一類(lèi)特殊的二階常系數(shù)非線性微分方程的解法

殷久利

摘要：本文給出一類(lèi)特殊二階常系數(shù)非線性微分方程的定性解法。通過(guò)對(duì)零點(diǎn)分布的分析，證明了該類(lèi)方程具有周期解，衰減解以及扭結(jié)解。本文的研究對(duì)高等數(shù)學(xué)的教材也是一種有益補(bǔ)充。

關(guān)鍵詞：零點(diǎn)分布;周期解;衰減解;扭結(jié)解

中圖分類(lèi)號(hào)：O13 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）35-0167-02

常微分方程求解是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中一項(xiàng)重要的任務(wù)。在許多實(shí)際的生產(chǎn)工作中，往往不能直接找到所需要的函數(shù)關(guān)系，而是根據(jù)不同的實(shí)際問(wèn)題可以列出相對(duì)應(yīng)的微分方程[1-3]。由于實(shí)際問(wèn)題的差異，列出的微分方程也有很大差別，因此研究不同類(lèi)型方程解的問(wèn)題就研究尤為重要了。在高等數(shù)學(xué)的教材中，沒(méi)有出現(xiàn)下列形式的微分方程

=ay +by +cy？搖 （1）

其中a，b，c是任意常數(shù)。顯然，對(duì)于該類(lèi)方程的顯式解是很難研究的，因此本文研究目的是通過(guò)定性分析研究該類(lèi)方程的解問(wèn)題。

方程（1）兩邊乘以y′后積分得到：

y′ = y + y +cy +c （2）

整理后得到：

y′ = y （y + y+ c）+c （3）

為了進(jìn)一步分析方程（3），我們要借助于一些對(duì)微分方y(tǒng) ?=F（x）已有的結(jié)果[4]：

（a）若F（x）在y=m處有一個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn)，即F（m）=0，F(xiàn)′ （m）≠0，則解在x→x 時(shí)有y（x）=m+ （x-x ） F （m）+O（（x-x ） ），？搖其中y在x=x 處取極值m。

（b）若F（y）在y=m處有一個(gè)二重零點(diǎn)，即F（m）=0，F(xiàn)′ （m）=0，F(xiàn)″ （m）≠0，則解在x→∞時(shí)有y（x）-m=ηexp（-x ），且當(dāng)x→∞時(shí)y→m。

利用上述結(jié)果，我們很容易得到以下結(jié)論：

若滿足F（y）>0和y

（1）如果函數(shù)F（y）具有兩個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn)y 和y ，那么微分方程具有周期解。

（2）如果函數(shù)F（y）具有一個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn)y 和一個(gè)二重零點(diǎn)y ，那么微分方程具有一個(gè)衰減解。

（3）如果函數(shù)F（y）具有一個(gè)二重零點(diǎn)y 和一個(gè)二重零點(diǎn)y ，那么微分方程具有一個(gè)扭結(jié)解。

下面研究P（y）= y （y + y+ ）的零點(diǎn)分布，本文只討論a>0的情況。利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到函數(shù)P（y）= y （y + y+ ）的9種圖形以及相應(yīng)的參數(shù)條件。

注意到P（y）= y （y + y+ ）的圖像的向上或者向下平移能夠得F（y）= y （y + y+ ）+c 的圖像。因此我們可以得到微分方程y′ =F（y）= y （y + y+ ）+c 的解具有以下幾種情況：

1.若c>0，則微分方程的解為：（i）當(dāng)b>0時(shí)，方程有負(fù)周期解（c <0）;方程有負(fù)衰減的解（c =0）;方程除了常數(shù)解沒(méi)有其他形式解（c >0）。（ii）當(dāng)b=0時(shí)，方程除了常數(shù)解外無(wú)解。（iii）當(dāng)b<0時(shí)，方程有正周期解（c <0）;方程有正衰減的解（c =0）;方程除了常數(shù)解沒(méi)有其他形式解（c >0）。

2.若c=0，則方程除了常數(shù)解沒(méi)有其他形式解。

3.若c<0，則方程y′ =F（y）的解為（i）當(dāng)b>0時(shí)，方程除了常數(shù)解外沒(méi)有其他形式解（c ≤0）;方程有周期解，正衰減解和負(fù)衰減解（c >0）;（ii）當(dāng)b=0時(shí)，方程除了常數(shù)解沒(méi)有其他形式解（c ≤0）;方程有周期解和扭結(jié)解（c >0）;（iii）當(dāng)b<0時(shí)，方程除了常數(shù)解沒(méi)有其他形式解（c ≤0）;方程有負(fù)周期解和負(fù)衰減解（c >0）。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]羅梭M.常微分方程[M].葉彥謙，譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1981.

[3]時(shí)寶，張德純，蓋明久.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005.

[4]J. Lenells，Travelling wave solutions of the Camassa–Holm equation，J. Differential Equations[J].2005，（217）：393-430.