基于空間直角坐標系的逆變器調制波研究

盧遠宏 鄭瓊林 馬 亮

（1. 北京交通大學電氣工程學院 北京 100044 2. 北京京儀綠能電力系統工程有限公司 北京 100009）

1 引言

空間矢量調制（SVPWM）與正弦脈寬調制（SPWM）這兩種調制方法具有各自的優缺點。SVPWM有電壓利用率高、易于數字化[1-4]、運算量小和諧波畸變少等優點[5-8]，SPWM具有易于硬件實現、計算簡單和易于建模等優點，但其電壓利用率比SVPWM低約15%。通過分析SVPWM和SPWM方法之間的內在關系，建立了兩者的統一調制函數表達式[9,10]，基于零序空間矢量基本函數確定的零序分量，建立從載波角度研究SVPWM的新方法，具有計算簡單、易于實現的優點[11-14]。但這些研究主要基于abc三相平面坐標系[15]、αβ兩相靜止平面坐標系[16]和 dq兩相旋轉平面坐標系，均為二維平面坐標系，對于調制波本身尤其是其零序分量沒有直觀的幾何表示。還有一些文章都用到了空間坐標系研究電壓[17-19]，但其建立的并不是數學上常用的3軸正交的空間直角坐標系，而是 4軸耦合空間坐標系，研究對象也為3P4W系統。文獻[15]提出abc坐標下對SVPWM算法實現方法進行了研究，避免了αβ和dq坐標變換，計算簡單快速，有一定參考價值。

本文第一部分建立空間直角坐標系xyzO，提出三維空間調制波矢量的概念和研究方法，將三相調制波分別作為三維矢量的三個坐標，在空間直角坐標系中研究其運行軌跡和分布范圍，可以直觀得到調制波零序矢量的物理含義。計算過程無需坐標變換，簡化了計算過程。

本文的第二部分對調制波矢量允許添加的零序范圍做了計算，添加不同的零序矢量，可以分別得到SPWM和SVPWM的解析表達式，使調制方法與控制策略及硬件建模成為一個解析的整體，便于分析研究。對于任何調制波矢量，均有其相對的零序矢量范圍，可給出判斷過調制的條件。

本文的第三部分，討論了添加不同的零序矢量分析對SVPWM的影響，并利用Matlab仿真和分析。第四部分對仿真進行硬件實驗。

2 三維矢量表示三相物理量

2.1 構造空間直角坐標系

構造空間直角坐標系xyzO，以三相電網電壓為例，將三相電壓分別作為空間直角坐標系中矢量E的三個坐標，設定E為理想的正弦波形，滿足

以解析幾何角度理解，式（1）表示以t為參變量的空間曲線參數方程，容易推出以x、y、z為變量的空間曲線方程

定義正負序平面 ∏pn:x+y+z=0 ，垂直于法向量 (1,1,1)=n。對任意一個三維矢量，均可分解為三個分量即正序、負序、零序矢量，其中正序與負序位于∏pn上，零序垂直于∏pn，平行于n。

由空間解析幾何定理易得，矢量分解

正負序矢量

零序矢量

圓周C、E、Epn、E0、n與∏pn的空間位置如圖1所示。

圖1 三維矢量在空間直角坐標系中的表示Fig.1 3D vector in space Cartesian coordinate system

2.2 3P3W逆變器的三維矢量建模

3P3W下逆變器電路如圖2所示。以Sk（k=a,b,c)表示上、下橋臂的狀態為

圖2 3P3W下逆變器電路Fig.2 Three phases two levels inverter curcuit

則橋臂電壓滿足

設上橋臂開通時間為Ton，關斷時間為Toff，對

式（8）在一個開關周期內積分得

式（9）等號兩邊同時除以Ts得

考慮開關頻率較高情況下，高頻分量很小，本文僅分析低于開關頻率次的分量，所以忽略高次諧波得

定義瞬時調制波Dk(k=a ,b,c)如下

則易得

從式（15）看出，當Dk超出區間[-1,1]范圍時，Vsk波形出現畸變，不再和Dk保持線性關系，無法有效利用直流電壓，發生過調制。所以Dk∈[- 1 ,1]為不發生過調制的條件。

