小型異步電機模態計算與試驗分析

謝 穎 王 嚴 呂 森 葛紅巖 劉海松

（哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院 哈爾濱 150080）

0 引言

小型異步電機應用于多種工作場合，其振動和噪聲問題一直是研究的熱點。模態分析是電機振動和噪聲研究中的重要組成部分，國內外學者做了很多研究工作。文獻[1-4]針對開關磁阻電機的模態做了詳盡研究；文獻[5]利用有限元法計算了超聲波電機的模態，并用阻抗-頻率特征儀實際測量了共振頻率；文獻[6]通過拾取電機在空載時的振動信號判斷了電機的固有頻率；文獻[7]對結構不同的疊片做了試驗研究，表明定子疊片結構從簡單到復雜其固有頻率會降低。文獻[8]用有限元法計算了不同槽極配合時永磁同步電機的模態問題，得到的結論是定子軛厚度增加時模態頻率增大。

由于散下線繞組的質量、剛度以及與鐵心的連接情況都難以確定，因此無論是解析計算還是數值計算都很難準確地考慮繞組對定子固有頻率的影響，這樣電機模態研究的重點和難點大多集中在定子繞組上。一些文獻[6,9-12]研究了異步電機的模態問題，但其對定子繞組的研究大都基于仿真計算，而非通過對實際帶有不同繞組的定子模型進行模態試驗來研究。

本文以一臺1.1kW 小型異步電機為樣機，通過模態試驗展開繞組對定子固有頻率影響的研究。將定子二階模態作為了試驗和計算對象，一方面是由于試驗系統的頻帶寬度限制，令一方面是由于樣機的二階固有頻率已經很高，電磁力波的頻率很難達到定子三階及以上的固有頻率。為了更加準確地獲得定子的徑向二階固有頻率，本文利用加速度頻響函數的幅值和相位對其進行了判定，并詳細分析了繞組對定子模態的影響。用有限元法計算了不帶繞組的定子，帶有等效繞組的定子以及整機的模態，最后基于試驗和計算的結果討論了轉子、端蓋及機殼對定子固有頻率的作用。

1 模態試驗

1.1 試驗系統與試驗方法

模態試驗系統主要由三部分組成:激勵部分，響應測量部分，數據采集和分析處理部分。試驗采用單點激振多點拾振的錘擊法，沖擊錘錘頭使用了頻帶較寬的鋼材料頭，錘頭上安裝有力傳感器用來測量激勵信號，響應信號則由安裝在被測樣機上的三向加速度傳感器測量，由信號采集分析儀采集并存儲測量到的數據，最后由模態參數識別軟件對采集的數據進行處理。為減小泄露和噪聲帶來的誤差，分別對激勵信號和響應信號施加了相應的窗函數，同時在一次測試中采用多次敲擊求平均的方法以減小噪聲干擾。

試驗的定子模型分別為:①定子鐵心；②定子鐵心+未浸漆繞組；③定子鐵心+去掉端部的繞組；④定子鐵心+浸漆繞組，如圖1 所示。為了保證試驗結果具有對比性，本試驗所使用的定子模型均為同一個定子。整機試驗模型包括:①整機；②整機（去掉轉子）；③整機（去掉轉子和端蓋），整機中的定子同為圖1 中的定子。

圖1 待測定子和試驗系統Fig.1 Test stator and test table

定子模態試驗時，將兩個三向加速度傳感器通過安裝磁座對稱地固定在定子外圓上；整機模態試驗時則將兩個傳感器水平固定在電機機殼的上表面。傳感器的安裝位置及激振錘的錘擊位置和方向如圖2 所示。

圖2 傳感器安裝位置和錘擊方向Fig.2 The installation site of sensors and the direction of hammer

1.2 定子鐵心徑向二階固有頻率的判定方法

眾所周知，電磁振動和噪聲是由氣隙中的徑向電磁力波作用在定子上所激發，因此對定子模態的研究主要考慮軸向階數為零的徑向模態。為了更好的判定試驗所得到的定子固有頻率是否為軸向階數為零的徑向固有頻率，本文通過模態試驗所得到的加速度頻響函數的幅值和相位對其進行了驗證。

