創意平板折疊桌的最優設計

王 娟田玲玲趙 旭

（1.陜西師范大學商學院, 陜西 西安 710119；2.陜西師范大學數科院, 陜西 西安 710119）

創意平板折疊桌的最優設計

王 娟1田玲玲2趙 旭2

（1.陜西師范大學商學院, 陜西 西安 710119；2.陜西師范大學數科院, 陜西 西安 710119）

文章研究了平板折疊桌動態變化過程的問題.分別利用空間幾何、整合和轉化的思想,建立以鋼筋在桌腿開槽中滑動的空間曲線方程模型和以桌腿長度為決策變量,用材最少為目標函數,穩固性良好及加工方便為約束條件建立單目標線性規劃模型,結合 MATLAB軟件求解最優設計加工參數，并用LINGO和MATHEMATICS軟件解出當桌高為70cm，桌面直徑是80cm時最優加工參數，推廣了桌面邊緣線為橢圓時的最優加工參數。

空間的思想；空間曲線方程模型；整合、轉化思想；單目標線性優化模型

1 引言

本文研究的是2014年全國大學生數學建模競賽B題[1]。隨著人口數量的逐年增長，有限的空間資源越來越寶貴，因此對于既能滿足生活及審美需要又能節省空間產品的探究有著深遠意義。

某公司生產一種折疊桌，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度[2]。問題一，給定長方形平板尺寸為120cm×50cm× 3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。建立數學模型描述此折疊桌的動態變化過程，給出此折疊桌的桌腿木條開槽的長度設計加工參數和桌腳邊緣線的數學描述.問題二，在保證折疊桌穩固性好、加工方便、用材最少的前提下，對于桌高70cm，桌面直徑80 cm的情形，討論長方形平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等最優設計加工參數。問題三，根據所建模型當客戶任意設定折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，以橢圓為例給出最優設計加工參數。

2 模型建立與求解

2.1 折疊桌動態變化的幾何模型

首先討論折疊桌的動態變化過程，將其中的一個三角形抽象出來進行分析，分別以第i、i+1根桌腿從桌子邊緣到鋼筋的長度以及第i和i+1根桌腿之差，即ai、ai+1和bi+1為三角形的三條邊。此時的角度αi+1是指桌子在撐開過程中第i+1根桌腿與桌面的夾角。每根桌腿與桌面之間的夾角 αi+1與鋼筋所在位置的關系可表示如下：

圖1 三角形示意圖

由此建立平板折疊桌每根桌腿中鋼筋位置距桌面邊緣距離隨著每根桌腿與桌面之間夾角的變化的空間曲線方程模型：

根據遞推的原理可求得其余的桌腿中鋼筋位置距桌面邊緣的距離隨角度變化的動態過程。

將平板劃分為四個對稱的區域[3]，只需計算出其中一個區域的十條桌腿長度即可。以下為桌子折疊前的示意圖：

圖2 平板折疊邊桌折疊前的示意圖

圖 2中，在Rt△ABC中，AB的長度為圓的半徑r，即AB=AF=r=25cm，CF的長度為桌腿寬的一半，即 CF=1.25cm，由勾股定理有=7.8062cm。

由幾何關系可得最長桌腿的長度l0為平板長度a的一半與 BC的差值，即= 52.1938cm。

以此類推，可依次求得最長到最短10根桌腿長度為

其中，li為第i根桌腿的長度，d為桌腿的寬。

從而相鄰兩條桌腿之差為

由相似三角形的性質得桌子折疊后高度為桌子撐開時垂直高度的一半，即h/2，又鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上且與桌面形成線面平行，故由勾股定理有

