LQR控制的柔性機(jī)械臂快速定位方法研究

王清清，方傳智，李夢(mèng)

（安徽工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

LQR控制的柔性機(jī)械臂快速定位方法研究

王清清，方傳智，李夢(mèng)

（安徽工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

為了快速實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂的精確定位，減小機(jī)械臂移動(dòng)過程中的抖動(dòng)，本文利用Lagrange方法建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上利用線性二次最優(yōu)控制LQR（Linear Quadratic Regulator）方法設(shè)計(jì)了機(jī)械臂快速定位控制器.在LabVIEW虛擬儀器軟件中進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明：利用LQR方法控制的機(jī)械臂系統(tǒng)響應(yīng)更快，能更快地到達(dá)目標(biāo)位置，速度提高約2.8倍，大幅減小了達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間，同時(shí)削弱了運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的抖動(dòng)，機(jī)械臂的整體性能得到提高.

柔性機(jī)械臂；精確定位；LQR控制器；系統(tǒng)響應(yīng)

隨著現(xiàn)代工業(yè)化生產(chǎn)率大幅提升，多是通過現(xiàn)代自動(dòng)化的生產(chǎn)線所得，而未來(lái)的機(jī)械人的發(fā)展一定是高速、精密、大承載和輕量化等方向.在特殊行業(yè)以及特殊環(huán)境中的特種微型機(jī)器人，在結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程中，也需要考慮的重要因素是構(gòu)件的柔性變形以及影響其運(yùn)動(dòng)性能和動(dòng)力性能等.在研究柔性機(jī)器人的研究中有三類[1]，包括針對(duì)連桿柔性、關(guān)節(jié)柔性和綜合考慮兩者，研究前兩者的較多，綜合連桿柔性和關(guān)節(jié)柔性因素的文獻(xiàn)較少，具有一定的發(fā)展前途.

目前，大多數(shù)的機(jī)器人開始向柔性方向發(fā)展，由于機(jī)器人的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)也是多采用諧波減速器等，所以機(jī)器臂在工作的過程中就會(huì)產(chǎn)生抖動(dòng)的現(xiàn)象，這也是本文研究的一個(gè)重點(diǎn)問題.

大多研究機(jī)器人的國(guó)內(nèi)外的專家學(xué)者，都是將關(guān)節(jié)為常值剛度條件進(jìn)行展開，來(lái)研究柔性關(guān)節(jié)的機(jī)器人建模與控制問題[2].機(jī)器人的剛度增強(qiáng)的原因[3]有很多種，例如減速器內(nèi)部的齒輪在工作期間的離心力、慣性和最為關(guān)鍵的，一對(duì)齒輪在嚙合時(shí)，嚙合點(diǎn)隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)發(fā)生實(shí)時(shí)的變化[4]，形成嚙合線，在這些原因中，都會(huì)使機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中，關(guān)節(jié)的剛度成動(dòng)態(tài)的表現(xiàn).關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)剛度是通過機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)環(huán)境進(jìn)行判斷預(yù)測(cè)，而預(yù)測(cè)環(huán)境包括對(duì)已知系統(tǒng)和響應(yīng)過程，求解激勵(lì)[5].朱長(zhǎng)春等在振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)響應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法[6]中提到預(yù)測(cè)、響應(yīng)結(jié)構(gòu)抖動(dòng)環(huán)境可以將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)用其中.雷曉燕等在高架軌道誘發(fā)環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)與評(píng)價(jià)研究中對(duì)高架軌道結(jié)構(gòu)的環(huán)境運(yùn)用有限元瞬態(tài)分析方法針對(duì)抖動(dòng)進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析.鄧長(zhǎng)華等在管道聯(lián)接件參數(shù)識(shí)別的行波法[7]中，識(shí)別管道結(jié)構(gòu)聯(lián)接件處物理參數(shù)運(yùn)用行波理論的方法，上述文獻(xiàn)都是對(duì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析，通過已知系統(tǒng)和響應(yīng)過程，求解激勵(lì).莊未等在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下柔性關(guān)節(jié)機(jī)器入振動(dòng)環(huán)境預(yù)測(cè)[8]中的結(jié)論是判斷預(yù)測(cè)關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)剛度和阻尼是機(jī)構(gòu)系統(tǒng)激勵(lì)的基礎(chǔ)，針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的3自由度[9]，提出相結(jié)合行波理論與關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，預(yù)測(cè)下機(jī)器人的柔性關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的振動(dòng)情況以及實(shí)驗(yàn)分析，建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的波動(dòng)方程.

