淺談高中數學函數解析式的求法

金昌歡

(江西省新建區第一中學，江西 南昌 330100)

淺談高中數學函數解析式的求法

金昌歡

(江西省新建區第一中學，江西 南昌 330100)

函數的解析式即把兩個變量的函數關系，用一個等式來表示。函數解析式的求法既是高中數學的一個重要組成部分，又是高考重點考察的內容之一。常見的高中函數解析式的求法大概分為待定系數法、換元法、配湊法、代入法、構造方程法、賦值法、遞推法這七種解題方法。不同的解題方法適用于不同類型的函數解析式求法的題目。因此我們應該通過系統性的總結來把高中數學函數解析式不同條件下的的求法進行分類匯總，以便學生能夠更好的歸納總結高中函數解析式的求法，并學以致用。本文從高中函數解析式的多樣的解題思路對于解題的意義和高中函數解析式的幾種常見的求法兩方面入手，并結合一些經典的例題，對高中函數解析式的求法進行系統歸納的總結，希望總結成果能對廣大教師的教學起到一定的參考作用。

高中數學；函數解析式；求法；待定系數法；換元法；配湊法；賦值法

一、高中函數解析式的多樣的解題思路對于解題的意義

(一)不同的函數題目類型選擇不同的解題方法可以節約解題時間，提高解題效率。

高中函數作為高中數學的核心內容，其出題方法是多樣化的。在一道高中函數解析式類型的題目中，可能存在很多解題方法，但他們的解題結果都是殊途同歸的，然而單從解題過程來看，不同的解題方法解題過程是不一樣的，有繁有簡。并且高考數學考試的時間是有限的、固定的，每一分每一秒都是十分寶貴的，如何在有限的考試時間內發揮最大的效益，是每位教師、每位學生值得深思的問題。因此，在多樣化的解題方法中，根據題目的類型選擇合適的解題方法、簡潔的解題思路顯得尤為重要，這樣既可以保質保量的完成題目，又能節省解題時間，從整體上提高了做題的效率，這樣一來就有可能在高考中脫穎而出，取得好成績。

(二)高中函數解析式的多樣的解題思路可以提高學生的自主學習探究能力和合作交流能力。

多樣的解題思路可以讓學生學會從不同的角度去看待問題，促使學生形成多樣化解決問題的意識。并且在學習多樣化的解題方法時，學生勢必會通過自己的獨立思考而獲得一些解決問題的方法，也正因如此，使得學生的自主學習能力和自主探究能力不斷提升。同時，學生通過對各自解題方法進行比較、討論，使解題方法更為完善，這樣一來又促進了學生與學生之間、學生與教師之間的合作交流能力的提升。

二、不同求高中函數解析式題型下的應用的不同方法

(一)待定系數法。

待定系數法，是一種求未知數的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。在已知函數類型或函數解析式的構造時，使用待定系數法是最為簡捷的方法。

(二)換元法。

換元法是通過引進新的變量，它可以把分散的已知條件聯系起來，把隱含的條件顯露出來，亦或是可以把條件和結論聯系起來。換元法可以將陌生的內容變為熟悉的形式，將復雜計算和推證簡單化。換元法一般是用在已知表達式f[g(x)]的解析式，欲求f(x)解析式類型的題目上。大致方法就是令g(x)=t，并反解出x，然后把x帶入f[g(x)]中，求出f(t)，從而求出f(x)。

例如已知函數f(x-1)=x2-x,求f(x+1)。

分析：因為本題符合已知表達式f[g(x)]的解析式，欲求f(x)解析式類型的題目，因此可以使用換元法

令t=x-1,那么x=t+1，

因為t=x-1,f(x-1)=f(t).x2-x=(t+1)2-(t+1)

所以f(t)=(t+1)2-(t+1)

要求f(x+1),把t換成x+1

即f(x+1)=((x+1)+1)2-((x+1)+1),

f(x+1)=(x+2)2-(x+2)

這樣類型的題目，使用換元法，可以使得解題思維更為清晰，使學生高考這樣緊張的環境下，在解題時不出現頭腦混亂的現象，從而提高解題效率。

(三)配湊法。

配湊法是對數學式子進行一種定向變形的技巧，通過配湊找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。配湊法一般是用在已知符合函數f[g(x)]的表達式，求f(x)的解析式類型的題目上。在解題時需要注意的一點是所求函數f(x)的定義域不是原復合函數的定義域，而是g(x)的值域。

(四)賦值法。

人們在解數學題時，往往采用邏輯推理的方法，一步一步地尋求必要條件，進行推理，最后得出結論。這是一種常用的方法。然而有些問題具有特殊性，能根據其具體情況，合理巧妙的對某些未知數進行賦值，特別是賦予一些特殊值，如0、1、-1、等，這樣往往能使問題快速巧妙的得到解決。這種方法適用于當題中給出的變量較多，且含有“任意”等條件時這樣的題目。

例如已知函數f(x)對任意的實數x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1，若x2N+，試求f(x)的表達式。

分析：因為本題中已經說到“任意”條件，且給出的變量較多，因此可以巧妙的使用賦值的方法。

因此可以令y=1 f(x+1)=f(x)+2x+4

所以f(2)=f(1)+2×1+4

f(3)=f(2)+2×2+4

f(4)=f(3)+2×3+4

依此規律：

f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4

左邊相加=右邊相加

所以f(x)=x2+3x-3(x∈N+)

由此可見使用賦值法可以快速巧妙的將題目解答出來，但需要注意的是，賦值法不是萬能的，我們需要結合題目的實際情況進行使用，盲目使用就相當于做無用功。

三、結語

函數解析式的求法作為高考的重點內容，我們必須重視起來。我們應該教導學生通過不斷的學習和積累，總結出針對不同類型題目的不同解題方法，這樣不僅能培養學生自主學習和合作交流的能力，更能使學生在有限的考試時間中，盡量節約時間，提高效率，使我們在考試中勝人一籌成為可能。

[1]馬文杰.高一函數教學中學生數學解題錯誤的實證研究[D].華東師范大學,2014.

[2]張海燕.高中函數解題教學的研究[D].湖南師范大學,2012.

[3]白瀟.高中生解決函數問題審題環節的案例分析[D].天津師范大學,2012.

[4]華騰飛.求函數解析式的幾種方法[J].中學生理科應試,2014,04:60-63.

G633.6

A

1671-864X(2015)11-0103-01