恢復潮流可行的交直流電力系統切負荷新模型

聶永輝 杜正春 李崇濤 李天云

（1. 東北電力大學教務處 吉林 132012 2. 西安交通大學電氣工程學院 西安 710049 3. 東北電力大學電氣工程學院 吉林 132012）

1 引言

由于系統的故障使得系統潮流可解域大大收縮，從而導致潮流無解，進一步導致系統失去穩定或電壓崩潰， 因此不考慮變壓器抽頭以及電容器投切等慢動態元件對恢復潮流解的作用，主要采取切負荷措施盡快恢復系統的潮流解，這就是恢復潮流解的控制問題；如果系統在恢復潮流解之后存在越限情況，則需要采取有效措施將系統的平衡點調整到可行域之內，采取的控制措施包括負荷切除、發電機有功出力調整、補償電容器、調節有載調壓變壓器抽頭等，這就是恢復可行解的控制問題[1-3]。

目前，對電力系統恢復潮流解和可行解問題的研究主要集中在交流系統。針對潮流無解的故障,文獻[3]把參數空間中無解的點與最臨近可解域邊界上點的距離的計算轉化為一類非線性優化問題,從而確定了恢復潮流解的最小負荷切除量；文獻[4]為恢復故障后的潮流可解性，提出了一種快速恢復潮流解的切負荷算法，進而利用基于靈敏度的線性優化消除恢復潮流解后的系統越限現象，若恢復潮流解后系統不存在越限現象則通過擴展潮流方程減少切負荷量；文獻[5]采用內點法解決恢復潮流解問題；文獻[6]采用恢復潮流解和恢復可行解的兩步法,以最小控制代價為目標, 把恢復系統可行解的控制問題轉化為一類非線性規劃問題求解，并考慮采用離散變量的原對偶內點法求解。可以看出，利用優化方法對于恢復潮流可行解問題是一定重要手段，如何把優化方法擴展到交直流混合系統的恢復潮流可行解問題，對于電力工作者來說是一個有意義的課題。

目前，非線性預測-校正原對偶內點法（Predictor-Corrector Primal-Dual Interior Point Method，PCPDIPM）因具有計算的數值穩定性和快速的收斂特性等優點而被認為是求解大規模 OPF問題較有效的方法[7-15]。該算法在優化過程中需要計算模型中各個函數對應的海森矩陣，但對于現有的優化模型，其各個函數是優化變量的高階函數，因此各個函數對應的海森矩陣不是常數，這就需要在優化計算中對其不斷進行更新，為此增加了優化總時間。因此如何把高階優化模型轉變成二階模型，提高優化速度，對內點法來說是一個有意義的課題。文獻[11]在直角坐標系中建立了基于非線性內點法的最優潮流問題，但由于有載調壓支路模型中電流比變量的存在，該構建格式并不完全是二次的；文獻[12]通過在有載調壓支路模型中引進虛擬節點，由此在直角坐標系中建立了無功優化問題的二次新模型，模型中各個函數對應的海森矩陣在迭代過程中只需要計算一次，從而減少優化時間，但那只應用于交流系統；文獻[16]提出了基于極坐標系的交直流混合系統優化模型，但模型中各個函數對應的海森矩陣隨著迭代的進行而變化，這就需要在優化計算中對其不斷進行更新，為此增加了優化總時間。

基于上述分析，針對潮流恢復的后一問題，本文通過在交流側有載可調變壓器支路模型中引入虛擬節點，并通過該節點的電壓變量來表示有載可調變壓器支路功率方程，使其不含有變壓器電流比這個變量；對于直流系統，在換流變壓器的理想變壓器和換流阻抗之間引進一個虛擬節點，虛擬節點電壓幅值等一些變量被用來表示換流器支路方程；在此基礎上引進切負荷量，由此建立了交直流混合系統恢復潮流可行性問題的二次切負荷新模型。該模型的海森矩陣在迭代過程中是恒常矩陣，只需要計算一次，這樣減少了內點法的計算機消耗總時間。

2 交直流系統二次潮流可行性恢復新模型

對于交流側電力系統，有載調壓變壓器支路可由理想變壓器串聯導納支路組成，如圖1所示。其中，i和j分別是有載調壓變壓器的標準側節點和非標準側節點，t為LTC電流比，yt=gt+ jbt是LTC導納，Vi=ei+ jfi和Vj=ej+jfj是標準側和非標準側節點電壓，STij=PTij+jQTij和STji=PTji+ jQTji是標準側和非標準側節點注入功率。

