建模下的數(shù)學(xué)

尤恒

（河北正定中學(xué)，河北 石家莊 050800）

建模下的數(shù)學(xué)

尤恒

（河北正定中學(xué)，河北 石家莊 050800）

目前國(guó)際上數(shù)學(xué)界普遍贊同一種說(shuō)法：通過(guò)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)并在生活中推廣，來(lái)推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的改革。美國(guó)，日本等發(fā)達(dá)國(guó)家也都普遍重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)。把數(shù)學(xué)建模從大學(xué)向中學(xué)去轉(zhuǎn)移是今年來(lái)國(guó)際數(shù)學(xué)界教育發(fā)展的一種方向。我國(guó)的高中教學(xué)大綱之中也明確提出了要培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)建模從實(shí)際出發(fā)，立足在生活實(shí)際中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，在學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)之上，使學(xué)生能夠圍繞實(shí)際情況去查資料，解決問(wèn)題。從而拓寬了學(xué)生的理解能力跟知識(shí)面。培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)知識(shí)的興趣，提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)。

數(shù)學(xué)建模；概率；二次函數(shù)；最值

建模概述：數(shù)學(xué)建模不僅可以提高我們學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。還能培養(yǎng)出我們的團(tuán)結(jié)自律，不怕吃苦，克服困難的堅(jiān)強(qiáng)品格。它使我們能夠更加深切地感受到數(shù)學(xué)跟生活實(shí)際的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)上的語(yǔ)言去表達(dá)出生活中的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)借助計(jì)算機(jī)與相關(guān)軟件，在查閱文獻(xiàn)以及自學(xué)的前提下，提高了我們的組織協(xié)調(diào)能力，創(chuàng)造力和洞察力。

應(yīng)用舉例：某地的教育局組織開(kāi)展了一項(xiàng)數(shù)學(xué)比賽，比賽的評(píng)判組由不同學(xué)校的教師們組成。這次比賽有幾條評(píng)分的規(guī)則如下：

1.評(píng)委不允許對(duì)本校的選手打分，但是必須對(duì)其他學(xué)校的選手打分，并且所打分?jǐn)?shù)不同。

2.評(píng)委的打分規(guī)則為：最后一名得1分，倒數(shù)第二得2分以此類推。

3.最終結(jié)果以每位選手最終所得的平均分來(lái)排序，分?jǐn)?shù)最高者為第一名以此類推。

在本次的比賽中，甲選手所在的學(xué)校有一位評(píng)委，這位評(píng)委不會(huì)對(duì)甲選手打分，但是巧合的是，其他選手所在的學(xué)校沒(méi)有人擔(dān)任評(píng)委。最終結(jié)果公布之后，其他的選手紛紛表示這種評(píng)分規(guī)則對(duì)甲選手更有利，這種看法是否有道理呢？如果這種規(guī)則不公平，是否有一個(gè)更加公平的評(píng)分的規(guī)則呢？

方案分析：這道題是一道開(kāi)放性比較強(qiáng)的一道題，給我們留了充足的發(fā)揮空間。好多學(xué)生都有非常精彩的表現(xiàn)。有一種方案就是講甲選手所在學(xué)校的評(píng)委的評(píng)分方式更改為：最后一名加一分，倒數(shù)第二加兩分以此類推。還有一種方案就是在對(duì)甲選手打分時(shí)，根據(jù)其他學(xué)校評(píng)委所打的平均分作為甲學(xué)校評(píng)委的打分。

然而還有好多學(xué)生的答案是空白的，這其中除了時(shí)間因素，還有就是對(duì)于以上題干較多的文字表述產(chǎn)生了畏懼的心里，沒(méi)能夠正確的讀懂問(wèn)題。比如說(shuō)規(guī)則二，好多同學(xué)會(huì)認(rèn)為甲選手的平均得分是其他選手的平均得分，這樣就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。還有的會(huì)認(rèn)為甲學(xué)校的評(píng)委會(huì)故意給其他選手分?jǐn)?shù)少，因此這種規(guī)則對(duì)甲更有利。比如在甲之前的選手少得了一分，甲學(xué)校的評(píng)委不會(huì)給其他選后最高分，這樣甲得最高分的概率就會(huì)比其他選手高。這就相當(dāng)于甲選手學(xué)校的評(píng)委肯定會(huì)把最高分留給甲。還有就是甲少得了一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果少得了一個(gè)最低分，那么這種情況下對(duì)甲是有利的；如果甲少得了一個(gè)最高分，那就是對(duì)甲不利的。雖然以上的想法都是有一定道理的，但遺憾的是一大部分學(xué)生還僅僅是停留在一些感性的認(rèn)知上面與文字層面的說(shuō)明上，不能進(jìn)一步去引進(jìn)數(shù)學(xué)模型的概念去進(jìn)行進(jìn)一步的分析。這里，如何去衡量這個(gè)比賽規(guī)則的公平性是此題的關(guān)鍵所在，也是數(shù)學(xué)建模最基本的原則。但是恰恰就是很少會(huì)有學(xué)生能夠意識(shí)到并且提出這個(gè)原則。有的方案提議要將甲選手學(xué)校的評(píng)委從評(píng)判組中分離出去，但是這種辦法已經(jīng)違背了此題最基本的要求，沒(méi)能從數(shù)學(xué)的角度去作出更加合理的分析。

