基于GARCH（1，1）模型的中國股市收益率預測研究

張豪 李彥夫 牟娟

摘 要：文章基于GARCH（1，1）模型估計股票未來收益率范圍。首先利用此模型求出個股的年波動率，并結合股票價格正態性估計出某時段的收益率范圍，然后以實際數據進行驗證，經運用和驗證后確定此模型的可適用性;最后以此模型估計未來股票收益率范圍，基于國內股市易受國家政策影響的特點提出投資意見。

關鍵詞：股票價格收益率 波動率 GARCH模型

中圖分類號：F830.91 ?文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2015）08-097-04

一、引言

波動率是股票收益率不確定性的一種度量，是衡量金融風險的重要指標，被廣泛使用于整個金融理論研究與投資實務中，例如資產定價、投資組合優化、風險管理等。研究表明，波動率具有明顯的集聚性和持續性，具有很強的自相關特性，因此，對于市場波動率的歷史研究能夠幫助人們更好地預測它的變化趨勢、管控投資風險、提高收益率。現實需求與理論需求，催生了大量的波動率預測模型研究，典型例子如指數加權移動平均（EWMA）模型、自回歸條件異方差（ARCH）模型、廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，等等。就GARCH模型來說，使用最為普遍的當屬GARCH（1，1）模型。研究人員使用這些模型對金融市場做了許多研究，包括匯率市場、期貨市場、股票市場、金融衍生產品市場等。

中國經濟在2010年成為世界第二大經濟體，國內投資者投資需求急劇擴大，但受限于國內金融市場的不發達，大量的國內投資者僅限于房地產、國債、基金、股票等少數產品，期貨、期權等衍生品投資只是少數人的投資領域。在國內房地產價格持續多年爆發性上漲之后，許多個人投資者把目光投向了股票市場。分析預測股票市場收益率的未來趨勢，可以為個人投資者提供一定的參考。本文選取了國內11個板塊的代表性個股作為研究對象，使用GARCH（1，1）模型分析各板塊收益率的波動率、預測未來股票收益率的范圍。

二、數據選取和分析

本文選取滬深300成份股中的代表11個不同板塊的11只股票作為研究對象，涵蓋2011年首個交易日的收盤價至2014 年最后一個交易日共969個數據。為了方便分析，防止休市日數據空缺，將數據向前推移，形成連續的時間序列。其來源是大智慧軟件的歷史數據。無論是對投資者還是分析人員來說，收盤價都是很重要的，更能反映上市股票的股份走勢，從而具有引導投資者或者分析人員的作用。日市場收益率，是反映日價格波動變化程度的指標，收益率的標準差或方差可以體現市場的波動特征和風險特征，因此選擇日市場收益率來研究既是市場需求也是研究慣例。

通過對選取的11只股票股價進行統計分析，通過使用大智慧軟件下載，得到各股的日收盤價格，表1列出各股的統計期間的首個收盤價和最后收盤價，以及除去各股停牌日的數據得到總的數據個數。最少為928個，最多為969個，基本在940個左右。

（一）收益率描述性統計

先描述建立模型和統計檢驗所使用的基本數據，將股票市場日收益率rt定義為股價比值的對數，即股價對數值的一階差分。

rt=ln=lnst-lnst-1

其中st，st-1表示時刻t，t-1的股票收盤價格。選取對數收益率在統計計算時更容易處理：

lnst-lnst-k=lnss=lnss·ss…ss

=lnss+lnss+…lnss

=rt+rt-1+…rt-k

這樣連續復合多期的收益率只需要把它寫成單周期的收益率的加總。

下面就國金證券做詳細介紹。求出國金證券股票的日收益率，并結合時間變化得到收益率的時間序列圖：

通過對國金證券收益序列的線性圖可以看出，國金證券股票收益率表現出持續性和波動集聚性，即大的波動后面常常伴隨著較大的波動，較小的波動后面的波動也較小。

對于國金證券進行分析，經檢驗統計得到國金證券對數收益率序列均值（Mean）為0.1056%，標準差（Std.Dev.）為0.030495，偏度（Skewness）為0.350899大于0，說明序列分布有長的右拖尾，即樣本期間內收益率大于于平均值的交易日較多。峰度（Kurtosis）為4.625334，高于標準正態分布的峰度3，說明收益率序列具有尖峰的特征。Jarque-Bera統計量為38.80067遠大于標準正態分布的臨界值9.21，說明存在“厚尾”的特征，P值為0.00000，拒絕該對數收益率序列服從正態分布的假設。