圖1 變壓器等效模型Fig.1 Transformer equivalent model

直角坐標系的好處是可以建立二次函數，但由于LTC電流比的存在，導致有載調壓變壓器支路功率均是電流比和電壓的高次函數，其對應的海森矩陣不是常數，因此在基于預測-校正原對偶內點的優化計算中，每次迭代時都需要計算，這增加了整個優化時間。為此，文獻[12]在理想變壓器和串聯導納之間引進一個虛擬節點，如圖1所示，由于理想變壓器是無損耗的，則有載調壓變壓器支路功率方程可表示為[12]

由于理想變壓器是無損的，則其兩側電壓應滿足下列關系

由上可知，通過引進虛擬節點，方程式（1）～（6）是節點電壓和變壓器電流比的二次函數。

對于和交流節點i(i=1 ,… ,nd)相連的換流器，如圖2所示，采用標幺值表示時[17-19]，其平均直流電壓為

式中，Vi為交流節點i的電壓幅值，當交流側采用直角坐標系時，Vi可表示為，Vdi、Idi、Xdi、kdi、θdi分別是直流電壓、直流電壓、換流電抗、換流變壓器電流比，換流器控制角；nd為換流器個數。

圖2 換流器等效模型Fig.2 Converter equivalent model

假設換流器是無損耗的，平均直流電壓還可以表示為

式中，φi為換流器的功率因數角。

忽略換流器的損耗，換流器的有功功率為

換流器從交流側吸收的無功功率為

式中，φi為功率因數角。

由上述可知，式（7）～式（10）是變量的高階函數。為了把它們變成二次方程，首先對與換流器相連的交流節點i引入其電壓幅值Vi作為直流側變量；接著引入與換流器相連的交流節點i相對應的電流幅值Ii和其實部、虛部作為直流側變量（見圖2）。其次不直接用θdi而用其余弦 cosθdi作為直流側變量；最后在換流變壓器的換流阻抗和理想變壓器之間引入一個虛擬節點，其節點電壓幅值變量Vmdi也作為直流側變量。經過上述處理，可以在極坐標系下建立直流系統的方程，直流系統的方程只與電壓幅值變量和電流幅值變量有關，而與相角無關。則上述方程可寫成

忽略換流器的損耗，直流功率等于交流基波的有功功率

交流電流基波分量的有效值和直流電流的關系為

直流網絡方程為

換流器一般有定電壓、定電流、定功率、定控制角和定換流變壓器電流比五種基本控制方式，其控制方式必須根據交直流混合系統的實際運行需要加以指定。整流器按定功率或定電流控制方式運行；逆變器按照定電壓或定控制角控制方式運行，簡寫為

式中，xd1i、xd2i代表直流電壓、直流電流、直流功率、換流器變壓器電流比和控制角的余弦等變量之一。

引入的電壓幅值變量和注入電流幅值變量是極坐標系下的變量，而它們的實部和虛部是直角坐標系下的變量，通過下列關系，把基于直角坐標系下的交流側方程和基于極坐標系下的直流側方程耦合到一起，形成一個統一交直流混合系統模型。

可以看出，經過上述處理，直流側方程式（11）～式（19）和耦合方程式（20）、式（21）都是二次函數。

當節點電壓和直流輸電能力等限制引起交直流電力系統潮流不可行時，引進切負荷量來恢復潮流可解。按照引入電流ai+ jbi的參考方向，對于節點i(i=1 ,… ,nB)，考慮切負荷量的節點交直流電力系統功率平衡方程為

式中，Ci是節點i的有功切負荷量，按等功率因數削減無功負荷；λ是為了增加負荷水平；SLi為與節點i相連的一般支路集合；STi與節點i相連的有載調壓支路集合；nB為系統原有的節點數；Gij和Bij是不包括有載調壓支路而形成的導納矩陣的第i行第j列元素的實部和虛部；PGi和QGi為節點i的發電機有功出力和無功出力；PLi和QLi為節點i的有功負荷和無功負荷；QCi為節點i的并聯無功補償出力；PTij和QTij為LTC支路的有功功率和無功功率，如果節點i為非標準側節點，PTij和QTij的計算公式為式（1）和式（2），如果節點i為標準側節點，PTij和QTij的計算公式為式（3）和式（4）。

基于以上推導的LTC支路二次模型、直流系統二次模型、二次坐標耦合方程、交直流混合系統的二次節點切負荷功率平衡方程，本文以各個節點（包括虛擬節點）的實部、虛部、發電機有功出力，發電機無功出力、并聯無功補償出力、有載調壓電流比、節點切負荷量作為交流側優化變量；以和換流器有關的虛擬節點電壓幅值、節點電壓幅值、電流幅值、電流實部、電流虛部、直流電壓、直流電流、換流器控制角的余弦和換流變壓器電流比作為直流側優化變量，以節點切負荷量加權和最小為目標函數，建立以下的二次交直流混合系統的潮流可行解恢復模型。

