Whiffletree結構中的柔節設計

王克軍，董吉洪，宣明，張緩緩，張立浩，孫麗軍

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

柔節是一種通過一體化設計和加工的、利用材料的彈性變形來實現預期功能的具有特殊形狀的特殊運動副［1］。航天遙感器大口徑反射鏡面形精度和支撐穩定性要求高，其支撐結構也廣泛使用柔節，主要用來模擬球鉸，實現對反射鏡的靜定支撐、釋放溫度載荷變化時由于反射鏡材料和支撐材料熱特性不一致帶來的熱應力以及裝配應力等［2，3］。

本文針對某空間遙感器的大口徑反射鏡的復合支撐的功能實現，設計了一種柔性結構。該復合支撐結構包括三組背部whiffletree結構和三組周邊A框加切向拉桿結構。本文設計了whiffletree結構中的一個柔性環節，將支撐結構的功能和指標進行分配，明確柔節的功能和指標大小。采用傳統的材料力學理論對柔節開展初始設計，然后采用有限元的手段對柔節的關鍵細節結構的尺寸進行優選，獲得滿足功能需求的柔節。最后，根據柔節的工作狀態，規劃了檢測試驗來驗證柔節的性能，在設計載荷的作用下，柔節在軸向的變形量為0.002mm，小于設計需求的最大值0.003mm；柔節在徑向的變形量為0.113mm，遠大于設計需求的最小值0.022mm。

基于whiffletree中柔性環節的功能需求，本文提出了一種空心圓柱帶切槽的柔節，滿足背部支撐的定位功能、滿足背部支撐與周邊支撐的解耦需求，滿足熱應力的釋放需求，結構簡單、并且實用。

1 原理分析

復合支撐是大口徑反射鏡支撐的一種方式，包括周邊支撐和背部支撐，兩者共同作用來對反射鏡實現靜定支撐和超靜定支撐，進行空間定位。背部支撐和周邊支撐采用特殊結構形式保證不引入過約束的前提下增加支撐點，提高鏡面面形。復合支撐通過結構中的柔性環節釋放在溫度載荷變化時由于支撐和鏡體的熱特性不一致帶來的熱應力。

由于該反射鏡在工作中要實現方位觀測和俯仰觀測，在光軸水平時的面形精度、剛體位移和傾角由周邊支撐保證，光軸豎直時的面形精度、剛體位移和傾角由背部支撐來保證，中間位置時由兩者共同保證，為保證各個工作狀態的面形精度等指標，必須使周邊支撐和背部支撐互不影響，因此要將周邊支撐和背部支撐功能解耦［4］。

1.1 復合支撐原理分析

復合支撐結構要約束反射鏡的六個空間自由度［5，6］，如圖1所示。

圖1 反射鏡六個空間自由度

周邊支撐約束三個自由度：Rx，Ty，Tz；背部支撐約束剩余的三個自由度：Tx，Ry，Rz。

周邊支撐采用三組A框和切向拉桿的支撐結構形式，增加支撐點數，約束三個自由度，釋放熱應力。原理如圖2所示。

周邊支撐可簡化為平面機構，去掉虛約束，采用平面機構自由度計算公式計算其自由度：z=3×（n-1）-2pL=3×（11-1）-2×15=0，恰好全約束3個平面自由度：Rx，Ty，Tz。

圖2 A框+切向拉桿結構原理圖

由于鏡體與周邊支撐結構的材料熱特性不一致時，溫度變化會帶來沿反射鏡徑向熱應力，通過周邊支撐中徑向的鉸鏈來消除或減弱以滿足使用需求；背部支撐沿光軸方向的熱變形會受到周邊支撐約束產生熱應力，通過周邊支撐中光軸方向的鉸鏈來消除和減弱以滿足使用需求。工程中的實際結構是采用柔節來代替鉸鏈。

背部支撐采用三組whiffletree結構增加支撐點數，約束反射鏡剩余的三個空間自由度，釋放熱應力。每組whiffletree將支撐點由一點變為兩點，原理如圖3所示。

圖3 whiffletree結構原理圖

單個柔節限制一個移動自由度，兩個柔節限制兩個移動自由度，等價于一個移動自由度和一個轉動自由度，轉軸將轉動自由度釋放，則每組whiffletree約束一個移動自由度，三組whiffletree在鏡體背部成120°均布在一個圓上，共約束反射鏡三個移動自由度，等價于一個移動自由度和連個轉動自由度：Tx，Ry，Rz。

