抓準教學時機滲透數學思想

查達彬

[摘 要]數學思想是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，所以教師在教學中必須重視數學思想的滲透。課堂教學中，教師應結合具體的教學內容，把握數學思想滲透的時機，有意識、有目的、有選擇地讓學生感悟數學知識中蘊含的數學思想，全面提高他們的數學素養。

[關鍵詞]數學思想 教學時機 滲透 感悟 化歸思想 對應思想 數形結合 數學建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）32-025

《數學課程標準》指出：“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、數形結合等。”因此，在數學教學中，教師應該結合具體的教學內容，抓住其中的有利因素，有意識、有目的、有選擇地滲透數學思想，使學生在潛移默化中感悟基本的數學思想，提高自身的數學素養。下面，以“植樹問題”一課教學為例，談談自己的做法和思考。

一、在解決問題中滲透化歸的數學思想

教學片斷1：

出示問題：在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要栽多少棵樹？

師：如果這條路的一邊用一條線段來表示，請你猜一猜，一共需要栽多少棵樹呢？

生1：20棵。

生2：21棵。

師：你們都是怎么想的？

生1：100除以5得20。

生2（邊說邊用手中的筆比劃）：這里是兩端都要栽，100除以5得20，是20個間隔，所以還要加1，應該是21棵。

師：聽起來好像都挺有道理的，有的說20棵，有的說21棵，到底哪個答案是對的呢？（生思考）

師：大家能用更加直觀的方法來驗證自己的答案嗎？

生3：畫圖。

師：畫圖驗證是一個好方法。

師（課件演示）：請看，“兩端要栽”指先在開頭栽上一棵，然后每隔5米栽一棵。大家看，現在（鼠標指向25米處）栽了多少米？

生4：現在栽了25米。

師：一共要栽多少米？

生5：100米。

師：照這樣一棵一棵畫，一直畫到100米，這要多長時間呀？大家有什么想法嗎？

生6：太浪費時間了，也太累、太麻煩了。

師：這樣一棵一棵畫下去，方法是可以的，但由于棵數太多，顯得非常麻煩。那有什么更簡單的方法嗎？

生7：取20米畫圖。

師：說說看。

生7：先畫出在全長20米道路一旁栽樹的線段圖（兩端要栽），再根據其結果來推想在全長100米道路一旁栽樹的線段圖（兩端要栽）。

師：說得好！這樣一來，畫的棵數就少多了，問題也就變得簡單多了。大家可要注意了，以后在遇到比較復雜的問題時，我們可以先從比較簡單的例子想起。

……

思考：當大家都認為畫圖是個好方法但很麻煩、很浪費時間時，教師及時提醒并引導學生找出簡單的畫圖方法，使學生體會到研究比較復雜的問題時可以從簡單問題或簡單事例入手。這樣教學，不僅符合學生的年齡特征、思維方式及認知規律，較好地完成教學任務，而且能把抽象的化歸思想滲透其中，讓學生在“潤物細無聲”中體驗到數學思想的價值，提高了學生解決問題的能力。

二、在尋求規律中滲透對應的數學思想

教學片斷2：

師（課件演示）：同學們仔細看一看，線段圖中有幾個間隔？能栽幾棵樹？

生1：有4個間隔，能栽5棵樹。

師：從這個線段圖中，我們能看出什么？

生2：能看出栽樹的棵樹比間隔數多1。

師：這個同學的說法是不是正確呢？通過一個簡單的問題畫出的線段圖是不是就有代表性呢？

生3：我們還可以多選幾個數據畫一畫。

師：好！我們多選幾個簡單的數據畫線段圖，看看間隔數和棵數之間到底有什么關系。

課件出示表格：

（生先畫圖自主探究，再展示匯報）

師：通過畫圖我們找出了間隔數和棵數，現在請大家認真觀察表格，看看有什么發現。

生4：這里一個點就是一棵樹，一個間隔對應著一棵樹。每隔5米栽一棵樹，20米有4個間隔，能栽5棵樹；15米有3個間隔，能栽4棵樹；10米有2個間隔，能栽3棵樹；5米只有一個間隔，能栽2棵樹，這說明棵數都比間隔數多1。（師再請幾位學生說說自己的想法）