與式（1）類似，定義D為調制波矢量。

對圖2逆變器進行三維矢量數學建模，將橋臂相電壓Vsk，阻抗兩端電壓VZk，電網相電壓Ek，負載電流Ik這些三相物理量均用三維矢量表示，令交流中性點電壓VN為參考電壓零點，則交流側存在

對于3P3W系統，存在約束條件

式（19）與式（6）聯立得

直流側存在以下等式

構造零序矢量

不發生過調制情況下，對式（15）進行矢量化

將式（5）和式（6）代入式（24）得

由式（17）和式（18）可得

式（6）分別代入式（27）等號兩邊得

將式（20）代入式（28）得

特殊地，E=零或者平衡情況下

將式（29）、式（30）代入式（24）得

綜上，三個坐標獨立的三維矢量有E和D，而只含有正、負序矢量的有Vs和I。式（31）表明，Vs本身不含有零序矢量，與正、負序矢量有關而與D的零序矢量無關。所以可以通過控制Dpn來控制Vs。

2.3 調制波矢量的空間幾何分布特點

在不發生過調制的情況下，調制波矢量的三個坐標均屬于[-1,1]區間，所以調制波矢量分布在圖3中 ABCDEFGH 8個頂點所確定的空間正方體內，將正方體按A-O-G方向投影到正負序平面∏pn的投影圖，如圖4所示。

圖3 調制波矢量的空間幾何分布Fig.3 Distribution of modulation wave vector space rectangular coordinate system

圖4 正方體在正負序平面的投影Fig.4 The projection of the cube in the plane of positive and negative sequence

所述正方體具有如下特點：

（1）正方體六個面的方程分別是x=±1 ,y=± 1 ,z=±1，正方體的中心位于原點，并關于三個坐標軸中心對稱。

（2）正方體的8個頂點坐標見表1。

（3）正方體與正負序平面相交的截面是正六邊形，稱之為“截面正六邊形”，如圖4所示，此六邊形的頂點為S1、S2、…、S6，依次平分線段FB、BC、CD、DH、HE、EF，各點坐標見表。

表 空間正方體中各點的坐標Tab. The vertex coordinates of the cube

（4）將正方體向正負序平面投影，投影圖形的外輪廓線也是正六邊形，稱之為“投影正六邊形”，如圖4所示。六邊形頂點坐標見上表。

（5）截面正六邊形外接圓與投影正六邊形內切圓相同；投影正六邊形內切圓半徑為，截面正六邊形內切圓半徑為/2，兩圓半徑比值為2/=1.154 7。

2.4 SPWM與SVPWM的空間幾何表示

下面討論調制波矢量的正負零序與調制方法的關系。如圖5，取調制波空間正方體縱截面AGB：

圖5 調制波空間正方體的縱截面AGBFig.5 Longitudinal section of the cube

圖5中，S12是S1和S2連線的中點，也是S1和S2在縱截面的投影，OS12所在直線是正負序平面在縱截面的投影。線段AB=2，AG=2，OS12=/2，OB'=。

對于SPWM調制方式來說，在正常情況下，三相電網電壓平衡且不發生過調制，其調制波矢量本身不含零序矢量，也就是調制波矢量與自身正負序矢量相等，即

滿足式（32）的幾何圖形正是前文所述的截面正六邊形S1～S6。當D位于圖5所示的縱截面AGB時，D的分布范圍僅限于OS12線段。根據式（31），當Dpn的模取最大值即OS12時，在相同的Vdc下可以得到最大幅值的Vs。即

當D位于所述縱截面之外的正方體內時，可以得到結論即D取得截面正六邊形邊上的點時，得到最大的Dpn和最高的電壓利用率。由于O點到截面正六邊形邊上的所有點的距離不相等，到六邊形頂點S1、S2、…、S6最長，到兩相鄰頂點中點如S12的距離最短，也就是瞬時的電壓利用率是按六倍工頻周期波動的。為了滿足對不同相角的普適性，取最短距離OS12也就是截面正六邊形內切圓半徑作為計算恒定直流電壓利用率的標準，則計算出直流電壓利用率為