從圖3 中可以看出，對于定子徑向二階模態，在定子外圓上任意對稱兩點的形變大小一致。定子外徑上A-C-E-G-A 正好經歷了兩個正弦周期。圖2中兩個傳感器安裝在定子外圓上對稱的位置上，從傳感器1 到傳感器2 的振動曲線一定經歷了一個正弦周期。假設兩個傳感器的位置為圖4 中X，Y 的位置，那么對于定子二階模態，兩個測試點處的位移和相位一定相同。由于本實驗使用的是加速度傳感器，得到的是加速度頻率響應函數，無法直接利用振動的位移和相位對定子的徑向二階固有頻率進行判定。但加速度頻響函數的幅值和相位與位移頻響函數的幅值和相位具有一定的關系，下面進一步說明這種判定方法的依據。

圖3 定子鐵心的二階模態振型Fig.3 Second order mode of vibration of stator core

圖4 定子鐵心二階模態振動位移曲線Fig.4 Curve of the vibration displacement of second order modal of stator

電機實際振動時，由于阻尼的作用，使得各點的振動除了振幅不同外，振動相位也各異，這就使得系統的特征頻率及特征向量成為復數。

自由振動的運動微分方程為

式中 x——振動位移；

m——振動物體質量；

c——阻尼系數；

k——彈簧系數[13]。

通過拉普拉斯變換和反變換得到系統的頻率響應函數為

式（2）是以位移為對象推導出的頻率響應函數。現記Hd(ω)、Hv(ω)、Ha(ω) 分別為位移、速度和加速度頻響函數，三者之間的關系為

將Hd(ω) 表示成實部和虛部的形式為

可得Hd(ω) 的模為

從而得到Ha(ω) 的模為

通過以上分析知道，加速度頻響函數的幅值是位移頻響函數幅值的ω2倍，而二者的相位相差π。即加速度頻響函數的幅值、相位與位移頻響函數的幅值、相位皆為線性關系，也就是說如果定子外圓上兩個測試點處振動位移的幅值和相位一樣的話，其振動加速度的幅值和相位也將一致，因此可以利用加速度頻響函數幅值和相位進行判定。

1.3 試驗數據處理及分析

由于錘擊法由人工操作，敲擊力度和錘擊方向具有隨機性，為了避免試驗過程中可能出現的錯誤并減小誤差，本試驗對待測模型進行了多次測量。圖5 中給出了兩個三向加速度傳感器在十次測試過程中的Z 方向頻率響應曲線，兩個傳感器頻響曲線共同的波峰為試驗模型的固有頻率。可以看出不帶繞組定子模型的頻響曲線中出現了兩個相距較近的波峰，而其他帶有繞組的定子模型只出現了一個波峰。

圖5 定子模態試驗加速度頻率響應曲線Fig.5 Acceleration frequency-response curves of stator

對于整機模態試驗，圖6 中可以看出其頻響曲線中出現了兩個相距較遠的波峰。下面將對試驗得到的加速度頻響函數做進一步的處理并加以分析。

圖6 整機模態試驗加速度頻率響應曲線Fig.6 Acceleration frequency-response curves of whole motor

利用模態識別軟件對試驗得到的加速度頻率響應函數進行處理，可以得到定子測試點處的振動加速度幅值和相位。測試中使用的是三向加速度傳感器，根據圖2 中兩個加速度傳感器的布置，Z 方向即為徑向。以不帶繞組定子的試驗結果為例，本文提取了在一次模態試驗中兩個傳感器在X、Y、Z 三個方向上的加速度幅值以及Z 方向的加速度相位，如圖7 所示。從中可以看出，在2 777Hz 和2 840Hz左右處Z 方向（即徑向）的加速度幅值較其他頻率處的幅值大很多，同時Z 方向的幅值比X、Y 方向的幅值也大很多，說明此頻率處定子發生的主要是徑向變形。并且此頻率處兩個加速度頻響函數在Z方向上的幅值和相位都很接近，由此可以判定這兩個頻率為定子鐵心的徑向二階固有頻率。圖8 給出了不帶繞組的定子在十次模態試驗中得到的徑向二階固有頻率值，經過十次測試結果取平均得到不帶繞組定子的徑向二階固有頻率分別為2 777.07Hz 和2 840.27Hz。

