四軸飛行器的數(shù)學(xué)模型

王震宇，熊家新，陳純，劉麗

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

伴隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和進(jìn)步，四軸飛行器以其形體小、成本低、低環(huán)境要求、較強(qiáng)生存能力、省人、省物、安全方便等優(yōu)勢(shì)，成為各國(guó)高精尖技術(shù)的應(yīng)用對(duì)象。要實(shí)現(xiàn)四軸飛行器的基本功能，那就要有完整的控制算法，因此需要建立四軸飛行器在低空下、近距離的數(shù)學(xué)模型，以便將四軸飛行器應(yīng)用于需要它的復(fù)雜場(chǎng)合［1-3］。

1 四軸飛行器的飛行原理

1.1 升降控制

如圖1所示，同時(shí)提高四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速使飛行器上升，同時(shí)降低四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速使飛行器下降。因?yàn)橥瑫r(shí)提高或降低三個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速會(huì)導(dǎo)致其姿態(tài)變化，所以一般不采取這種方式實(shí)現(xiàn)升降控制。

1.2 俯仰滾轉(zhuǎn)控制

從理論上講，四軸飛行器的結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的，所以俯仰與滾轉(zhuǎn)具有類(lèi)似的控制原理。如圖1所示，提高電動(dòng)機(jī)M2轉(zhuǎn)速時(shí)降低電動(dòng)機(jī)M3轉(zhuǎn)速，四軸飛行器以M1、M4所在的軸為軸，從M2向M3方向旋轉(zhuǎn)。若M2為前進(jìn)方向則四軸飛行器處于俯仰狀態(tài)，若M1為前進(jìn)方向，則四軸飛行器處于滾轉(zhuǎn)狀態(tài)。平穩(wěn)飛行狀態(tài)四軸飛行器四個(gè)電機(jī)等速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)某個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速增大時(shí)，機(jī)翼下部壓強(qiáng)增大，促使機(jī)體做剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，沿前進(jìn)方向是俯仰，與其垂直則是滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

1.3 偏航控制

四軸飛行器的偏航控制要比俯仰與滾轉(zhuǎn)控制難度高些，想要平穩(wěn)的改變四軸飛行器的航向，就要同時(shí)改變四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速。如圖2所示，M1、M2、M3、M4為四軸飛行器的四臺(tái)控制電機(jī)，在M1、M4逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)并且M2、M3順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，降低M1、M4轉(zhuǎn)速時(shí)提高M(jìn)2、M3轉(zhuǎn)速，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的慣性矩平衡原理，主機(jī)體就會(huì)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。反方向改變轉(zhuǎn)速，主機(jī)體會(huì)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。四軸飛行器飛行時(shí)表現(xiàn)為航向改變。

圖1 四軸飛行器俯仰滾轉(zhuǎn)的控制圖

圖2 四軸飛行器偏航的控制圖

2 旋翼的等效空氣動(dòng)力學(xué)模型

四軸飛行器在不同狀態(tài)下動(dòng)力學(xué)的系數(shù)是不一樣的，如圖3（a）所示，垂直飛行時(shí)，氣流沿著旋翼軸向，如圖3（b）所示，前進(jìn)飛行時(shí)，在旋翼旋轉(zhuǎn)平面和水平面成角αr，氣流流過(guò)旋翼旋轉(zhuǎn)平面不平行與軸向，而是斜穿過(guò)旋翼旋轉(zhuǎn)平面，由此可知飛行狀態(tài)不同四軸飛行器的氣動(dòng)特性就不同。飛行狀態(tài)不同，四軸飛行器動(dòng)力學(xué)系數(shù)就不同，模型也就不同，本文對(duì)四軸飛行器偏航時(shí)的旋翼受力做了簡(jiǎn)化處理，由葉素理論：四軸飛行器在偏航飛行狀態(tài)，其旋翼上的力矩、力主要表現(xiàn)為，電機(jī)主軸的升力D、阻力E、側(cè)向力矩F和扭矩G。由文獻(xiàn)［2］得其求解的近似公式：

式中，p是空氣密度，Α=πR2表示旋轉(zhuǎn)面面積，Cr為旋翼拉力系數(shù)，CD為旋翼阻力系數(shù)，Co為旋翼扭矩系數(shù)，CR為力矩系數(shù)。旋翼的幾何性狀決定這些系數(shù)的大小，并且飛行姿態(tài)不同系數(shù)也會(huì)不同。ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速，由公式可知電機(jī)轉(zhuǎn)速的平方與旋翼的力與力矩存在比例關(guān)系。根據(jù)控制的需要進(jìn)行近似化，旋翼所受的升力為：

