圓錐曲線一般方程化最簡方程的系數公式——公式法化簡圓錐曲線一般方程

雷崇耀

（昌吉學院 新疆 昌吉 831100）

16世紀法國人韋達在初等數學的教學中，發現了一元二次方程的根和系數間的關系，今天被人們稱做韋達定理，成為法蘭西民族對人類文明的一大貢獻。在二元二次方程的教學中，我們發現了圓錐曲線一般方程與最簡方程系數間的關系，推導出了圓錐曲線一般方程化最簡方程的一整套公式。

定理：設圓錐曲線的一般方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，令

Δ1叫做曲線態的判別式，Δ2叫做曲線型的判別式，則我們有如下結論：

（1）當Δ1=0時為變態曲線，即曲線退縮為直線或點，或無軌跡。

（2）當Δ2≠0時為有心曲線。先用坐標平移變換消去一次項。后用坐標旋轉變換消去交叉項。曲線可化為最簡方程：

其系數公式為：

（3）當Δ2=0時為無心曲線。先用坐標旋轉變換消去交叉項，后用坐標平移變換消去適當項，曲線可化為最簡方程：

其系數公式為：

以上公式中，B≥0時取上符號，B〈0時取下符號。證明

第一步先用坐標平移變換消去方程中一次項。

把移軸公式x=x1+x0，y=y1+y0代入方程：

展開后合并同類項，得

令（2）中兩個一次項系數為0，解方程組：

求得新原點的坐標：

將新原點的坐標值代入（2），得

經坐標平移后方程中各項系數依次為：A1=A,B1=B,C1=C,D1=E1=0,常數項:

因為x0,y0的值滿足前方程組，所以

故（3）中常數項

經過坐標平移后方程（1）化為：

第二步后用坐標旋轉變換消去方程（4）中交叉項x1y1。

把轉軸公式 x1=x2cosα-y2sinα和 y1=x2sinα+y2cosα代入（4）中，得

展開，合并同類項，可得下列形式的方程：

其中，各項系數依次為：

為了確定α使得交叉項x2y2消失，令B2=0，即令

根據三角公式cos2α-sin2α=cos2α和2sinαcosα=sin2α，可得

從而求得

再利用三角公式

從而求得

先用坐標平移變換，后用坐標旋轉變換后（5）式化為最簡方程：

其系數公式為:

公式(1)中B≥0時取上符號，B〈0時取下符號。

結論

第一步先用坐標旋轉變換消去交叉項。

把轉軸公式x=x1cosα-y1sinα和y=x1sinα+y1cosα代入方程

展開后合并同類項，可得下列形式的方程：

方程中各項系數依次為：

為了確定α使得交叉項x1y1消失，令B1=0，即令

根據三角公式cos2α-sin2α=cos2α和2sinαcosα=sin2α，可得B cos2α-(A-C)sin2α=0

從而求得

再利用三角公式

從而求得

將求得的sinα和cosα的值代入（7），得到各系數為：

經過坐標旋轉變換后方程化為：

第二步后用坐標平移變換消去適當項。

將移軸公式 x1=x2+x0和 y1=y2+y0代入（8），得

展開后合并同類項，可得下列形式的方程：

方程中各項系數為：

為了求出新坐標系的原點坐標，令一次項x2的系數D2和常數項F2為0，解方程組：

求得新原點的坐標為：

將新原點的坐標值代入（9）式，可化為最簡方程：

其系數公式為:

方程中B≥0時取上符號，B〈0時取下符號。

［1］樊咉川等編.高等數學講義［M］.北京:高等教育出版社，1965.

［2］吳光磊,丁石孫,姜伯駒,田疇等編.解析幾何［M］.北京:人民教育出版社，1978.