師：你們同意他們的說法嗎？（生齊聲回答“同意”）

……

思考：事實上，“植樹問題”的本質就是對應問題，學生只要明確了“間隔”與“樹”這兩者之間的對應關系，就能發現其中的規律。因此，教師教學時可從“間隔”與“樹”之間的對應關系入手，先讓學生通過畫出四個簡單數據（如20米、15米、10米、5米）的線段圖，計算出間隔長，再找出間隔數與栽樹棵數之間的關系，引導學生自主發現“在一段路的一旁栽樹（兩端要栽），栽樹棵數比間隔數多1”，即“棵數=間隔數+1”這一規律。這樣教學，不僅讓學生經歷了知識的形成過程，而且較好地處理了學習數學知識與感悟數學思想之間的關系，可謂匠心獨具，一舉多得。

三、在深入探究中滲透數形結合的數學思想

教學片斷3：

出示問題：16米長的一條路，如果在它的一邊每隔4米栽一棵樹，需要栽幾棵樹？

（題目一出，全班學生異口同聲地回答“5棵”）

師：真的是5棵嗎？請把題目再仔細讀一讀。

生1：不一定是5棵，這里沒有說明“兩端要栽”。

師：你們在題目里看到“兩端要栽”這四個字了嗎？（大部分學生都很無力地回答“沒有”）

師：那么，到底需要栽幾棵樹呢？（學生很茫然）

師：剛才我們遇到問題時是用什么辦法解決的？

生2：畫圖。

師：對，我們還可以通過畫圖解決問題。（生畫圖）

師：通過畫圖，你們發現可以栽幾棵樹？

生3：我發現可以栽5棵樹。

生4：我發現可以栽4棵樹。

生5：我發現可以栽3棵樹。

師：誰的答案是對的呢？我們來比較一下。（課件演示）

生6：我明白了，5棵是指兩端都栽，棵數是間隔數加1；4棵是指只栽一端，棵數等于間隔數；3棵是指兩端都不栽，棵數是間隔數減1。這里沒有說明怎么栽樹，所以三種答案都對。

師小結并板書：

兩端都栽 棵樹=間隔數+1

只栽一端 棵樹=間隔數

兩端都不栽 棵樹=間隔數-1

師：在剛才的學習過程中，大家有什么感想？或者說，要注意些什么？

生7：我覺得，剛才的問題只要一畫圖，就會想到有三種不同的情況。

生8：以后在動腦思考問題時，要注意動手畫圖，因為手腦并用有助于問題的解決。

師：這兩位同學都說得非常好。思考問題尤其是數學問題時，一定要注意邊思考邊畫圖，因為畫圖能促進大腦的思考。

……

思考：著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”“數形結合可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。”由此可見，數形結合這一數學思想對幫助學生解決數學問題能起到關鍵的作用。如在“植樹問題”教學中，當學生由于受前面“兩端要栽”這一思維定式的影響，得出模棱兩可的答案時，教師適時自然、巧妙地引導學生畫出線段圖。這樣不僅能較好地幫助學生找到解決“植樹問題”的三種規律，而且使學生在這一過程中體會到畫線段圖有利于找到問題的解決辦法，從而將“數形結合”這一數學思想埋藏心底并逐漸內化成為自己解決問題的一種習慣。

四、在拓展延伸中滲透數學建模的數學思想

教學片斷4：

師：在我們的生活中，有沒有類似“植樹問題”的情況呢？（生答略）

師（小結）：其實，“植樹問題”不只和樹有關，在生活中還有許多與“植樹問題”相似的情況，如安裝路燈、站隊中的方陣、鋸木頭、花壇擺花、敲鐘……它們中都隱藏著總數和間隔數之間的關系問題。“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線，如正方形、長方形、圓形……

思考：“植樹問題”的模型源于生活，又高于生活，所以在現實中有著廣泛的應用價值。如上述教學中，在學生已經自主尋找到解決“植樹問題”的三種規律后，教師適時指出“在生活中還有許多與‘植樹問題相似的情況”，并讓學生相互舉例說明。學生在舉例交流中進一步體會到現實生活中的許多不同問題都含有與“植樹問題”相同的數量關系，這些問題都可以利用“植樹問題”的模型或者說利用解決“植樹問題”的方法來解決，從而感悟到數學建模的重要意義。

小學數學中提到的數學思想還有很多，如數學符號思想、分類思想、類比思想、集合思想、統計思想、極限思想等，這些數學思想的滲透除要把握好教學時機外，還要注意與教學內容有機結合，防止生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。

總之，只要我們在教學中把握契機，注意方法并持之以恒，學生就能真正感悟數學知識中蘊含的數學思想，從而全面提高自身的數學素養。

（責編 杜 華）