在數與形之間行走

崔靜　趙震　周衛紅

[摘 要]數形結合思想是數學中的一個重要思想。通過讓學生觀察圖形與算式，促進學生能從不同的角度思考問題，能把數形結合思想遷移到解決實際問題中，體會到數與形的完美結合。

[關鍵詞]數與形 數形結合思想 以形助數 以數解形

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）32-019

數形結合思想是一種重要的數學思想，可以說涉及數學學科的各個領域。我國著名數學家華羅庚曾說過“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數形結合主要指的是數與形之間的一種對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”等抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。

“數與形”是人教版小學六年級上冊教材第八單元“數學廣角”中的內容。《義務教育數學課程標準》（2011年版）在原有基礎知識、基本技能的基礎上增加了基本思想，基本活動經驗，這體現了數學教學中培養學生數學素養的重要性。本課內容主要是通過觀察圖形與算式，讓學生發現規律解決問題，在此基礎上再次創新，從不同角度思考問題，指導學生運用數形結合的思想解決實際問題，幫助學生積累經驗。

在數與形的教學過程中，我進行了一次嘗試，帶領學生行走在數與形之間。

片段一：靈活應用教材，感悟數缺形時少直觀

教材上的呈現方式如下圖，教學目標只要求學生通過觀察圖形和算式尋找規律。圖形和算式的指向性非常明確，學生無需太多的思考便能解決。這種觀察性的學習缺乏個性活動經驗。

教材是實現課程目標的有效載體，但是如果教師只停留在照本宣科上，恐怕學生獲得的只是單純的知識，而隱藏在學習過程中的思維經驗的積累就被忽視了。所以需要教師設計開放性、有過程的教學環節，充分調動學生的思維。

師（出示1+3+5+7+9+11和6×6）：哪位同學能很快算出結果？

生：6×6=36。

師：一個簡單，一個復雜，結果卻相同，這里面有什么秘密嗎？剛才我們都是從數的角度分析，現在我們換個角度，借助圖形來幫助我們研究怎么樣？

師：由6×6你能想到什么圖形？

生：一個大的正方形。

師（課件出示圖1）：如果我們用一個小方格代表1，那么這一行就畫了6個，共畫了這樣的6行，也就是用6×6來表示。記得剛才1+3+5+7+9+11也得36。這個算式你們能在方格紙上用畫圖的方式表示出來嗎？請你先想一想、再動手試一試。

生1：我是一個一個接著畫的。（如圖2）

師：她是按照數的順序依次一行一行地畫出來。

生2：我發現1和11能湊成12，3和9能湊成12，5和7也能湊成12，所以3個12就是36。（如圖3）

師：這位同學有了規劃的意識，能把數字分成組，也清楚地表達了算式的意思。

生3：可以這樣拐著彎畫，我覺得這樣畫更清楚。（如圖4）

生4：我喜歡用數字表示，這樣也能讓人看清楚數字在哪里。（如圖5）

師：你們更喜歡哪一種呢？生3的作品好在哪里？

生：這種更能一目了然地看出規律。

師：這樣不僅清楚地表示出數，而且還容易發現規律。咱們班同學可是非常了不起的，千萬別小瞧這幅圖形，小小正方形在你們的筆下演繹著與以往不同的精彩。在這幅圖形里，除了6×6這個大正方形，還存在其他的正方形嗎？會不會也有這樣的算式和它對應著呢？請你找一找。

生：1=1×1，

1+3=2×2，

1+3+5=3×3，

1+3+5+7=4×4，

1+3+5+7+9=5×5，

1+3+5+7+9+11=6×6，

……

分析與思考：這個環節并不是直接讓學生去觀察，而是給學生搭建了自主探索的空間，教師給學生提供了探究的素材，在學習的活動中充分調動了學生的原始認知水平，讓他們在動手畫圖的過程中感悟形中有數，數中有形的數形結合的方法，同時也體會了研究數學問題的方法，享受學習的過程，提高了數學思維能力。學生在匯報想法的過程中逐層深入，由淺入深地發現和認識正方形的特點，感受數與形內在的奇妙之處。

片段二：創造性地使用教材，感悟形少數時難入微

在我們的教材上，關于數與形的問題，大部分內容都是集中在用圖形幫助分析數，而缺少“以數析形”的素材，如何才能在教學中讓學生感受到形少數時難入微呢？

師：我們學過線段，也了解了數對，如果我們把線段和數對聯系在一起，會有什么發現呢？

生1：我能看出這兩個點的位置。

生2：我能知道這條線段的長度是4個格，但是我不知道它的具體長度，因為沒有單位。

生3：我還能知道它是一條水平的線段。

師：有了數對，我們知道了兩個端點的位置；有了數，我們可以知道線段的長度（依據8和4）；有了數，我們可以知道這是一條水平的線段（依據3和3）。

師：你們知道這兩條線段的位置關系嗎？

生4：這兩條線段是平行的。

生5：下面的線段向上先平移了3個格，再向左平移了1個格。

師：有了數據的幫助，我們不僅能判斷線段的特點，還能知道兩條線段的關系。

師：下面的這兩條線段平行嗎？

（學生一開始異口同聲地說“平行”，停頓數秒即刻又說“不平行”）

生6：那個是8.1，只有是8才平行。

生7：如果平行的話，它們縱坐標的數值應該是相等的，可是現在相差了0.1。

師：光用眼睛看不行，有數據我們才能準確判斷。有時候眼睛也會欺騙人，有句古話說得好，失之毫厘，謬以千里。

分析與思考：雖然簡單的幾條線段都是學生熟悉的，但是利用聯系的觀點看問題對于學生來說是第一次。學生通過研究與梳理，構架起知識之間的網絡，積累研究數學的方法和策略，在思考、交流的過程中真實感受到數據對圖形細致入微的刻畫。

通過經歷與嘗試，學生發現“形”的問題中包含著“數”的規律，“數”的問題也可以借助“形”來解決。教學時，通過學生的自主探究、合作交流，既讓學生充分利用圖形來表示數的規律性，感受化數為形的簡潔性，又讓學生尋找圖形中所包含的數的規律，用數（或代數式）來表示圖形，建立模型，感受化形為數（或代數式）的概括性。在此基礎上再次創新，從不同角度觀察、發現新的規律。學生在解決問題的過程中體會到數與形的完美結合，有效培養了學生的觀察、抽象及概括能力。

真實的經歷和體驗，讓“數缺形時少直觀，形少數時難入微”悄然植入學生的頭腦中。

（責編 金 鈴）