升力系數(shù)k由旋翼形狀、尺寸與安裝方式?jīng)Q定。

圖3 旋翼與氣流圖示

3 四軸飛行器控制模型的建立

在建立四軸飛行器模型之前，要選取適當(dāng)?shù)目盏刈鴺?biāo)系，這樣使建立四軸飛行器模型的過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，有利于分析與求解，因?yàn)樗妮S飛行器的速度、姿態(tài)角的大小與方向等參數(shù)是與坐標(biāo)系相對(duì)應(yīng)的。所以選擇慣性導(dǎo)航中常用的兩種坐標(biāo)系，如圖4所示，機(jī)體的XYZ坐標(biāo)系與地面的xyz坐標(biāo)系。前者是在四軸飛行器上固定的，X軸與前后方向的旋翼連線平行，經(jīng)過(guò)四軸飛行器的幾何中心正向同其前進(jìn)方同向，Y軸與左右方向的旋翼連線平行，也經(jīng)過(guò)四軸飛行器的幾何中心并且垂直于X軸，Z軸平行于X軸、Y軸所在平面。后者是在三維空間中確定四軸飛行器位置的，四軸飛行器在哪里起飛哪里就是遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，以用來(lái)確定其位置、姿態(tài)、偏航角的變化。飛機(jī)在地面剛要起飛時(shí)，兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，相應(yīng)的坐標(biāo)軸重合。

在分析四軸飛行器運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用右手坐標(biāo)系［7］，那么如圖4機(jī)體繞X軸旋轉(zhuǎn)角為正，設(shè)機(jī)體繞X軸、Y軸、Z軸的旋轉(zhuǎn)角分別α、β、γ，其中α是機(jī)體的Y軸與Z軸與地面的y軸與z軸的夾角，β是機(jī)體的X軸與Z軸與地面的x軸與z軸的夾角，γ是機(jī)體的X軸與Y軸與地面的x軸與y軸的夾角，三者分別是橫滾角、俯仰角、偏航角。根據(jù)文獻(xiàn)［7］可得到機(jī)載坐標(biāo)系上的點(diǎn)到地面坐標(biāo)系上的點(diǎn)的變換矩陣：

圖4 飛機(jī)橫滾示意圖

四軸飛行器控制模型的建立過(guò)程中，作出了一般性假設(shè)：四軸飛行器的質(zhì)量是常數(shù)，且在其內(nèi)部均勻分布；地面是慣性參考系，由于四軸飛行器在近距離、低高度飛行，所以地表近似為平面，重力加速度為常數(shù)g；不計(jì)地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的影響；四軸飛行器的幾何形狀、機(jī)械結(jié)構(gòu)、質(zhì)量關(guān)于機(jī)載坐標(biāo)平面XOZ對(duì)稱(chēng)，重心與幾何中心重合；那么四軸飛行器的慣性矩陣為對(duì)角陣J。

忽略彈性形變與振動(dòng)時(shí)，四軸飛行器在空間的運(yùn)動(dòng)為剛體運(yùn)動(dòng)，共有六個(gè)自由度，機(jī)載坐標(biāo)系上的三個(gè)角運(yùn)動(dòng)和地面坐標(biāo)系中沿軸線的三個(gè)線性運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓的第二定律，其動(dòng)力學(xué)的方程向量表示式為：其中，作用在四軸飛行器機(jī)體上的合外力之和為F，其質(zhì)量為m，其質(zhì)心在地面坐標(biāo)系的絕對(duì)速度為V，作用在四軸飛行器機(jī)體上的合外力矩之和為M，其在地面坐標(biāo)系下絕對(duì)的動(dòng)量矩為H。若在機(jī)載坐標(biāo)系下，依據(jù)理論力學(xué)知識(shí)建立其運(yùn)動(dòng)方程，絕對(duì)導(dǎo)數(shù)在機(jī)載坐標(biāo)系下為：