如果在 SPWM 的調制波矢量基礎上允許添加零序矢量，同時保證調制波矢量位于空間正方體內，那么可以適當的零序矢量能使Dpn突破SPWM的限制，表達式為

如圖5b所示，同樣考慮D落在縱截面上，由于不再受D0=0的限制，D可以分布在AGB內任何一點（例如D1、D2、D3、D4均可）。過D作垂直于OS12、并與BA、BG相交所得的線段D0maxD0min，表示D0的允許范圍。考慮D按D1、D2、D3、D4的順序依次移動，D1的零序允許范圍最大且符號包含正負；D2的零序允許范圍減小，但是符號為非負；D3的零序允許范圍進一步減小，但是Dpn已經突破了SPWM最大值的限制；最后D4的零序允許范圍僅余一個點B，但是正負序矢量達到了最大值。所以，調制波矢量的零序矢量的適當添加，可以明顯增大正負序矢量，從而提高電壓利用率。

將D位于縱截面的結論推廣到整個正方體內，則易得相應Dpn的取值范圍擴展到了投影正六邊形。與截面正六邊形類似，投影正六邊形的內切圓表示恒定直流電壓情況下的Dpn的取值范圍，則存在

對比式（34）和式（36）滿足

式（37）表明，η2比η1的電壓利用率高15.47%，反映了SVPWM電壓利用率相對高的優點，也映證了本文的討論。

綜上，從幾何角度解釋，SPWM下的D被局限于正負序平面內，Dpn=D，所以Dpn被限制在最大半徑為/2的圓內，從而限制了Vs的幅值及電壓利用率；而SVPWM的D不局限在正負序平面，而是在正方體空間內，投影后得到的了Dpn的覆蓋范圍相對 SPWM 有明顯擴大，從而達到了最大半徑為的圓內，最大限度地提高了Vs的幅值。因此，調制波矢量的分布方式不同產生了所述兩種調制方法。

3 利用調制波矢量構造SVPWM

3.1 調制波矢量的幾何分布范圍

其中滿足

式（38）中γ(t)為t時刻的零序矢量的一個分量。Dpn取投影正六邊形內切圓周，將圓周在垂直于∏pn的方向上下移動，形成軌跡的為圓柱面。正方體的與圓柱面相交的曲面與即為D的允許分布范圍。對于每一個Dpn，以其矢量終點，垂直于∏pn作垂線，垂線與正方體的交線段便是允許零序的取值范圍，超過了這個范圍，就會出現過調制現象。如圖 5b所示，與Dpn=D1，則零序分量的范圍為[D0min,D0max]。

下面空間解析幾何的角度分析各個區域內調制波矢量的特點。以圖4的角F′OS1對應的扇形區域1為例，區域1內滿足，圓柱面與x=1平面及z=-1平面相交。

根據幾何定理，在所述區域內圓柱面與平面相交的軌跡曲線是空間橢圓。

平面x=1和圓柱面的聯立方程為

所以滿足

平面z=-1和圓柱面的聯立方程為

所以滿足

對比式（43）和式（47）可得

所以，在區域1內，調制波矢量零序矢量的坐標取值為γx+(t)和γz-(t)組成的包絡線區域內，并且所有取值均為負。

同理，可以得到圓柱面與正方體六個平面交線方程的零序矢量表達式。零序矢量在各個區域的分布范圍如圖6a所示，取零序上、下限的平均值繪制成空間曲面如圖6b所示。

圖6 調制波矢量的零序分量分布Fig.6 Zero sequence component of modulation wave vector

以上討論了調制波矢量位于投影正六邊形內切圓上的情況，調制波矢量位于內切圓內部時，分析方法類似，在此不作詳細推導。圖6a顯示，零序矢量主體部分的分布呈3倍基波頻率，因此可求得上、下限表達式。設定

零序上限表達式

零序下限表達式

3.2 利用三維調制波矢量構造SVPWM

為了驗證本文提出SVPWM構造法是否正確，以及超限是否為過調制，下面將以仿真和實驗的形式分析，在含有不同零序矢量的SVPWM下的電壓波形。本文采用零序上、下限加權疊加的方式來產生零序矢量：