本文以節點切負荷量加權和最小為目標函數，可表示為

等式約束包括交流 LTC電壓轉換方程式（5）和式（6）；直流方程式（11）和式（12），式（15）～（19）；坐標耦合方程式（20）和式（21），交直流混合系統的節點切負荷功率平衡方程等。交直流混合系統的節點功率平衡方程是把式（13）和式（14）代入式（22）和式（23）后，消去變量Pdi和Qdi而形成的。

不等式約束包括節點電壓幅值、發電機有功出力、發電機無功出力、并聯無功補償出力、切負荷量、LTC電流比、支路傳輸功率、直流電壓、直流電流、直流功率、換流器吸收的無功功率、換流器控制角的余弦和換流變壓器電流比等上下限約束，它們表示為

不管是整流器還是逆變器，都從交流系統吸收無功功率，按照圖2所示的電流方向，無功功率應大于零；但整流器從交流系統吸收有功功率應大于零，逆變器向交流系統注入有功功率應小于零。

由上可見，所建優化模型是優化變量的二次函數，因此，各個函數的海森矩陣都是恒常矩陣，在PCPDIPM 的整個優化過程中只計算一次，從而加速了整個優化過程；但由于優化變量和等式約束個數的增加，使修正方程的階數增加，從而增加了修正方程的求解時間。但利用列近似最小度法（Column Approximate Minimum Degree, COLAMD）有效緩解這個問題，和傳統模型相比，本文所提模型在形成系數矩陣時所節省的時間大于求解修正方程的增加時間，這在后面的仿真計算將被證實（關于PCPDIPM的介紹詳見文獻[7-15]，這里將不再贅述）。

3 算例仿真

本文在硬件為奔騰2.1（2GB內存），操作系統為Windows XP環境下，采用Matlab7語言進行編程仿真校驗，采用標幺值和平啟動方式計算。對于4個測試系統，直流電壓的范圍取為0.9～1.1(pu)，直流電流的范圍取為 0.5～2(pu)；控制角范圍取為15°～25°，整流變壓器的電流比的范圍取為 0.85～1.15(pu)，等效換相電阻取為 0.039(pu)，直流線路電阻0.013(pu)。測試系統情況如下[20]：

（1）系統 1：在 IEEE 14系統中，節點 2和 4之間的交流輸電線被直流輸電線替代，修改之后的IEEE 14系統是一個包含二端直流輸電網絡的交直流混合電力系統。

（2）系統2：在IEEE 30系統中，節點2、4、6之間的3條交流輸電線被直流輸電線替代，修改之后的IEEE 30系統是一個包含三端直流輸電網絡的交直流混合電力系統。

（3）系統 3：在 IEEE 57系統中，節點 8和 9之間的交流輸電線被直流輸電線替代，修改之后的IEEE 57系統是一個包含兩端直流輸電網絡的交直流混合電力系統。

（4）系統4：在IEEE 118系統中，節點26、30之間和節點80、77之間的兩條交流輸電線被直流輸電線替代，修改之后的 IEEE 118系統是一個包含兩條輸電網絡的交直流混合電力系統。

表 1所示為新模型（M1）與傳統模型（M2）在一次迭代時形成修正方程系數矩陣和求解修正方程所需要的時間、迭代總時間和迭代次數。可以看出，新模型在一次迭代時形成系數矩陣所需要的時間比常規模型少，這是由于所建模型是二次模型，其目標函數，等式約束和不等式約束相對應的各個海森矩陣是恒常矩陣，在整個迭代過程中只需要計算一次，這減少了形成系數矩陣所需要的時間；對于傳統模型，由于交流LTC和直流系統的影響，其模型是高階函數，對應的各個海森矩陣在每一次迭代過程中都需要更新，因此增加了形成修正方程系數矩陣所需要的時間。但在求解修正方程時，新模型所需要的時間比常規模型有所增加，這是因為該模型引入一些優化變量，導致等式約束和拉格朗日乘子均有所增加，從而增加了牛頓方程的階數，但nT和nd遠遠小于系統節點數和支路數，利用COLAMD算法有效地減少求解新模型牛頓方程所增加的時間。仿真計算得出，新模型形成修正方程系數矩陣所節省的時間大于求解修正方程所增加的時間，從而使新模型所需要的優化總時間比傳統模型少，系統規模愈大，節省的時間愈多。