為保證反射鏡在多個工作狀態下的面形精度、剛體位移和傾角，必須將周邊支撐和背部支撐結構解耦，互不干涉，各司其職。解耦的程度是通過柔性環節的柔性來保證的。

光軸水平時，去掉背部支撐的反射鏡組件的面形值、剛體位移和傾角近似等于整個反射鏡組件的面形值、剛體位移和傾角，背部支撐與周邊支撐完全解耦。這個功能由whiffletree結構中的柔節來實現。

光軸豎直時，去掉周邊支撐的反射鏡組件的面形值、剛體位移和傾角近似等于整個反射鏡組件的面形值、剛體位移和傾角，周邊支撐與背部支撐完全解耦。這個功能由周邊支撐上光軸方向的柔槽來實現。

1.2 柔節功能分析

本文主要研究背部whiffletree中的柔節，柔節的具體位置如圖4所示，針對whiffletree組件的原理分析，提取柔節功能：柔節的軸向剛度需求高，在所承受載荷的作用下產生的軸向變形量要小于設計指標，起到定位作用；在垂直柔節軸向的方向剛度需求低，在不引起反射鏡面形變化較大的切向載荷下，產生的撓度要大于設計指標，起到釋放自由度的作用。即柔節決定了背部支撐的定位能力、背部支撐與周邊支撐的解耦能力和背部支撐引入的熱應力。

圖4 反射鏡組件

2 柔節結構設計

2.1 柔節設計指標

通過原理分析，明確柔節的功能，對反射鏡組件進行指標分解，確定柔節的設計指標。

反射鏡背部共有三組whiffletree，六根柔節，柔節在承受如圖5所示軸向載荷F時，即G/6，G為反射鏡的總重量，F約為43.6N，柔節在其軸向的變形量要小于0.003mm，才能滿足其軸向定位功能。

圖5 柔節軸向受力

當反射鏡組件處于光軸水平的工作狀態時，背部支撐與周邊支撐的自由度解耦由柔節來完成。鏡體承受柔節軸向力F的十分之一的切向力時，對鏡面面形的影響可以忽略。指標規定光軸水平時鏡體的剛體位移要小于0.01mm，在這個工作狀態這項指標由周邊支撐來保證。背部支撐要與周邊支撐解耦，背部支撐不對鏡體起支撐作用，不能影響鏡體面形精度、剛體位移和傾角，解耦功能由柔節來完成。柔節需要在承受圖6所示F/10的切向力時，柔節與鏡體接觸端的剛體位移大于0.01mm。

圖6 柔節切向受力

反射鏡組件承受溫度載荷時，鏡體和背部支撐及鏡室的熱特性不一致產生熱應力，該熱應力由柔節來消除或者緩解。當組件整體溫升高5℃時，在6個柔節支撐點位置處由于反射鏡與背部支撐和鏡室的線膨脹系數不一致帶來的位移差：

其中：α鏡室表示鏡室的熱膨脹系數，α鏡表示鏡的熱膨脹系數，R支撐點表示六個柔節所在分布圓的半徑。

柔節在切向力F/10，即4.36N的作用下，端部的撓度應大于0.022mm，可消除熱應力的影響。

2.2 柔節設計

根據柔節的設計指標、功能需求和反射鏡組件中柔節所處位置的空間大小設計柔節［7］。初始設計的柔節結構形式如圖7所示。柔節為空心圓柱帶四個切槽的柔節，四個切槽分為兩組，垂直交錯布置。

圖7 柔節三維模型

根據柔節的定位需求，其在軸向載荷43.6N作用下，柔節的軸向變形量要小于0.003mm。需滿足以下公式：

其中，F表示柔節所受軸向載荷，值為43.6N；L表示柔節的有效長度，值為0.043m；E表示是柔節材料的彈性模量，值為1.09e11Pa；A表示柔節軸向的有效截面積，A＞5.73e-6m2

柔節的有效截面積大于5.73e-6m2即可，在柔節中將最小截面積設計為2×0.002m×0.002m=8e-6m2，因此軸向變形量指標必定小于0.003mm。設計柔節初始參數如圖8所示。

圖8 柔節尺寸參數

圖8中的柔節參數L決定柔節垂直軸向的方向的剛度，當在軸端施加Fjx=F/10=4.36N的徑向載荷時，軸端的撓度應大于0.022mm，加載方式如圖9所示，柔節變形趨勢如圖10所示。滿足下述公式：