對于其它10只股票的統計描述重復以上操作。得到收益率時間序列與圖1類似，所以就不一一繪出，都具有相似特征。而其它10只股票的描述性統計量經過整理與國金證券的數據整合后得到表2，從表2中可以了解到國金證券的平均收益率最高，北大荒的最低。偏度都不為0，峰度值都大于3，J-B值也都非常大。所以其它10只股票的收益率序列也拒絕服從正態分布假設。

（二）序列的平穩性檢驗

在對收益率分析之前，首先遇到數據的平穩性問題，因為GARCH模型對樣本數據的要求是序列必須保持平穩。本文運用ADF（Augmented Dickey—Fuller test）方法檢驗方法進行序列平穩性檢驗，對收益率序列進行檢驗，得到的ADF結果如表3。

ADF檢驗結果顯示：對于國金證券的t統計量的值-29.92496小于顯著性水平為1%的臨界值，同時對應P值為0，則股票收益率序列在1%的顯著性水平下拒絕原假設，即接受不存在單位根的結論，因此收益率序列是具有平穩性，說明利用ARCH類模型進行模擬是有效的，同樣檢驗其他10只股票，得到的ADF檢驗結果顯示也具有平穩性，從而利用ARCH類模型進行模擬也是有效的。

（三）序列殘差ARCH效應檢驗

序列的平穩性得到檢驗，再對序列的相關性進行檢驗，如果序列不具有自相關性則只需要考慮GARCH模型，否則需要嵌入ARMA模型來消除序列的相關性，再次，對數據進行異方差ARCH效應檢驗。

對于序列自相關性的檢驗，調用Eviews中的view-correlogram檢驗得到其序列的自相關函數分析圖2。

AC是自相關系數ξk，即構成時間序列的每個序列值rt，rt-1，…rt-k之間的簡單相關關系。圖1中右邊的序列數字1，2…12表示滯后階數，ξk表示時間序列中相隔k期的觀測值之間的相關程度。ξk的取值范圍是-1～1，并且越接近1，自相關程度越高。PAC是偏相關系數？漬kk，是指對于時間序列rt，在給定rt-1，rt-2…rt-k+1的條件下，rt與rt-k之間的條件相關關系。其值的范圍為-1～1，AC下對應的數值表示對應滯后階數k下的自相關系數大小，可以觀察到序列的自相關程度很低。且Q統計量對應的P值均大于置信度0.05，所以序列在5%的顯著性水平上不存在顯著的相關性。其它10只股票經同樣檢驗發現其它收益序列也不具有顯著自相關性。

由于序列不存在顯著的相關性，即rt與rt-1之間無關系是由于受到白噪聲干擾。將白噪聲定義為εt。

設立模型：rt=πt+εt

將去序列去均值化，得到et=rt-rt，國金證券取均值后為et=rt-0.001056

通常檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應的檢測方法包括：ARCH—LM檢驗和殘差平方相關圖檢驗。本文運用殘差平方相關圖方法來檢驗國金證券的收益率序列。對殘差的平方相關圖檢驗首先建立zt=e2t，再對zt用軟件取view-correlogram，得到zt的自相關函數分析圖如下：