圖7 定子鐵心兩個測試點處加速度頻響函數的幅頻圖和相頻圖Fig.7 Amplitude frequency figure and phase frequency figure of acceleration frequency response functions at the two test points of stator

圖8 不帶繞組定子的二階固有頻率十次測試結果Fig.8 Second order natural frequency of the stator without windings in ten times modal tests

同樣運用加速度頻響函數幅值和相位的判定方法，經過整理得出了另外三種定子模型的模態試驗結果。圖9 給出了十次模態試驗所得到的定子二階固有頻率值和對應此頻率的Z 方向（即徑向）加速度頻響函數相位。從結果中可以看出，十次模態試驗所得到的固有頻率值都很接近，說明試驗結果可靠。并且在各次測試中兩個傳感器的加速度頻響函數在Z 方向上的相位都很接近，可以判斷所得的頻率為定子的徑向二階固有頻率。

圖9 定子二階固有頻率十次模態試驗結果Fig.9 Ten times modal tests result of the stator second order natural frequency

經過10 次測試結果取平均，得到了帶有未浸漆繞組的定子，去掉端部繞組的定子，帶有浸漆繞組定子的徑向二階固有頻率依次為 2 861.44Hz，2 708.61Hz，2 702.61Hz。與不帶繞組定子的試驗結果比較可知，未浸漆的繞組對定子二階固有頻率影響較小，這可以解釋為繞組與定子鐵心并未緊密連接在一起；繞組浸漆后定子的二階固有頻率有明顯下降，并且低于不帶繞組定子的二階固有頻率，說明浸漆繞組的質量對定子模態的作用大于剛度；去掉端部繞組前后定子的二階固有頻率變化很小。

對三種整機模型的試驗結果進行處理，并將十次測試結果取平均后得到了三種整機模型的定子二階固有頻率，如圖10 所示。整機的模態試驗得到了兩個在數值上相差較大的定子二階固有頻率。去掉轉子后定子二階固有頻率變化很小；而同時去掉端蓋和轉子后，其二階固有頻率有較明顯下降。

圖10 整機模態試驗結果Fig.10 Modal test results of the whole motor

2 模態數值計算

2.1 定子模態計算

本文分別對不帶繞組的定子和去掉端部繞組的定子模型進行了計算。對于模態的數值計算，材料的彈性模量、泊松比和密度對模態計算的結果有著很大的影響，因此獲得準確的材料特性至關重要。通過實際稱重并計算得到了鐵心的實際密度為7 260kg/m3左右。文獻[14]針對定子鐵心的彈性模量進行了測量，本文使用了其測量結果 E=1.521×1011Pa，泊松比取0.3。經計算得到定子二階固有頻率為2 753.6Hz 和2 753.9Hz，與試驗結果誤差較小。圖11為樣機定子的計算模型。

圖11 定子三維有限元計算模型Fig.11 3D finite element calculation model of stator

對于去掉端部繞組定子的模態計算，本文使用了圖12 所示的帶有等效繞組的定子模型。為了確定等效繞組的密度，將不帶端部繞組定子中的剩余繞組（定子槽中的銅）取出，并稱其質量為0.44kg，將其平均分布在圖12 中的18 個等效繞組中，這里將等效繞組與鐵心內壁視為緊密接觸。等效繞組的等效密度為ρ=3 869.8kg/m3，等效彈性模量取為E=1.2×109Pa，泊松比取0.3。計算出的定子二階固有頻率為2 670.3Hz，與試驗值2 708.6Hz 誤差較小。

