讓學生在數學學習中學會反思

丁玲

摘 要：我們在解了一道數學題后，問題本身雖然獲得了解決，但并不意味著解題思維活動的結束，而應該是深入認識的開始，筆者認為可以從思考過程、所涉及的思想方法、數學活動中有聯系的問題、數學活動的結果這四個方面進行反思。

關鍵詞：數學學習；反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）19-074-1

數學學習中的反思不僅是對數學學習一般性的回顧或重復，更是要深入探究數學活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，反思的目的不僅僅是為了回顧過去，更重要的是指向未來的數學學習。由于數學對象的抽象性，數學活動的探索性，數學推理的嚴謹性和數學語言的特殊性，決定了正處于思維發展階段的中學生不可能一次性地直接把握數學活動的本質，必須要經過多次地反復思考、深入研究、自我調整才能洞察數學活動的本質特征。

那么在數學學習中如何引導學生進行反思呢？教師主要從以下四個方面引導學生進行反思：

一、對自己的思考過程進行反思

對自己的思考過程進行反思，就是在一個數學活動結束后，力求去回憶自己從開始到結束的每一步心理活動，一開始自己是怎么想的，走過哪些彎路，碰到哪些釘子；為什么會走這些彎路，碰到這些釘子有什么規律性的經驗可以吸取；自己的思考和老師同學的有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么；自己在思考途中是否做過某些調節，這些調節起到了什么作用，或者為什么當時不能做出某些調節；自己在思考的過程中有沒有做出過某種預測，這些預測對自己的思考是否起到了作用，自己在預測和估計方面有沒有帶普遍意義的東西可以歸納等等。

例1 求過點（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個公共點。

學生的解法一般是：設所求的直線方程為y=kx+1，由y2=2xy=kx+1整理得：

k2x2+2（k-1）x+1=0，根據題意得Δ=0，解得k=12，所求直線方程為：y=12x+1。

老師通過引導學生反思問題的思考過程，可以發現學生在上述思考過程中有三個不嚴謹之處：

（1）設直線方程為y=kx+1，則已默認所求直線斜率存在；

（2）忽視了“k=0”的情形；

（3）混淆了“相切”與“僅有一個公共點”這兩個不同的概念。

通過上述的反思，可以使學生發現思考問題過程的不足，從而完善解題過程，同時也提高了他們發現問題的能力，訓練了思維的嚴密性和批判性，有利于學生形成嚴謹細致的學習作風和習慣。

二、對所涉及的思想方法進行反思

對數學思想方法的領會、掌握和運用是數學學習的精髓。數學思想方法的學習，一方面要靠老師在長期的教學中提示、歸納、點撥，更要靠學生自己在長期的數學學習中領悟、吸收和運用。中學數學中蘊涵的思想方法主要有：消元、換元、配方、待定系數、分類討論、數形結合等。

數學活動總是要涉及數學思想方法，因此反思的一個重要內容就是：發掘活動中涉及了哪些數學的思想方法，這些思想方法是如何運用的，有什么特點，這樣的思想方法是否在其他情況下運用過，現在的運用和過去的運用有何聯系和差異，是否有規律性的東西。有了這樣的反思，對數學思想方法的認識、把握、運用的水平就會不斷的提高。

三、對數學活動中有聯系的問題進行反思

所謂對有聯系的問題進行反思，是指在數學活動中必然要與一些已經相識或似曾相識的問題有所聯系，因而在活動結束以后應對那些有過聯系的問題進行反思。回顧整個活動中曾經與哪些問題有過聯系，有什么地方聯系過，除此以外還可以與哪些問題聯系；思考為什么會或可以產生聯系，具體產生了什么聯系，是問題的情景（知識、表述方式、圖形）有聯系，是問題的方法（策略、數學思想）有聯系，還是問題的結論有聯系；是整個問題有聯系，還是問題的某個局部有聯系。所有這些聯系之間能否概括出某種規律或經驗，經過這樣的聯系對原問題是否有新的認識。通過這種反思，力求使得每一個數學活動都不是孤立無援的，從而起到舉一反三、融會貫通的作用。

四、對數學活動的結果進行反思

在數學活動結束后要從以下幾個方面反思：反思整個數學活動的過程是否正確，反思導出數學結果的方法是否唯一，還有沒有其他的方法可用，反思能否從本次數學活動的結果出發導出其他更進一步的數學結論，反思能否把這樣的方法用來解其他的數學問題，也即能否一法多用，多題一解。若能很好地進行這樣的反思，整個數學活動將會非常的圓滿。

例2 設A，B為橢圓x29+y24=1的左右頂點，P為橢圓上異于A，B的任意一點，求直線PA和PB斜率的乘積。

反思1：本題的結果是-49，而橢圓方程中a2=9、b2=4，是否有一般性的結論-b2a2呢？

將橢圓方程改為一般形式x2a2+y2b2=1后，用相同方法可得kPA·kPB的結果為-b2a2，具有一般性的規律。

教師引導：我們能不能將此結論推廣到更加一般的情況呢？

反思2：若將AB設為橢圓x2a2+y2b2=1的任意一條過中心的弦，P為橢圓上異于A，B的任意一點，且直線PA和PB的斜率存在，求kPA·kPB的值。

學生計算得出還是等于定值-b2a2。

反思3：既然橢圓中有此統一的結論，那么雙曲線中是否也有類似的結論呢？

對例2解完后的一系列反思，既是讓學生體驗數學結論具有規律性的過程，也是學生在教師引導下進行數學探究的過程，為學生能開展一般性的數學活動積累了經驗。

數學學習中的反思活動，一方面靠老師的示范和引導，更重要的是學生自己要學會反思，并在數學學習中自覺進行反思，逐漸形成反思的習慣和意識。