將權值m和n不同組合產生的零序矢量注入三相平衡正弦波形來構造SVPWM。

4 仿真結果與分析

采用Matlab/Simulink進行仿真，仿真電路結構見圖2，設定交流電壓為零，直流電壓為534V，負載Z為串聯RC，其中R=10kΩ，C=2μF，載波頻率為 3kHz。原始調制波為三相平衡正弦波，幅值為2/，根據m和n不同，添加零序矢量不同，分為以下5種情況：①m=0，n=0，SPWM過調制情況；②m=0，n=1。允許范圍下限；③m=0.5，n=0.5，允許范圍上下限中間值；④m=1，n=0，允許范圍上限；⑤m=3，n=0，SVPWM過調制情況。

下面就這五種情況分別討論，采樣電壓為RC端電壓，仿真結果如圖7所示。

圖 7a～圖 7e的 3個通道分別為三相調制波、調制波零序矢量、三相RC負載端電壓。圖7a～圖7e為不同加權配置的對比，圖7f是調制波A相與零序矢量的統一比較。下面對這五種情況分別分析。

圖7 不同加權零序矢量情況下對比Fig.7 Comparison among different zero sequence component

圖7a中，加權因子m=0，n=0，調制波矢量未添加零序矢量，調制波由于正弦峰值超過了1，處于SPWM過調制。從表中看出此時橋臂線電壓THD達到5.53%，有效值有較小損失。

圖7b、圖7c和圖7d中，加權因子m、n的作用使得零序矢量由本文給出的下限逐漸過渡到上限。全過程中，電壓波形基本為正弦；橋臂電壓THD較小；有效值幾乎無損失。

圖7e中，加權因子m=3，n=0，添加的零序矢量達到允許上限的3倍，處于SVPWM過調制。看到調制波在原正弦波峰谷處明顯下陷，橋臂電壓波形明顯畸變，THD達到23.29%，有效值有較大損失。

從圖7f可以看到圖7a～圖7e詳細的漸變過程。

綜上，Matlab仿真證明了利用調制波矢量構造SVPWM 方法是正確和有效的，能有效提高電壓利用率，且給出的允許零序范圍是正確的。

5 實驗結果與分析

利用500kW逆變器并網實驗平臺，設定直流電壓為 534V，經過串聯 RC負載，其中C=2μF，R=10kΩ，載波頻率為3kHz。原始調制波與仿真相同，幅值為2/。保持與仿真步驟一致，添加 5種的零序矢量，由加權因子m和n決定。圖8表示三相RC負載端電壓波形。

圖8 不同零序矢量的實驗結果比較Fig.8 Comparison among different zero sequence component in expriments

圖8a表示m=0,n=0情況下B相負載端電壓實際波形，波形含有開關頻率次諧波。為了觀察和分析低于開關頻率的電壓波形，用示波器自帶的低通濾波（截止頻率500Hz）進行濾波后得到圖8b，其他情況下均進行相同濾波得到圖8c～圖8f。

圖 8b、圖 8f表明調制波矢量添加的零序超出允許范圍即發生過調制時，橋臂電壓有明顯畸變，圖8c、圖8d、圖8e表明調制波矢量添加零序在允許范圍內時，橋臂電壓波形正確，且波形幾乎完全一致。實驗結果與仿真一致，表明調制波矢量的研究與SVPWM的構造方法是正確有效的。

6 結論

本文基于空間直角坐標系，提出了三維空間調制波矢量的概念和研究方法。新方法將三相物理量進行三維矢量化，得到了簡潔有效的表達式，并在空間中以圖形化的方式表達了矢量，具有明確的幾何含義，分析和計算非常直觀，可以方便地使用空間解析幾何理論以及矢量理論作為數學工具進行分析研究。

從調制波矢量的角度得到了SPWM和SVPWM解析表達式，使調制方法與控制策略及主電路成為一個整體，便于統一建模。

給出調制波矢量允許零序矢量的范圍。對零序矢量范圍上、下限進行加權疊加產生合適的調制波零序矢量，從而構造 SVPWM，實現過程簡單，且不會發生過調制。若發生了過調制，利用本文給出的調制波矢量零序范圍，可以精確計算出過調制的程度，研究過調制的抑制或補償。

關于過調制的抑制或補償控制，以及如何基于矢量化的控制策略、調制方法和主電路的建模提出更優的方法，以后將有進一步的研究。

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