圖12 定子和等效繞組的三維模型Fig.12 3D model of stator and equivalent windings

2.2 整機模態計算

對于整機模態的數值計算，本文將重點放在了轉子及端蓋對其固有頻率的影響上。樣機的三維全域實體模型和有限元計算模型分別如圖13 和圖14所示。

圖13 樣機三維實體模型Fig.13 3D solid model of prototype

圖14 樣機三維有限元計算模型Fig.14 3D FEM calculation model of prototype

對于有限元計算模型的建立，本文使用了六面體單元，采用了掃率剖分。由于電機結構較復雜且不規整，本文先將電機分割成了適合于掃率剖分的幾何體，剖分后再使用MPC“綁定”技術將被分割的幾何體連接成一個整體，這樣既大大減小了單元數量，縮短了計算時間，同時可以保證分割處單元位移自由度的連續性。由于機殼和定子鐵心間為過盈配合，二者在徑向方向上緊密接觸，所以本文也將定子鐵心和機殼“綁定”在了一起，這樣可以很好的計及機殼對定子固有頻率的影響。轉子僅與軸承相接觸，為了準確計入轉子對計算結果的影響，本文使用了剛性梁單元模擬轉軸和軸承之間的約束作用。該單元具有兩個節點，連接于轉軸中心節點和軸承內表面節點，圖15 所示為該約束單元。

圖15 軸承和轉軸連接單元Fig.15 Link element between bearing and spindle

整機計算時的定子同為圖12 所示的去掉端部繞組的定子模型，電機各部件的材料屬性在表1 中給出。模態試驗時沒有對電機地腳固定，在有限元計算時也未對電機地腳施加約束條件。經過計算，得到了5 個定子二階固有頻率，其中前3 個與后2個固有頻率在數值上相差較大，而模態試驗只得到2 個數值相差較大的定子二階固有頻率，也就是說用有限元法可以得到更加完整的模態頻率和振型。在整機的模態試驗和計算時都出現了數值相差較大的定子二階固有頻率，這是機殼所引起的現象。機殼不僅增大了定子固有頻率，而且增加了其固有頻率的個數。

表1 電機各零部件的材料特性Tab.1 Material characteristics of every part of the motor

圖16為5 個定子二階固有頻率下定子和整機的模態振型，可以看出此時轉子幾乎沒有變形。圖17為轉子固有頻率下轉子和整機模態振型，此時機殼幾乎沒有變形，而轉子產生了較大的變形，這也進一步說明了轉子對整機及定子的模態影響甚小。

圖16 定子和整機模態振型Fig.16 Mode shapes of stator and whole motor

圖17 轉子和整機模態振型Fig.17 Mode shapes of rotor and whole motor

同時計算了將電機轉子去掉及將轉子和端蓋都去掉的電機模型，計算出的定子二階固有頻率列于表2。從中可以看出，將電機轉子部分去掉后，定子也同樣出現了5 個徑向二階固有頻率，并且其數值較轉子去掉前變化很小。將端蓋去掉后則出現了4 個二階固有頻率，其數值降低明顯。各個模型計算與試驗結果分別進行了比較，二者誤差較小。

表2 定子二階模態計算與試驗結果比較Tab.2 Comparison of calculation results with test results of the second modal of stator

3 結論

（1）定子模態試驗得到兩個徑向二階固有頻率，即所謂的齒對稱和齒反對稱固有頻率，帶有繞組的定子模態試驗只得到一個徑向二階固有頻率。帶有未浸漆繞組定子的固有頻率稍高于不帶繞組的定子；繞組浸漆后定子二階固有頻率較浸漆前有較明顯下降；端部繞組對定子固有頻率影響很小。

（2）對于整機的模態計算和試驗，出現多個數值相差較大的二階固有頻率。機殼增大定子固有頻率的同時也增加了固有頻率的個數；去掉端蓋后定子二階固有頻率有所下降，同時定子二階固有頻率的個數減少；轉子對整機和定子模態的影響很小。

（3）利用加速度頻響函數的幅值和相位可以準確判定定子徑向二階固有頻率。模態有限元計算時建立完整的電機模型是有必要的，這樣可以得到更加完整的模態頻率和模態振型。

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