由圖3可以觀察自相關系數AC，PAC對應的值很小，且Q統計量對應的伴隨概率p都基本為0。所以殘差平方序列存在自相關，即序列具有ARCH效應。

重復以上操作得到其它10只股票的殘差平方序列自相關函數分析圖，整理數據后得到表4（見下頁），除了寶新能源的伴隨概率隨著滯后階數增大而趨于0以外，其它各股對應伴隨概率都趨近于0這里就沒有一一列出。由表4可知寶新能源在高階滯后下也具有ARCH效應，其它10只股票的ARCH效應顯著，所以這里只需用GARCH模型對各股收益率下一列進行建模。

三、GARCH（p，q）模型

在描述收益率序列rt的GARCH（p，q）模型由兩部分組成。第一部分是均值過程：

Rt=a+θiRt-i+εi+ηjεt-j

第二部分為條件異方差：

h2t=β+φiε2t-i+ψjh2t-j;β>0，φi>0，ψj>0;

即隨機擾動項滿足上式則序列服從GARCH（p，q）過程。

實際應用中，模型中的q值較小，所以一般地GARCH（1，1）模型就能夠描述大量的金融時間序列數據。

（一）GARCH（1，1）一般模型

GARCH（1，1）模型的公式為

σ2t=γVL+αr2t-1+βσ2t-1 ? （1）

其中，σt為t天后的某個市場變量的波動率，σ2t為第t天的方差率，VL為長期平均收益率方差，γ為VL的權數，α為r2t-1的權數，β為σ2t-1的權數。因為權數之和為1，有

γ+α+β=1

GARCH（1，1）模型中的“（1，1）”表示σ2t是基于r2的最近觀測值和方差率的最近估計值。

設ω=γVL，則GARCH（1，1）模型可以重新寫為

σ2t=ω+αr2t-1+βσ2t-1 ? ?（2）

估計參數的時候，常用模型（2）的形式，一旦得到ω，α以及β的估計值，則γ等于1-α-β。長期平均方差率VL可以計算成ω/γ。為了得到穩定的GARCH（1，1）過程，需要滿足α+β<1，不然長期方差率的權數將是負值。

（二）GARCH（1，1）模型中的參數估計

σ2t=ω+αr2t-1+βσ2t-1

通過EViews軟件估計各股票模型參數結果如表5所示：

通過表示了計算GARCH（1，1）模型參數的過程，經過計算的到的參數值分別為ω=3.02e-05，a=0.053084，β=0.915674，

得到：σ2t=3.02e-05+0.05308r2t-1+0.915674σ2t-1

并且本例中長期方差率VL為：0.0009666784長期波動率為=0.03109，即日波動率0.03109，而年波動率σ=0.03109=0.492356即49.2356%，由于股票波動率典型處于15%～60%之間，通過實際波動率的值49.2356%對GARCH（1，1）模型預測準確度做一個預估計。

四、波動率預測

股票波動率可以定義為股票收益率的年標準差。對于股票未來波動率對于投資者或證券研究人員非常重要，所以會嘗試估計出未來波動率，這里主要利用GARCH（1，1）模型來估計。

（一）波動率的極大似然估計

首先定義第i天的方差估計值vi=σ2i。我們假設ri關于方差的條件概率分布為正態分布。那么，最佳的參數應該最大化表達式（3）的值：

exp （3）

取對數得到右式中的-lnvi-最大化，即-mln（v）-最大化，我們只需要使得最大化即，將該等式關于v求導，并令它等于零，我們得到的v的極大似然估計為r2i。即可以定義第3天的波動率v3=r22=1.8971e-06，從而對于未來某天的波動率可以基于已知波動率求出。

（二）未來股票波動率的估計

第t天的波差率可以從第t-1天結束之時估計得出。當使用GARCH（1，1）模型的時候，該值為

σ2t=（1-α-β）VL+αr2t-1+βσ2t-1即

σ2t-VL=α（r2t-1-VL）+β（σ2t-1-VL） （4）

在未來的第t+n天，有σ2t-n-VL=α（r2t+n-1-VL）+β（σ2t+n-1-VL）r2n+t-1的期望值為σ2n+t-1。因此E[σ2t+n-VL]=（α+β）E[σ2t+n-1-VL]，其中E表示期望值。反復利用該等式，可以得到E[σt+n-VL]=（α+β）n（σ2t-VL）即E[σ2t+n]=VL+（α+β）n（σ2t-VL），該公式利用了第t-1天結束之時存在的信息，預測了第t+n天的波動率。