還有一個(gè)案例：

一間快捷酒店一共有150套客房，每套客房的價(jià)格相等。在一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐中，酒店經(jīng)理發(fā)現(xiàn)了如下一些情況：

當(dāng)每間客房定價(jià)在160元的時(shí)候，入住率是55%；

當(dāng)每間客房定價(jià)在140元的時(shí)候，入住率是65%；

當(dāng)每間客房定價(jià)在120元的時(shí)候，入住率是75%；

當(dāng)每間客房定價(jià)在100元的時(shí)候，入住率是85%。

如果要使酒店每天的收入最高，那么每間客房應(yīng)該如何定價(jià)呢？

經(jīng)過(guò)分析我們得知：每間客房的最高定價(jià)為160元，隨著房?jī)r(jià)的降低，入住率會(huì)呈線性增長(zhǎng)。

我們可以設(shè)y為酒店一天的總收入，設(shè)x為相比160元所降低的房?jī)r(jià)。那么我們可以簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化為當(dāng)x取何值時(shí)候y最大的問(wèn)題。通過(guò)二次函數(shù)求得最值，我們得知當(dāng)x=25，也就是房?jī)r(jià)定在135的時(shí)候，y值最大，為13668.75元。

當(dāng)然為了酒店能夠便于經(jīng)營(yíng)管理，我們把房?jī)r(jià)定為140元也是合理的，因?yàn)檫@跟最高收入僅差18.75元而已。

總結(jié)：通過(guò)以上這兩道題，我們可以很清晰地了解到了學(xué)生們對(duì)于數(shù)學(xué)建模這個(gè)意識(shí)上面的情況還很模糊，也同時(shí)對(duì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力提出了質(zhì)疑。今后學(xué)習(xí)的過(guò)程重點(diǎn)應(yīng)該是努力去尋找一個(gè)開(kāi)放的環(huán)境，去建立自己對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)欲望，不斷培養(yǎng)出自己的自學(xué)能力。這樣不僅能夠增強(qiáng)自己的數(shù)學(xué)方面的素養(yǎng)與創(chuàng)新能力，還能夠更加積極地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是與實(shí)際生活緊密相關(guān)的。

首先，我們對(duì)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用意識(shí)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是當(dāng)我們面對(duì)實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，是否能夠去主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度分析問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問(wèn)題，使我們懂得在生活中，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科是很有用的。二是要知道現(xiàn)實(shí)生活中其實(shí)蘊(yùn)含著大量的與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中也有著比較廣泛的應(yīng)用：生活中隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們的身邊。

其次，我們要知其然知其所以然。我們要知道數(shù)學(xué)在生活中的作用的同時(shí)，也要知道這里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。比如實(shí)際生活中到處都存在著各種形式的等量關(guān)系與不等量關(guān)系，變量之間的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及一件事物能夠發(fā)生的可預(yù)測(cè)性以及發(fā)生的可能性的大小等。這些都是我們?cè)跀?shù)學(xué)中引入的方程，不等式，函數(shù)以及概率論的實(shí)際背景。我們要學(xué)會(huì)嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去描述身邊所發(fā)生的一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

數(shù)學(xué)它是一種世界通用的語(yǔ)言，能夠準(zhǔn)確清晰并間接地說(shuō)明生活中的各種各樣的現(xiàn)象。讓我們養(yǎng)成通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去跟生活中的各種現(xiàn)象溝通交流的習(xí)慣，比如乘坐出租車的時(shí)候去發(fā)現(xiàn)乘坐的里程數(shù)與乘坐時(shí)間，付費(fèi)多少之間的函數(shù)關(guān)系并建立模型。這種通過(guò)建立模型并解決實(shí)際問(wèn)題，再通過(guò)我們的觀察并分析提煉出問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，然后再把這個(gè)問(wèn)題具體化去歸類到某個(gè)知識(shí)點(diǎn)去逐個(gè)攻破，我們便能夠從一個(gè)個(gè)的生活中的數(shù)學(xué)模型中感悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛的用處，這樣也就激發(fā)了我們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣的潛在心理，從而提高了我們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去建立模型的能力。

[1]劉來(lái)福；《問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型方法》；背景師范大學(xué)出版社；1999.8.

[2]薛毅《數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)》；北京工業(yè)大學(xué)出版社；2004.4.

G633.6

A

1671-864X（2015）12-0255-01

尤恒，男，（1998-07），漢族，河北省石家莊市無(wú)極縣，高中，學(xué)生。