式中，ib∑ 表示該開槽所在桌腳與最長桌腳的長度差值。

通過如上討論和分析得到桌子在完全撐開后該模型可表示如下：

此時桌腿與桌面之間的夾角是一個定值，在計算最長桌腿與水平面的夾角時可先計算其與豎直方向的夾角，再加上90°即為所求角度，如下圖：

圖3 桌腿與桌面之間夾角示意圖

由以上模型結合MATLAB軟件[4]求解出相關數據如下表：

表1 十根桌腿的相關結果

以鋼筋與桌子邊緣交點O為原點，鋼筋所在豎直面為xOy面，平行于平板寬的方向為x軸，平板長的方向為y軸，垂直于平板的方向為z軸，建立空間直角坐標系如下圖：

圖4 折疊桌動態變化的坐標系

將每個桌腿開槽相對于鋼筋的運動分解為兩個方向的運動，一個方向是在xOy平面上的上下移動，如圖中點a、b、c、d、e、f、g、h、i、j平移到點a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*所在位置的過程，上下移動的距離即為每個木板上開槽的長度; 另一方向是桌腳在yOz平面上以a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*位置的點為圓心進行旋轉，旋轉角度就是桌子完全立起來時每個桌腿與豎直方向的夾角.可得桌腳邊緣線是由鋼筋的運動曲線在y軸方向上平移最長桌腿長度的一半得到的.最終形成的曲線在xOy平面上的投影曲線中各點的橫坐標即每個桌腿寬度的中點距桌子邊緣的距離，即

豎坐標為桌子撐開時鋼筋所在位置到桌子邊緣的距離在豎直方向上的投影，即 z=aisinθ，其中，θ指桌子撐開時桌腿與水平面的夾角.代入在上述幾何模型中求得的數值運用MATLAB軟件進行曲線擬合可得參數方程：

其中，t為離散變量，取值1,2,3,…,10。

用 MATLAB軟件對三個參數方程分別進行曲線擬合如下[5]：

圖5 x的擬合曲線

圖6 y的擬合曲線

圖7 z的擬合曲線

三次擬合的可決系數分別為1、0.9986和0.9998，說明擬合度很好。由此可得，從長到短十根桌腳的桌腳邊緣線的方程為：

用 MATLAB 軟件畫出桌子撐開時其中從長到短十根桌腿的桌角邊緣線在空間中的圖像如下：

圖8 桌子撐開后桌腳邊緣線在空間中的分布圖

圖8中，曲線上的點距離xOy平面越來越遠，說明隨著桌腿從長到短，開槽長度越來越長，鋼筋在該開槽里的運動軌跡越長。

2.2 對于給定的設計要求確定最優加工參數

根據物理知識分析可得當桌面與桌子的四條腿連線正方形相切時為桌子的穩固性臨界態，且由幾何知識得，此時桌子在給定高度和半徑的前提下所用材料最少。

通過以上分析和討論可建立以桌腿長度為決策變量，使用材料最少為目標函數的單目標線性規劃模型[6]，其中，約束條件有兩類：一類是穩固性的約束；另一類是開槽長度的約束[7]，所建模型如下：

目標函數： min z =80× 2 (l0+n)×3.

約束條件：

其中，z表示長方形平板的體積，n為桌面半徑與第 1根桌腿的插值長度，λ為鋼筋距底端占整條卓腿長的比例，是穩固性臨界狀態下支撐腿的長度。

運用LINGO軟件解得：長方形平板尺寸為169.8457cm× 80cm×3cm，z=82005.94cm3，＝72.43285cm。

而臨界狀態下不是最優解，最優解為

假設鋼筋的位置在從底端起占整條桌腿長比例為λ處，分別以支撐腿、相鄰桌腿從桌子邊緣到鋼筋的長度和這兩根桌腿之差，即hλ、l0λ和b1為三角形的三條邊作出下圖：

圖9 支撐腿與其相鄰桌腿之間的關系圖

根據余弦定理，得

運用 MATHEMATICS 軟件求解得：λ＝0.7748。求得開槽長度xi，結果見下表：

表2 十根桌腿的數據結果

2.3 對于任意的設計要求確定最優加工參數

在桌子未撐開時，以矩形材料的中心為原點、水平面為xOy面、豎直方向為z軸建立空間直角坐標系。從yOz平面的方向看，對于最長的桌腿l0而言，有.