例如已知2011年1月6日國金證券股價波動率為1.8769e-06，可以求出2014年12月31日的股價波動率期望為E[σ2946]=VL+（α+β）943（σ23-VL）=0.000966647。這樣我們利用這個模型可以估計未來股票收益率的波動率，在為股票投資者提供一種參考。

五、收益率預測

由于股票市場的股票收益率的分布不符合正態分布而是接近穩態分布，所以對于股票收益率的預測比較難控制，而本篇論文結合傳統B-S期權定價模型假設股票價格在短時間內變化服從正態分布，根據正太分布的可加性可以假設股票價格收益率服從正態分布。以此估計股票未來收益率。

由伊藤定理推導出lns遵循的過程滿足的股價行為模型：

ln（sT/s0）～漬μ-T，σ

μ為股票年預期收益率，σ為股票價格的年波動率。

現在定義μ為0時刻與T時刻之間的連續復利年收益，那么：

sT=s0eμT，因此μ=ln

其中s0=7.3，st=19.79，T=4，σ=0.4924

得μ=0.2493，則3個月后的股票收益率滿足式（4）：

ln（s0.25/s1）～漬0.2493-0.4924/2×0.25，0.4924

（4）

s0.25為2015年3月底的股價，s1=19.79。

由于一個正態分布變量值位于均值兩邊1.96倍標準準差范圍內的概率為95%。因此，95%的置信度下3月底收益率范圍為

0.032-1.96×0.2462

即實際收益率落在-0.45～0.515之間的概率為95%。通過大智慧軟件取得數據2015年3月31日的股票收盤價格為25.51，當天收益率為0.254為正好落在這一區間內。同樣估計出其它股票的波動率期望以及2015年3月31日的收益率，驗證收益率是否落在預測的3月低股票收益率范圍內，結果如表6。

由表6可以看出11只股票的實際收益率落在預測范圍內的有7只，而有4只股票的實際收益率超出估計范圍上限。由于2011到2014年股票市整體緩慢上升，這里利用歷史數據預測2015年股票收益率。而近幾年在新一輪經濟改革下，國家相繼出臺經濟政策，例如2015年1號文件關于農業改革，“一帶一路”的不斷發展，“國企改革”等等一系列舉措在刺激國內需求，再結合國內股市受國家政策影響較大的特點。所以2014年下半年和2015年一季度的股市漲幅普遍較大，所以政策相關股的收益率基本超出預期收益率上限范圍。同時對股票未來的某天的的波動率的平方提供期望值，能對于股票后期風險波動提供一定參考，所以此模型具有一定實用性。結合實證結果最后運用此模型估計6月初的各股收益率，可以提供投資者和研究員提供參考。

六、主要結論與啟示

本文結合GARCH（1，1）模型估計股票未來波動率和收益率。這樣投資者和研究人員在分析股票的時候結合估計結果可以做一定的參考分析。這里11只股票涉及11個不同板塊領域，以及結合“一帶一路”和“國企改革”等大的經濟政策方針，結合中國股票市場和宏觀經濟的關系，不難看出鋼鐵、鐵路的板塊股票漲幅明顯較大，適合投資，對于厭惡風險的投資者可以選擇銀行、鋼鐵和通信行業，因為它們的年波動率相對較小，而對于風險愛好者可以推薦證券行業，它的年波動率較大且收益率范圍最大，適合風險愛好者投資。結合此模型可以對其它股票做同樣研究預測為投資分析作參考。以上的結論意見由本文實證研究所得，僅供參考。

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（作者單位：云南師范大學數學學院 云南昆明 650500）

（責編：賈偉）