（1）線性運(yùn)動(dòng)方程

四軸飛行器在機(jī)載坐標(biāo)系上質(zhì)心的速度V→的分量為：

外力之和F在機(jī)載坐標(biāo)系上的分量為：

將式（13）、（15）、（17）、（18）代入（11）整理得：

把地表坐標(biāo)系的式（5）使用轉(zhuǎn)換矩陣T（α，β，γ）轉(zhuǎn)換到機(jī)載坐標(biāo)系下并代入式（19），整理得：

式中ki是等效的阻力系數(shù)。

（2）角運(yùn)動(dòng)的方程

四軸飛行器在機(jī)載坐標(biāo)系上角速度的分量表示為：

四軸飛行器機(jī)載角與機(jī)載角速度的關(guān)系：

解得機(jī)載角速度：

依據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律與動(dòng)量矩計(jì)算的方法，式（10）及（12）解得機(jī)體的力矩方程：

式中，Mx、My、Mz為機(jī)體上和力矩 M→在機(jī)載坐標(biāo)軸上的分量。類(lèi)似線性運(yùn)動(dòng)求解，可得到角運(yùn)動(dòng)的方程：

總結(jié)上述分析，得到四軸飛行器在低空近距離飛行時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程：

4 仿真

本文建立了四軸飛行器仿真模型，用MATLAB的SIMULINK工具對(duì)其模型及控制器進(jìn)行仿真。先用小擾動(dòng)線性化方法處理式（28），根據(jù)G(s)=C(sI-A)-1B得到各通道的傳遞函數(shù)。由于時(shí)軸飛行器的模型的非線性與耦合性導(dǎo)致模型PID控制器參數(shù)參數(shù)選擇困難，我們借助Signal Constraint優(yōu)化工具箱來(lái)對(duì)PID控制器的參數(shù)進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整［4］，仿真結(jié)構(gòu)圖如圖5。

Kp為比例因子，K i為積分因子，Kd為微分因子，Transfer Function代表各個(gè)通道傳遞函數(shù)，系統(tǒng)的延時(shí)時(shí)間Transport Delay。在Simulink中的Output constraint優(yōu)化工具，迭代仿真結(jié)果與約束條件比較，自動(dòng)調(diào)節(jié)PID控制器的三個(gè)因子，直到其滿(mǎn)足系統(tǒng)響應(yīng)性能的指標(biāo)要求。

俯仰通道傳遞函數(shù)：

圖5 SIMULINK仿真結(jié)構(gòu)圖

圖6 俯仰通道的迭代計(jì)算過(guò)程的數(shù)據(jù)圖

把傳遞函數(shù)代入仿真系統(tǒng)并輸入階躍響應(yīng)得Output Constraint自動(dòng)尋優(yōu)工具的迭代曲線，通過(guò)優(yōu)化工具得到數(shù)據(jù)圖6所示，Iter為迭代的次數(shù)，F(xiàn)-count為函數(shù)總調(diào)用次數(shù)，加權(quán)約束Max constraint在系統(tǒng)的參數(shù)得到滿(mǎn)足的仿真過(guò)程中逐漸的減少。Step size為搜索算法步長(zhǎng)。方向?qū)?shù)Ditectional derivative是在尋優(yōu)方向上迭代得到的曲線的變化率［6］。最后列是優(yōu)化過(guò)程信息。當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)提示（Successfully termination）成功收斂，且在Scope窗口輸出最優(yōu)曲線圖7，由于對(duì)狀態(tài)空間方程的小擾動(dòng)線性化處理，所以控制曲線沒(méi)有出現(xiàn)超調(diào)與振蕩。

圖7 俯仰通道單位階躍響應(yīng)圖

用SIMULINK工具尋得俯仰通道PID控制器參數(shù)：Kp=27.13，Ki=5.61，Kd=2.39。由圖7知PID控制器的俯仰通道的單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都小，因此可判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性良好。

5 結(jié)論

在建立了四軸飛行器的非線性的運(yùn)動(dòng)方程并線性化后，我們得到控制通道的傳遞函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)果采用PID控制法設(shè)計(jì)各個(gè)通道的控制器，仿真結(jié)果經(jīng)過(guò)一段時(shí)間都為1。這表明：四軸飛行器可以保持穩(wěn)定的懸停姿態(tài)、飛行狀態(tài)，所以本算法可以實(shí)現(xiàn)四軸飛行器控制，為四軸飛行器的進(jìn)一步研究奠定了理論基礎(chǔ)。

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