基于定長扣索法的拱橋無應(yīng)力合龍索力控制研究

成旭

摘要 采用斜拉扣掛法施工的拱橋，常會(huì)出現(xiàn)最大懸臂階段的扣索索力與拱軸線形難以控制在目標(biāo)范圍內(nèi)的情形。文章根據(jù)廣義逆矩陣計(jì)算方法，提出了一種基于MATLAB的無應(yīng)力合龍扣索索力優(yōu)化算法。該算法使用廣義逆矩陣，對(duì)扣索索力不斷進(jìn)行迭代優(yōu)化，直到所有扣索索力都不超過目標(biāo)范圍。優(yōu)化后的扣索索力，可以在實(shí)現(xiàn)無應(yīng)力合龍的同時(shí)，將最大懸臂階段的扣索索力都控制在目標(biāo)范圍內(nèi)。

關(guān)鍵詞 拱橋;無應(yīng)力合龍;索力優(yōu)化

中圖分類號(hào) U445.464 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 2096-8949（2022）05-0114-03

0 引言

對(duì)于采用斜拉扣掛法施工的拱橋，控制最大懸臂階段的扣索索力和拱軸線形，是施工控制中至關(guān)重要的一環(huán)。采用斜拉扣掛法施工，在拱橋合龍后需要拆除所有的施工臨時(shí)扣索[1]。為了使卸索后的成拱線形與自重一次落架線形一致，常常會(huì)將實(shí)現(xiàn)合龍段的無應(yīng)力安裝作為重要的施工控制目標(biāo)。然而要實(shí)現(xiàn)合龍段的無應(yīng)力安裝，很可能會(huì)出現(xiàn)最大懸臂階段的拱軸線形以及扣索索力，超出控制范圍。

該文采用廣義逆矩陣計(jì)算方法，設(shè)計(jì)了一種基于MATLAB的無應(yīng)力合龍扣索索力優(yōu)化算法。

1 懸臂端控制點(diǎn)位置選取

要實(shí)現(xiàn)合龍段的無應(yīng)力安裝，首先需要實(shí)現(xiàn)最大懸臂端端點(diǎn)的坐標(biāo)與切向角度一致[2]。

該文以懸臂端端點(diǎn)，以及軸線上縱向距離該點(diǎn)1 m的點(diǎn)（稱為懸臂端校點(diǎn)）作為控制點(diǎn)，控制扣索索力對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)荷載。令這兩個(gè)控制點(diǎn)的縱向坐標(biāo)和豎向坐標(biāo)都與設(shè)計(jì)線形一致，就能使懸臂端端口的坐標(biāo)與切向角度都與設(shè)計(jì)線形一致。此時(shí)就能實(shí)現(xiàn)合龍段的無應(yīng)力安裝。

圖1所示為新灘溪大橋拱肋控制點(diǎn)位置的標(biāo)注。該橋采用斜拉扣掛法拼裝的方式進(jìn)行施工。該橋有兩片拱肋，全橋共設(shè)置八個(gè)控制點(diǎn)，這八個(gè)控制點(diǎn)的位置，用三角標(biāo)注如下：

2 無應(yīng)力合龍扣索索力求解

為了實(shí)現(xiàn)無應(yīng)力合龍，就需要控制懸臂端端點(diǎn)坐標(biāo)和切線角度都與設(shè)計(jì)線形一致。如果采用零位移法計(jì)算扣索索力，那么在最大懸臂階段，懸臂端端點(diǎn)與切線角度就會(huì)相對(duì)于設(shè)計(jì)線形產(chǎn)生偏移。每根扣索對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)荷載扣索索力的變化，都會(huì)使懸臂端端點(diǎn)與懸臂端校點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)豎向位移與軸向位移[3]。為了同時(shí)調(diào)整目標(biāo)控制點(diǎn)的豎向位移與軸向位移，就需要構(gòu)建一個(gè)豎向-軸向位移拼裝柔度矩陣。拼裝柔度矩陣、節(jié)點(diǎn)荷載索力、懸臂端位移的計(jì)算關(guān)系可表示為：

（1）

其中：k1，i—第i號(hào)扣索的單位節(jié)點(diǎn)荷載索力，產(chǎn)生的懸臂端端點(diǎn)豎向位移;

k2，i—第i號(hào)扣索的單位節(jié)點(diǎn)荷載索力，產(chǎn)生的懸臂端端點(diǎn)水平位移;

k3，i—第i號(hào)扣索的單位節(jié)點(diǎn)荷載索力，產(chǎn)生的懸臂端校點(diǎn)豎向位移;

k4，i—第i號(hào)扣索的單位節(jié)點(diǎn)荷載索力，產(chǎn)生的懸臂端校點(diǎn)水平位移;

ui—第i號(hào)扣索對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)荷載扣索索力增量;