柔性機(jī)械臂作為柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析與控制理論研究的重要對(duì)象，是新型機(jī)器人的重要組成成分，在現(xiàn)代工業(yè)和國(guó)防領(lǐng)域中占有十分重要的地位.相對(duì)于傳統(tǒng)的剛性機(jī)械臂，柔性機(jī)械臂具有更好的高速操作性，更低的能耗，所以擁有更大的工作空間.由于柔性機(jī)械臂在動(dòng)作時(shí)會(huì)產(chǎn)生彈性變形，從而帶來(lái)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程的非線性、強(qiáng)耦合等問題，這給柔性機(jī)械臂的分析和控制帶來(lái)了困難.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于柔性機(jī)械臂的控制分析問題，提出了多種控制方案.非線性反饋控制通過求解逆動(dòng)力學(xué)方程[10]計(jì)算控制力矩以實(shí)現(xiàn)近似解耦和線性控制，該方法以機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型精確已知為前提，對(duì)于具有未知負(fù)載、存在外界擾動(dòng)的機(jī)械臂難以保證控制性能；自適應(yīng)控制方法能夠通過自適應(yīng)方法[11～12]辨識(shí)機(jī)械臂參數(shù)，不需要預(yù)先已知，但是對(duì)于高速運(yùn)行的柔性機(jī)械臂控制需要在線計(jì)算大量位置、速度等非線性函數(shù)，計(jì)算量大且控制器實(shí)現(xiàn)困難；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[13～14]通過學(xué)習(xí)模型中的未知信息來(lái)逼近機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型以實(shí)現(xiàn)控制，但是該方法學(xué)習(xí)速度較慢，計(jì)算量過大，難以滿足實(shí)時(shí)性要求.

柔性機(jī)械臂控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制要兼顧系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)控制兩方面，綜合考慮使性能達(dá)到最優(yōu).本文在分析現(xiàn)有機(jī)械臂控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)后，選取線性二次最優(yōu)控制方法（LQR）作為機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的控制器.使用LQR方法[15～16]的優(yōu)點(diǎn)是不必根據(jù)要求的性能確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，只需要根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線尋找出合適的狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣即可，因?yàn)榍蟮玫目刂破魇钦`差指標(biāo)J最優(yōu)意義下的控制器，所以系統(tǒng)的性能也是誤差指標(biāo)意義下最優(yōu)的.

1 柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型

本文以電機(jī)和齒輪減速箱驅(qū)動(dòng)的單連桿柔性機(jī)械臂作為研究對(duì)象，模型建立過程如下：

系統(tǒng)的彈性勢(shì)能：

式中k為彈性系數(shù)，α為擺動(dòng)角.

系統(tǒng)動(dòng)能：

式中J1為載荷帶來(lái)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2為機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ為機(jī)械臂的定位角度.

利用Lagrange方法：

應(yīng)用Lagrange方程：

式中T0為系統(tǒng)輸出動(dòng)能，Be為等效阻尼，T0表達(dá)式如下：

T0表達(dá)式中各參數(shù)定義：kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常量，km為電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)，kg為齒輪箱總傳動(dòng)系數(shù)，Rm為電機(jī)線圈電阻值，Vm為外加電壓，ηm為電動(dòng)機(jī)效率，ηg為齒輪箱效率.

將公式（5）分別代入公式（6）、（7）并求解得到以下結(jié)果：

以上就是柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.

系統(tǒng)控制的關(guān)鍵在于如何使u=[k1k2k3k4][θ α θ'α']T最優(yōu)，其中k1～k4為待定系數(shù).

將式（9）、（10）的模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程，便于構(gòu)建控制器對(duì)模型進(jìn)行最優(yōu)控制，轉(zhuǎn)換后的方程如下：

2 建立LQR控制器

LQR控制器的設(shè)計(jì)原理是線性二次最優(yōu)控制思路，在系統(tǒng)由于本身因素或者外界干擾影響而失去平衡狀態(tài)時(shí)，該控制器能在較低能耗下控制系統(tǒng)各分量回歸接近于平衡狀態(tài)[17].經(jīng)過控制的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)可線性化，所以解答簡(jiǎn)單，適用于對(duì)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的控制.

對(duì)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程描述一般如下：

其中A,B,C分別為時(shí)間的矩陣函數(shù)，最優(yōu)控制的目的是將系統(tǒng)由非平衡狀態(tài)控制返回接近至平衡狀態(tài).

LQR方法給定了決定性能的目標(biāo)函數(shù)：

其中u不受限制，Q為半正定矩陣，是對(duì)狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣，R為正定矩陣，是對(duì)輸入量的加權(quán)矩陣.

對(duì)于本文建立的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，相應(yīng)的LQR控制器指標(biāo)函數(shù)可以表達(dá)為：

只要上式的J達(dá)到最小，就實(shí)現(xiàn)了LQR控制器對(duì)柔性機(jī)械臂的最優(yōu)控制.

