Radon_CPF+NLS算法估計性能研究

趙博威，周劍雄，付 強

(國防科學技術大學電子科學與工程學院，長沙 410073)

三階多項式相位信號在通信、雷達、聲納、生物學、地震學等諸多領域有所應用［1］。例如，復雜運動目標的雷達回波可采用三階多項式相位信號進行建模［2］，目標的徑向速度和加速度可由高階相位系數估計，且通過參數估計達到辨識目標的目的;生物學領域，可使用三階多項式相位信號模擬蝙蝠和海豚的聲音進行仿生學研究［3］。

許多學者針對三階多項式相位信號參數估計進行了研究。目前主要的參數估計算法可分為相關法和非相關法兩大類，其中相關法參數估計運算量較小，但估計精度在低信噪比時下降嚴重;相反，非相關法在低信噪比時能得到較高的估計精度，但運算量較大［4］。參數估計的非相關算法主要有最大似然估計方法［5］;參數估計的相關算法主要包括高階模糊函數(HAF)［6］、三階多項式相位函數(CPF)［7－8］及其改進算法［9－12］等。相關算法的主要思想是利用高階非線性變換降低信號相位的維度來實現高階多項式相位參數估計，但非線性變換降低了多項式相位參數估計的工作起始噪聲門限，非線性變換階數越高，參數估計的工作起始噪聲門限就越高。HAF算法采用四階非線性變換，CPF算法采用二階非線性變換，所以CPF算法的工作起始噪聲門限低于HAP算法，更貼近實際應用。Wang P針對CPF算法只能對單分量信號進行參數估計的缺陷，提出 Radon_CPF算法［13］，將CPF算法推廣到多信號參數估計。為進一步提高Radon_CPF算法參數估計的精度，賀思三應用單純型法對Radon_CPF算法進行改進，提出Radon_CPF+NLS算法。該算法在工作起始信噪比門限之上達到了CRB［14］，但該文獻中只給出了等幅信號的參數估計結果，對于影響該算法性能的因素未做研究。針對實際雷達信號處理中多目標情況或鄰近散射中心的能量差異和相位參數鄰近的情況，該方法是否適用有待考量。本文在賀思三等的工作基礎上展開，對影響算法工作的一些因素進行討論，為該算法應用于實際信號處理提供理論依據。

本文工作分以下小節開展:第1節介紹Radon_CPF+NLS算法的理論基礎;第2節介紹算法的估計流程;第3節給出仿真實驗，考察數據長度、信號能量、信號相位參數臨近等情況對參數估計的影響;第4小節對本文進行總結。

1 Radon_CPF+NLS算法

1.1 Radon_CPF算法

設單分量三階多項式相位信號的表達式為

對s(n)做雙線性變換，得到

由上式可知:信號s(n－m)s(n+m)關于變量m只有二次項系數 2(a2+3a3n)，基于此，O’SHEA P 提出 CPF算法［7］:

其中:Ω=d2φ(n)/dn2，表示信號的瞬時頻率。當Ω=2(a2+3a3n)時，CPF函數會在(n，Ω)域形成一條直線，從而實現對參數估計的降階處理。對于單分量，可選取2個不同時刻的Ω值，解方程組得到a2，a3的值。但對多信號進行CPF運算后，發現在(n，Ω)域存在多條直線，該方法不再適用。為將CPF算法應用到多信號參數估計，Wang P將Radon變換與CPF函數結合，提出Radon_CPF算法，實現了多分量信號參數估計［13］。

Radon函數定義如下:

其中:－∞ ＜ρ＜ +∞，0＜θ＜π。

Radon_CPF函數定義如下:

其中的δ(·)表示狄拉克函數。

假設利用Radon變換對CPF變換后的(n，Ω)域進行直線參數提取，得到參數(ρ0，θ0)，則對應直線的斜率和截距分別為－cotθ0和 ρ0/cosθ0。根據幾何關系得到待估計信號相位的2次項系數和3次項系數:

實際計算過程中，由于量化誤差、CPF自身估計性能限制以及噪聲的影響，估計精度不高，要想得到較高精度的估計結果，需要對粗估計結果進行精估計以得到更精確的參數。

1.2 Radon_CPF結果的精估計算法

假設在白噪聲條件下，信號x(n)由K個P階多項式相位信號組成:

其中:akp表示第k個分量的相位多項式第p階系數;Ak表示第k個分量的幅度系數;v(n)表示均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，且不同時刻噪聲相互獨立。定義:

將式(8)改寫為矩陣形式

待估計參數a的最大似然估計結果表達式為［15］

上式表明多項式相位參數估計問題是一個多參數的非線性優化問題［14］。在包含噪聲或多分量的情況下目標函數在參數空間的形式極為復雜，現有成熟算法只能保證其收斂到局部極值，且優化結果對初值的設定非常敏感。Pham D S對現有的主要優化算法進行了比對，驗證了單純型法有較好的優化性能［15］。本文采取單純型法進行優化。

2 算法流程

對于多分量信號參數估計，利用Clean思想對單個分量進行依次估計并優化，得到所有估計值后再對多分量估計結果進行聯合優化。設K個信號的和為y(n)，具體流程如下:

1)令k=1，x(n)=y(n);

2)根據式(3)對信號x(n)進行CPF變換;

3)根據式(5)對CPF結果進行Radon變換，利用式(6)得到參數，利用式(7)得到參數;

5)令x(n)=x(n)－Akexp(j(ak1n+ak2n2+ak3n3))，k=k+1。重復步驟2)～4)，直至估計信號數目達到設定信號分量的上限K;

6)將(a1，a2，…，aK)作為式(11)所示目標函數的初始值，進行聯合估計，得到相位估計參數a，代入式(12)得到幅度估計結果A。

3 實驗驗證

3.1 數據長度對估計性能的影響

設置數據長度N=257，信號幅度A=1，相位參數(a1，a2，a3)=(π/8，0.005，1e－5)。在原始信號中加入高斯白噪聲至一定信噪比水平，進行500次蒙特卡洛實驗，驗證 Radon_CPF算法和Radon_CPF+NLS算法的估計性能。由結果可以看出:Radon_CPF算法和Radon_CPF+NLS算法的起始工作信噪比門限都在－4dB，但信噪比大于－4 dB時，后者的參數估計更加精確，參數估計方差接近 CRB［15］。

圖1 單分量信號參數估計結果

參數設置不變，對信號加入高斯白噪聲至SNR=－2 dB，改變數據長度，研究數據長度對參數估計性能的影響，實驗結果如圖2所示。從實驗結果可以看出:相同信噪比情況下，數據長度越長，參數估計的精度越高，但同時運算量迅速增大，運算量為O(N2)。因此，實際應用時應權衡參數估計精度與運算速度的要求，選擇合適的數據長度進行參數估計。

圖2 數據長度對估計精度和運算時間的影響

3.2 多分量信號能量對估計性能的影響

圖3 兩等幅三階多項式相位信號的參數估計性能分析

改變兩分量信號幅度A1=1，A2=2，其他實驗參數不變，考察信號能量對參數估計性能的影響，實驗結果見圖4。由結果可以看出:兩信號分量工作信噪比起始門限相差6 dB;當達到算法工作的起始信噪比門限后，同一信噪比條件下兩信號分量的估計方差也相差6 dB。理論分析結果表明:在均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲條件下，兩分量信號參數估計方差差距的理論值為dB，實驗結果與理論值相同。實驗結果表明:多分量情況下，本文算法更適合估計能量較大的信號，若信號能量相差過大，小能量信號估計性能較差。

3.3 多分量信號參數臨近對估計性能的影響

設置信號參數 A1=A2，a12=a22，a13=a23，a11和a21間的差距由0個傅里葉分辨單元逐漸增大至19個傅里葉分辨單元，每種情況下進行100次蒙塔卡洛實驗，加入高斯白噪聲至SNR=0 dB，參數估計誤差曲線如圖5所示。可以發現:在信號2次項系數和3次項系數相同的情況下，信號1次項分量差距小于7個傅里葉分辨單元時，信號參數估計性能較差;當兩信號1次項分量差距在7個傅里葉分辨單元以上時，參數估計方差達到了CRB。實驗結果說明:當兩信號頻譜過于靠近時，算法估計性能下降，估計誤差增大;只有信號頻譜分開一定程度時，算法估計才能得到較為精確的估計結果。

圖4 兩不等幅三階多項式相位信號的參數估計性能分析

圖5 a1分量臨近對參數估計性能的影響

4 結束語

三階多項式相位信號應用廣泛，但參數估計較為復雜，估計方法優劣各異。本文針對三階多項式相位信號參數估計算法Radon_CPF+NLS展開研究，分別討論了數據長度、多分量時信號能量、多分量相位參數臨近等情況對信號相位參數估計性能的影響，通過實驗仿真指出了該方法在信號處理應用中的適用范圍，為算法的工程應用提供了理論基礎，對算法的實際應用具有參考價值。

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