—懸臂端端點(diǎn)的目標(biāo)豎向位移;

—懸臂端端點(diǎn)的目標(biāo)水平位移;

—懸臂端校點(diǎn)的目標(biāo)豎向位移;

—懸臂端校點(diǎn)的目標(biāo)水平位移。

式（1）中，構(gòu)建了新灘溪大橋懸臂端控制點(diǎn)的橫向、豎向位移節(jié)點(diǎn)荷載拼裝柔度矩陣。該拼裝柔度矩陣是不滿秩的。對(duì)于任意給定的懸臂端目標(biāo)位移，扣索索力都可以表達(dá)為特解+通解的形式。求取特解時(shí)，只取七、八、九、十號(hào)扣索的拼裝柔度矩陣進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算通解時(shí)，需要解出拼裝柔度矩陣的基礎(chǔ)解系。由特解與基礎(chǔ)解系構(gòu)成的解空間，就是能夠使懸臂端位移與給定目標(biāo)位移相同的所有扣索索力的解集。

特解的計(jì)算方式如下所示：

（2）

通過只調(diào)整七、八、九、十號(hào)扣索的扣索索力，得到能使懸臂端位移與給定目標(biāo)位移相同的特解。記該特解為η0。

前文所述的拼裝柔度矩陣，一共有六個(gè)基礎(chǔ)解系。記這六個(gè)基礎(chǔ)解系分別為η1、η2、η3、η4、η5、η6。

于是得到了能夠使懸臂端位移與給定目標(biāo)位移相同的扣索索力通解，表達(dá)如下：

（3）

其中，ti為基礎(chǔ)解向量ηi的系數(shù)。

以合龍段無應(yīng)力安裝為計(jì)算目標(biāo)，計(jì)算扣索索力。計(jì)算實(shí)例如下：

最大懸臂初始狀態(tài)，對(duì)應(yīng)水富岸懸臂端相對(duì)于設(shè)計(jì)線形的位移：

（4）

對(duì)應(yīng)綏江岸懸臂端相對(duì)于設(shè)計(jì)線形的位移：

（5）

水富岸七、八、九、十號(hào)扣索的節(jié)點(diǎn)荷載拼裝柔度矩陣：

（6）

（7）

以最大懸臂初始狀態(tài)為起點(diǎn)，要實(shí)現(xiàn)無應(yīng)力合龍，則只需要使水富岸與綏江岸的指定位移為與的負(fù)值。此時(shí)得到一組能實(shí)現(xiàn)水富岸與綏江岸無應(yīng)力合龍的扣索索力特解。

這組扣索索力特解，部分扣索索力值偏大，部分扣索索力值為負(fù)值。此時(shí)就需要使用廣義逆矩陣方法進(jìn)行調(diào)索。

3 應(yīng)用廣義逆矩陣法進(jìn)行無應(yīng)力狀態(tài)合龍調(diào)索方案設(shè)計(jì)

廣義逆矩陣是一種廣泛應(yīng)用于線性方程組求解中的數(shù)學(xué)方法。廣義逆矩陣法認(rèn)為，對(duì)于一個(gè)非齊次線性方程組，假設(shè)A是一個(gè)n×m階矩陣，b是一個(gè)n階列向量。如果，則說明該線性方程組無解。此時(shí)就會(huì)有便是該非齊次方程組的最小二范數(shù)解。其中，矩陣A的偽逆可以表示為A?1。

前述計(jì)算得到的扣索索力特解，部分扣索的索力并不合理。因此需要設(shè)計(jì)一種調(diào)索方案，使所有扣索的索力都調(diào)整到合理范圍。

在式（3）中給出了能實(shí)現(xiàn)無應(yīng)力合龍的扣索索力通解表達(dá)形式。該公式可進(jìn)一步整理為如下形式：

（8）

其中，基礎(chǔ)解向量η1、η2、η3、η4、η5、η6都是具有十個(gè)元素的單位列向量。這六個(gè)基礎(chǔ)解向量共同構(gòu)成通解的基礎(chǔ)解系。t1、t2、t3、t4、t5、t6為這六個(gè)基礎(chǔ)解向量的系數(shù)。η0為能夠?qū)崿F(xiàn)無應(yīng)力合龍的扣索索力特解。

用任意指定的最大懸臂階段節(jié)點(diǎn)荷載扣索索力β替換無應(yīng)力合龍扣索索力η，此時(shí)有如下等式：

（9）

在該等式中，為對(duì)應(yīng)任意指定索力的最小二范數(shù)解。將該解代入式（3）中，就可以得到在最小二范數(shù)意義上，最接近指定扣索索力的無應(yīng)力合龍扣索索力。