其中，Fjx表示柔節與鏡體接觸的端部承受的切向載荷，4.36N；L表示柔性切槽的寬度，柔節上四段切槽寬度均為L；E表示柔節所用材料的彈性模量，1.09E11Pa；I表示柔節上切槽連接處的截面對Y軸的慣性矩；

M表示Fjx在柔節上的固定端一側第二個切槽上右邊緣產生的彎矩；

柔節上的切槽寬度要大于0.3mm，兩組切槽分別決定柔節在圖9施加載荷方向（0°）的剛度和繞軸向旋轉90°時的剛度，柔節在0°和90°切槽的布置嚴格左右對稱，剛度相同。柔節在0°和90°之間的剛度等于柔節0°方向和90°方向剛度的矢量合成，數值大小接近兩者大小。

圖9 切向載荷加載

圖10 柔節變形趨勢

根據理論設計，柔節滿足定位、解耦和熱應力釋放功能，但柔節在組件中其功能并不完美。將設計完成的柔節做為初始設計裝配到反射鏡組件中，建立反射鏡組件的有限元模型，以鏡面面形為目標函數，以切槽寬度L為變量（L初始值取0.3mm）進行優化，最終確定L尺寸為4mm，柔節在組件中具備定位、解耦和熱應力釋放功能。

3 工程分析

在進行零件的加工生產之前，采用有限元分析的手段［8］，驗證柔節的軸向的剛度和垂直軸向的方向的剛度。

考慮柔節的工作狀態，約束柔節的一端，在另一端施加F=43.6N的軸向載荷，計算施加載荷端面產生的位移量為0.018mm，小于0.003mm，滿足設計需求。邊界條件及分析結果如圖11所示。

圖11 柔節軸向剛度分析

為驗證柔節在徑向的剛度，約束柔節一端，在另一端施加切向力Fjx=4.36N，計算柔節端部的撓度為0.120mm，遠大于0.022mm，滿足設計需求。邊界條件及分析結果如圖12所示。

圖12 柔節徑向剛度分析

4 試驗驗證

試驗測試是結構設計過程中的重要組成部分，可以真實的驗證結構是否滿足功能需求。在柔節加工完成之后，針對柔節的性能指標和工作狀態，開展相應的測試試驗。

測試設備包括加載設備和位移測試設備。加載設備是GNX-SX數顯式推拉力計，其加載精度是0.01N，可實現試驗載荷的精確加載；位移測試設備是機械式千分表，其測量精度是1μm，滿足測試精度需求。

根據柔節的功能和實際工作狀態，規劃軸向剛度測試方法如圖13所示，測試環境如圖14所示。

圖13 軸向剛度測試方法

圖14 軸向剛度測試環境

沿光軸方向施加43.6N的載荷，千分表測得柔節沿光軸方向的變形量為0.002mm。

規劃柔節徑向剛度測試方法如圖15所示，測試環境如圖16所示。

圖15 徑向剛度測試方法

圖16 徑向剛度測試環境

沿垂直光軸方向施加4.36N的切向載荷，千分表測得柔節沿載荷方向的變形量為0.113mm。

表1 柔節設計、仿真與實驗結果

由表1中的結果對比，試驗數據與仿真數據基本一致，軸向變形量的仿真誤差為10%，徑向變形量的仿真誤差為6.2%。組件仿真表明柔節在組件中滿足對反射鏡的定位功能、滿足背部支撐與周邊支撐的解耦功能、滿足釋放熱應力的功能。而對柔節的仿真結果和試驗結果偏差很小，可以推斷柔節裝配到組件中進行測試試驗仍能滿足定位、解耦和釋放熱應力的功能。這項組件級試驗將在反射鏡面形加工到λ/50時開展。

5 結論

本論文針對空間遙感器大口徑反射鏡的高精度、高穩定性的功能需求，對反射鏡采用了定位、解耦、釋放熱應力性能優良的復合支撐結構。為保證背部支撐的定位、背部支撐與周邊支撐的解耦、背部支撐的熱應力釋放能力，采用傳統力學經驗公式和有限元相結合的方式設計了一種空心圓柱帶垂直布局切槽的柔節。最后，通過有限元仿真和試驗測試確定了柔節的軸向剛度和徑向剛度，在軸向載荷的作用下，柔節的軸向變形量為0.002mm，滿足對反射鏡的定位需求；在切向載荷的作用下，柔節沿垂直軸向方向的位移變化量為0.113mm，滿足背部支撐和周邊支撐解耦需求，滿足釋放熱應力的需求。

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