表1 優化結果比較Tab.1 Optimal comparison between two models

表2所示為電壓幅值在不同約束情況下，經本文的恢復潮流可行新模型對IEEE 14交直流系統所計算的優化結果。當電壓幅值限制在0.94～1.06(pu)和 0.98～1.02(pu)時，原問題不需要切負荷，經其他控制手段優化后潮流可行，由于限制比較寬松，所以迭代7次和8次就可以收斂；當電壓幅值限制在0.99～1.01(pu)和0.995～1.005(pu)時，原問題潮流不可行，需要分別切除負荷0.047 9(pu)和0.167 6(pu)才能使恢復潮流可行，由于限制比較嚴，所以迭代27次和30次才可以收斂，另外，在這兩種情況下，切負荷位置分別是14和12～14節點，這說明這些節點是負荷端，缺少無功電源支撐，所以這些節點容易越下限，只有切除這些節點的部分負荷才能維持電壓幅值在所要求的區間內。

表2 考慮電壓約束的優化結果Tab.2 Optimal results considering voltage constraints

表3和表4顯示了直流線路電流在不同約束情況下，經本文的恢復潮流可行新模型對 IEEE 14交直流系統所計算的優化結果。當直流電流限制在0.8(pu)和0.6(pu)時，原問題不需要切負荷，經其他控制手段優化后潮流可行，迭代14次和17次就可以收斂；當直流電流限制在 0.4(pu)和 0.3(pu)時，原問題潮流不可行，需要分別切除負荷0.051 1(pu)和0.116 2(pu)才能恢復潮流，由于限制比較嚴，所以迭代55次和56次才可以收斂，另外，在這兩種情況下，切負荷位置分別是10、6、10、14節點。表4顯示了直流線路電流在不同約束情況下，經本文的恢復潮流新模型優化后，交流線路 2-3，3-4和4-5所傳輸電流和功率的優化結果（參考方向從小號節點指向大號節點），隨著直流線路電流約束限制的增強，從節點5流向節點4和從節點2流向節點3的電流和有功功率增加，來滿足節點3有功負荷需要（該節點所接負荷為總負荷的 16.53%），而從節點4流向節點3的電流和有功功率逐漸減少，這是直流線路輸電能力受到約束的結果。

表3 考慮直流線路傳輸約束的優化結果Tab.3 Optimal results considering DC line transmission constraints

表4 考慮直流線路傳輸約束的優化結果Tab.4 Optimal results considering DC line transmission constraints

表5所示為交流線路5-4在不同電流幅值約束情況下，經本文的恢復潮流新模型對 IEEE14交直流系統所計算的優化結果。當交流電流幅值限制在0.8(pu)和0.6(pu)時，原問題不需要切負荷，經其他控制手段優化后潮流可行，由于限制比較寬松，所以迭代14次和17次就可以收斂；當電流幅值限制在 0.3(pu)和 0.245(pu)時，原問題潮流不可行，需要分別迭代51次和98次，切除負荷0.430 8(pu)和0.585 8(pu)才能恢復潮流，切負荷位置分別是2、3、6、13和2、3、6、10-14節點，在這種情況下切負荷位置為電源側和負荷側，這是由于無功傳輸的路徑受到限制，只有切除電源側和負荷側節點所接的部分負荷，才能維持這些節點電壓要求，而前面直流線路受到約束限制時，切負荷位置卻為負荷側，無功傳輸的路徑未受到限制，所以無功電源供應比較充足的電源側節點所接負荷并未切除，只切除無功電源比較缺乏的負荷側部分負荷，來滿足電壓約束要求。

表5 考慮交流線路4-5傳輸約束的優化結果Tab.5 Optimal results considering AC line 4-5 transmission constraints

4 結論

本文通過對有載調壓變壓器支路和換流器支路的有效處理，引進切負荷量，由此建立了交直流混合系統恢復潮流可行性問題的二次切負荷新模型。當最小切負荷為零時，說明原系統利用其他控制手段就可以恢復潮流可行，當最小切負荷不為零時，說明原系統必須利用最小切負荷等控制手段才能恢復潮流可行，這說明最小切負荷量可以作為測量電力系統不可行程度的一種手段。預測-校正原對偶內點法被用來實現這個最優潮流問題，該模型的海森矩陣是恒常矩陣，在整個優化過程中只需要計算一次，這樣減少了內點法的計算機消耗時間；利用COLAMD算法對牛頓方程的系數矩陣進行節點優化排序，以降低求解修正方程所需要的時間。仿真計算結果驗證了所建模型正確性和有效性。

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