在式（3）中給出了無應(yīng)力合龍扣索索力的解空間。為了將無應(yīng)力合龍扣索索力控制到合理范圍內(nèi)，需要在索力解空間中搜索合適的扣索索力，確定解空間中各基礎(chǔ)解向量的系數(shù)。此時(shí)這一類調(diào)索問題，就轉(zhuǎn)化為給定邊界條件，確定線性方程組系數(shù)的線性規(guī)劃問題。

指定扣索索力β，可以取任意的最大懸臂節(jié)點(diǎn)荷載扣索索力。求解得到的無應(yīng)力合龍扣索索力η，在最小二乘意義上最接近指定扣索索力β。如果給指定扣索索力β一個(gè)增量，那么對(duì)應(yīng)的無應(yīng)力合龍扣索索力η同樣會(huì)產(chǎn)生一個(gè)增量，并在最小二乘意義上接近調(diào)整后的指定扣索索力β。此時(shí)可以設(shè)計(jì)一種迭代求解無應(yīng)力合龍扣索索力的計(jì)算方案：

（1）指定扣索索力β，并計(jì)算無應(yīng)力合龍扣索索力，判斷哪幾根扣索索力沒有處在合理的大小范圍內(nèi)。并判斷這些扣索索力的調(diào)整方向。

（2）沿著判斷得到的扣索索力調(diào)整方向，調(diào)整指定扣索索力β，隨后再次計(jì)算無應(yīng)力合龍扣索索力，并判斷需要調(diào)整的扣索索力以及索力調(diào)整方向。

（3）當(dāng)所有的扣索索力都調(diào)整到合理范圍內(nèi)后，迭代停止，并輸出迭代后的無應(yīng)力合龍扣索索力。

該方案的MATLAB算法如下所示：

D=pinv（A）*B;E=A*D;G=C+E;H=G;M=H;

for i=1：1000

a=find（G<50）;b=find（G>50&G<500）;c=find（G>500）;

if a'*a>0

M（a，：）=1;M（b，：）=0;M（c，：）=0;

B=M*30+B;D=pinv（A）*B;E=A*D;F=C+B;G=C+E;H=G;

else if c'*c>0

M（a，：）=0;M（b，：）=0;M（c，：）=1;? B=M*-30+B;D=pinv（A）*B;E=A*D;F=C+B;G=C+E;H=G;

else

H=G

fprintf（‘索力收斂’）

end

end

end

其中：A—無應(yīng)力合龍扣索索力基礎(chǔ)解系;

B—指定扣索索力;

C—無應(yīng)力合龍扣索索力特解;

D—廣義逆矩陣法確定的解空間中扣索索力基礎(chǔ)解向量的系數(shù);

E—由解向量系數(shù)確定的扣索索力增量;

G—應(yīng)用廣義逆矩陣法第一次求解得到的最大懸臂扣索索力;

M、H—大小與G相同，用來在算法中進(jìn)行邏輯判斷并實(shí)現(xiàn)迭代。

如果能夠?qū)崿F(xiàn)所有的扣索索力都在合理范圍內(nèi)，則輸出‘索力收斂’，并將結(jié)果輸出為H。該算法可以在無應(yīng)力合龍扣索索力解空間中，搜索能夠令所有扣索的索力都在給定范圍內(nèi)的基礎(chǔ)解系數(shù)。

在指定索力中，令所有扣索的索力等于200 kN。應(yīng)用該算法得到的無應(yīng)力合龍扣索索力計(jì)算如表1。

應(yīng)用該算法計(jì)算得到的無應(yīng)力合龍扣索索力，對(duì)應(yīng)的懸臂端控制點(diǎn)相對(duì)于設(shè)計(jì)線形的位移，最大不超過0.05 mm，并且能夠同時(shí)將所有扣索的索力都控制在合理范圍內(nèi)。

4 結(jié)語

扣索索力線性規(guī)劃，是拱橋施工控制計(jì)算中的一大難點(diǎn)。針對(duì)無應(yīng)力合龍扣索索力優(yōu)化，文中給出了一類基于廣義逆矩陣扣索索力迭代優(yōu)化計(jì)算方法。該方法算理簡單，應(yīng)用方便，具有較好的實(shí)用價(jià)值。需要指出的是，如果直接在施工過程中應(yīng)用該算法得到的扣索索力，那可能會(huì)導(dǎo)致施工過程階段的索力與控制點(diǎn)位移波動(dòng)較大。可以適當(dāng)放寬索力優(yōu)化控制條件，使優(yōu)化后的扣索索力更有利于施工進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)

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