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

對(duì)式（11）模型中的各參數(shù)計(jì)算賦值：Rm=2.6Ω，k=0.8，kt=0.00767N·m/A，km=0.00767V/(rad/s)，kg= 70，J1=2.6×10-3kg·m2，J2=3.5×10-3kg·m2，Be=4×10-3Nm·s/rad，ηg=0.9，ηm=0.69.將以上參數(shù)代入式（11）計(jì)算，結(jié)果轉(zhuǎn)化為式（12）、（13）的模式如下：

在LabVIEW軟件中搭建了LQR模型，模型的參數(shù)經(jīng)過試驗(yàn)比較選擇如下：

本文研究的柔性機(jī)械臂性能評(píng)定指標(biāo)是定位角θ和機(jī)械臂移動(dòng)過程中的擺角α，要求θ在響應(yīng)過程中能迅速達(dá)到目標(biāo)定位值，要求α能迅速達(dá)到期望值0，并且在響應(yīng)過程中出現(xiàn)盡量少的抖動(dòng).

將上述機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)和LQR控制器模型參數(shù)加載到控制程序中，在系統(tǒng)的階躍響應(yīng)情況下比較加入控制器和未加控制器的響應(yīng)結(jié)果，結(jié)果如下圖1所示.

圖1 LQR控制前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖

將圖1中表示θ和α的階躍響應(yīng)參數(shù)提取列表如下.

表1 LQR控制前后的角度響應(yīng)參數(shù)對(duì)比

得到反饋的LQR控制器最優(yōu)參數(shù)為：K=[1.15 -2.510.22-0.04].分析圖1中兩組階躍響應(yīng)圖：圖（a）中定位角θ的響應(yīng)曲線經(jīng)過LQR控制前后有明顯區(qū)別，在設(shè)定一個(gè)共同的期望定位角后，LQR控制的系統(tǒng)相對(duì)無(wú)控制的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間較快，從表1可知無(wú)控制的θ角達(dá)到期望值的時(shí)間為7.7s，而LQR控制的θ角達(dá)到期望值的時(shí)間僅為2.75s，效率提高近2.8倍，柔性機(jī)械臂的定位速度得到大幅提高.

擺動(dòng)角α表示機(jī)械臂移動(dòng)過程中的抖動(dòng)強(qiáng)弱，是機(jī)械臂穩(wěn)定性評(píng)估的重要參數(shù).從圖（b）結(jié)合表1可知，施加LQR控制前后，α到達(dá)期望值0的時(shí)間接近，分別為控制前的2.2s和控制后2.1s.但是未加LQR控制的α響應(yīng)曲線在達(dá)到期望過程中存在較多峰值，抖動(dòng)效果太強(qiáng)，在工作過程中會(huì)對(duì)作用對(duì)象造成破壞，長(zhǎng)時(shí)間抖動(dòng)也會(huì)影響機(jī)械臂本身壽命和精度.而經(jīng)過LQR控制的α角在響應(yīng)過程中只存在一個(gè)較高峰值，隨后迅速削弱向期望值0逼近并保持，說(shuō)明經(jīng)過LQR方法控制的系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)節(jié)平衡能力遠(yuǎn)強(qiáng)于未加LQR控制的系統(tǒng)，同時(shí)大幅度削弱了抖動(dòng)，對(duì)作用對(duì)象和柔性機(jī)械臂都有較好的保護(hù).

分析了LQR控制系統(tǒng)響應(yīng)的優(yōu)越性后，作出LQR控制的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的輸出效果曲線，如圖2所示.

圖2 LQR控制的系統(tǒng)輸出

圖2中定位角θ穩(wěn)定上升到目標(biāo)位置，控制效果偏差從初始位置迅速降低到0，由于LQR系統(tǒng)很好的消除了機(jī)械臂動(dòng)作過程中的抖動(dòng)，擺動(dòng)角α輸出曲線基本保持在0位置，圖1、圖2的分析結(jié)果表明經(jīng)過LQR控制的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)快速精確定位，并且能有效削弱定位過程中機(jī)械臂的抖動(dòng).

4 總結(jié)

目前，機(jī)器人的方向開始往柔性方向發(fā)展，而機(jī)器人的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)多采用諧波減速器等，所以機(jī)器臂在工作的過程中就會(huì)產(chǎn)生抖動(dòng)的現(xiàn)象，這也是本文研究的一個(gè)重點(diǎn)問題.

柔性機(jī)械臂的快速定位和抖動(dòng)消除是一個(gè)復(fù)雜的問題，建立柔性機(jī)械臂系統(tǒng)控制器模型不僅要考慮定位的快速準(zhǔn)確，更要保證模型能夠削弱機(jī)械臂動(dòng)作過程中的抖動(dòng).本文提出利用LQR方法建立柔性機(jī)械臂的控制模型，在LabVIEW軟件中進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LQR方法控制后的柔性機(jī)械臂可以快速精確地到達(dá)目標(biāo)位置，并且可以大幅削弱定位過程中機(jī)械臂的抖動(dòng)，該方法效果穩(wěn)定快速，能夠用于控制柔性機(jī)械臂的快速定位.

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1673-260X（2015）04-0028-04