桌子完全展開后鋼筋在開槽中的位置與桌面邊緣線的距離可分解為橫軸、縱軸和豎軸三個方向上的距離可表示為空間曲線方程模型如下：

在用戶給定桌子的高度、厚度及桌面邊緣線的形狀的情況下，將這些參數代入模型即可求得桌子撐開時鋼筋與桌面邊緣線的距離ai，即

根據空間曲線方程模型，設計桌面邊緣線的形狀為橢圓，其中橢圓的長短軸分別120cm和90cm，桌子高度為100cm。運用 MATLAB軟件作出桌面邊緣線為橢圓時桌子撐開的動態變化圖如下[8]：

圖10 橢圓第一階段圖

圖11 橢圓第二階段圖

圖12 橢圓第三階段圖

圖13 橢圓第四階段圖

運用 MATLAB 軟件計算桌腿上的開槽長度分別為：(單位：cm)0.0107、0.0451、0.1115、0.2290、0.4399、0.8381、1.5948、2.8701、4.6657、6.9128、9.5781、12.6694、16.2243、20.3083、25.0235、30.5308、37.1024、45.2677和56.3817。

3 評價與推廣

參數計算通過計算機編程實現，減少了計算的復雜度，提高了結果的科學性。根據杠桿原理并結合生活常識分析折疊桌的穩固性，并將其量化成最長桌腿的桌腳間距離與桌面半徑之間的等量關系，使穩固性這一抽象概念更加具體。但該模型在對折疊桌的穩固性進行分析時，只考慮最外側四條桌腿對穩固性的影響，并未考慮其它桌腿對穩固性的影響，結果不具有普遍性。

該模型可推廣至平面設計、城市規劃等領域中，相關圓形、橢圓桌面各參數的討論也可以應用于分析桌面為正多邊形或不規則多邊形時各參數的變化情況。

[1] 中國工業與應用數學學會.2014年全國大學生數學建模競賽[EB/OL].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d 9986693c2ebd67962cdc7d9df.html,2014-9-12/2010-09-12.

[2] 韓佳成.平板折疊邊桌[J].設計,2012,(8):24.

[3] 穆玉杰.圖形顯示中的幾何變換[J].純粹數學與應用數學,1993,9(2):1-8.

[4] 馬明書,孟燕玲,朱霖霖.三維拋物型方程的一個高精度恒穩定的 PC格式[J].純粹數學與應用數學,2009,25(3): 459-463.

[5] 陳杰.MATLAB 寶典[M].北京:電子工業出版社,2010.

[6] 胡運權.運籌學教程[M].北京:清華大學出版社,2012.

[7] 徐語論,趙德芬,王薇.由任意初始點求解離散型約束全局優化問題[J].數學雜志,2011,31(3):539-546.

[8] 安凱,于紅斌,張霄雨,等.基于無約束優化的創意平板折疊桌設計[J].福建電腦,2014,(8):24-25.

The optimum design of creative flat folding table

This paper studies the question about the dynamic change process of the flat folding table. By using the space geometry, integration and transformation, respectively, establish a space curve equation of the model that the steel slides in the table leg slot, and single objective linear programming model with table leg length as decision variables, material minimum as objective function, good stability and easy processing as constraints,combining with the MATLAB software to solve design processing parameters and LINGO、MATHEMATICS soft wares to work out the optimal processing parameters when the high table is for 70 centimeters and the desktop is a diameter of 80 centimeters. Promote the optimal processing parameters when the desktop edge line is ellipse.

The idea of space;space curve equation model; integration、transformation of ideas; single objective linear optimization model

O29

A

1008-1151(2015)02-0118-04

2015-01-13

王娟（1993－），女，內蒙古呼和浩特人，陜西師范大學2012級本科生，研究方向為財務管理。