質量正相關于其適應度值。慣性質量線性加權是指在每次迭代過程中，根據(jù)計算得到的適應度值，對每個粒子的慣性質量Mi(t)乘以相應的比例因子，使慣性質量大的粒子慣性質量更大，慣性質量小的粒子慣性質量更小，以加快算法收斂速度。該比例因子β 定義為

式中:M'i(t)為更新質量;wmax為最大權值，取值0.7;wmin為最小權值，取0.1;avg(t)為第t 代的平均適應度值。

為保持種群多樣性，引入遺傳算法變異算子，采用自適應變異概率，定義為

式中:pmmax和pmmin分別為最大和最小變異概率，取pmmax= 0.2，pmmin= 0.1［9］。

假設陣元i 對應的隨機數(shù)pi產(chǎn)生變異，則變異后的隨機數(shù)為

式中:p'i和pi均為實數(shù);ind 為系數(shù)，文中取值0.3;rndi∈［－1，1］;a 和b 分別為規(guī)定的隨機數(shù)的下限和上限。

3 算法步驟

改進引力搜索算法的具體執(zhí)行步驟如下:

(1)粒子位置和速度的初始化;

(2)計算粒子適應值，并保留最佳個體;

(3)更新引力系數(shù)G(t)、最優(yōu)適應度值best(t)、平均適應度值avg(t)、最壞適應度值worst(t)及各個粒子的慣性質量Mi(t);

(4)由式(2)計算粒子各方向所受作用力;

(5)由式(5)～(6)更新粒子加速度和速度;

(6)根據(jù)式(7)更新粒子的位置;

(7)計算各個粒子的自適應變異概率，進行變異操作;

(8)當滿足最大迭代次數(shù)或精度要求退出循環(huán)，否則返回步驟(2)進行循環(huán)迭代;

(9)結束循環(huán)，輸出結果。

4 稀布同心圓環(huán)陣的多約束模型

多個陣元沿圓環(huán)排列構成圓環(huán)陣列，當多個同心圓環(huán)陣列的陣元在各圓環(huán)上滿足最小陣元間隔約束并隨機分布時，便構成了稀布同心圓環(huán)陣列，陣列模型如圖2 所示。

圖2 稀布同心圓環(huán)陣

圖中，極坐標(ρn，φn)表示第n個陣元的位置，其激勵為Inexp(jξn)。設所有陣元為全向輻射單元，則天線陣列的輻射方向圖表達式為

式中:λ 為工作波長;θ 和φ 分別為俯仰角和方位角，0 ≤θ ≤π/2，0 ≤φ ≤2π。

設同心圓環(huán)陣的圓環(huán)個數(shù)為M，圓環(huán)半徑為ρ0，ρ1，…，ρM，通過優(yōu)化各個圓環(huán)上陣元的數(shù)目和位置，以獲得峰值旁瓣電平最低的稀布同心圓環(huán)陣。該最優(yōu)化問題的數(shù)學模型為

式中:PSLL(ρ0，ρ1，ρ2，…，ρM)=max{| F(θ，φ)/FFmax|}，F(xiàn)(θ，φ)中的θ 和φ 在旁瓣區(qū)域內取值，F(xiàn)Fmax為主瓣最大值;d 為相鄰陣元的弧向間距;Sm為第m個圓環(huán)上的總陣元數(shù)。

5 同心圓環(huán)陣與直線陣之間的相互轉換

由M個圓環(huán)組成的同心圓環(huán)陣從與x 正半軸相交處斷開逆時針方向展開并按序號組成一條直線段，該線段長度為

設同心圓環(huán)陣稀布率為f，稀布后陣元個數(shù)為N，最小陣元間距dc= 0.5λ。為了滿足同一圓環(huán)起始陣元和末尾陣元間隔約束，每個圓環(huán)的最后dc內不能放置陣元，則虛擬直線陣列的有效長度為

按照文獻［10］固定起始陣元和末尾陣元進行種群初始化，此時，將線陣上陣元位置映射到同心圓環(huán)陣列上的位置分布。當確定第m個圓環(huán)上首個陣元在直線陣列上的位置時，其后面2πρm－dc范圍內的陣元在同一圓環(huán)上，均滿足最小間隔約束。設第m－1個圓環(huán)首個陣元在直線陣列上的位置為xp，第m個圓環(huán)首個陣元在直線陣列上的位置為xn，陣元在直線陣列上的位置為x，當其滿足

其對應的圓環(huán)半徑ρ = ρm，位置角度φ 為

根據(jù)式(21)～(22)，直線陣列上位置x 對應同心圓環(huán)陣列極坐標(ρ，φ)，根據(jù)式(18)計算粒子適應度值。

6 綜合結果

設有一均勻同心9 圓環(huán)陣列天線，圓心處放置天線單元，陣元總數(shù)為279，其陣面分布如圖3 所示。陣元均為理想的全向單元，陣元激勵為1，相鄰圓環(huán)徑向間距為Δr = λ/2，陣元間距d ?λ/2，則第m個圓環(huán)上的陣元數(shù)為

式中:floor 表示向下取整，其PSLL 為－17.40 dB 。

圖3 均勻分布的同心9 圓環(huán)陣

取稀布率為66%，則陣元數(shù)目為185，陣元間距d ≥λ/2，相鄰圓環(huán)徑向間距Δr = λ/2 的約束條件下分別運用GSA 和IGSA 對陣列進行5 次稀布優(yōu)化，使其PSLL 最低。GSA 和IGSA 基本參數(shù)設置為:種群數(shù)200，最大迭代次數(shù)200。陣列優(yōu)化結果如圖4 ～6 和表1 所示，算法最優(yōu)收斂曲線如圖7所示，收斂性能對比如表2 所示。

圖4 IGSA 優(yōu)化得到的稀布同心9 圓環(huán)陣

圖5 優(yōu)化后的同心圓環(huán)陣方向圖

圖6 兩個主截面方向圖

圖7 GSA 和IGSA 的最優(yōu)收斂曲線

表1 同心9 圓環(huán)陣列的稀布優(yōu)化結果

表2 GSA 和IGSA 分別優(yōu)化5 次的收斂性能對比

表1 中，IGSA 的最優(yōu)PSLL 為－25.10 dB，比均勻同心9 圓環(huán)陣的PSLL 降低了7.70 dB;比文獻［11］中運用經(jīng)典遺傳算法得到的最優(yōu)稀疏同心9 圓環(huán)陣列的PSLL 值－22.44 dB 降低2.66 dB;比文獻［12］中運用修正遺傳算法得到的最優(yōu)稀布同心9 圓環(huán)陣的PSLL 值－23.74 dB 降低1.36 dB;比標準GSA 得到的最優(yōu)稀布同心9 圓環(huán)陣的PSLL值－23.85 dB 降低1.25 dB。

通過改進前后引力搜索算法收斂曲線的對比可知，IGSA 的收斂性能和速度均優(yōu)于GSA，從而證明了改進策略的有效性。文中提出的IGSA 在提高算法收斂速度的同時，改善了最優(yōu)解的質量，解決了GSA 易早熟收斂的問題。

7 結 論

對GSA 進行改進，通過引入慣性質量加權因子，加快了算法的收斂速度，又引入遺傳算法的變異算子，提高了引力搜索算法的局部搜索能力并改善了種群多樣性，解決了引力搜索算法易早熟收斂的問題。最后將改進的GSA 成功應用于同心圓環(huán)陣稀布優(yōu)化，并得到良好的旁瓣性能。該算法對搜索空間沒有特殊要求，可以滿足各種應用要求。

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