一類特殊的二階常系數非線性微分方程的解法

殷久利

摘要：本文給出一類特殊二階常系數非線性微分方程的定性解法。通過對零點分布的分析，證明了該類方程具有周期解，衰減解以及扭結解。本文的研究對高等數學的教材也是一種有益補充。

關鍵詞：零點分布;周期解;衰減解;扭結解

中圖分類號：O13 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）35-0167-02

常微分方程求解是高等數學教學過程中一項重要的任務。在許多實際的生產工作中，往往不能直接找到所需要的函數關系，而是根據不同的實際問題可以列出相對應的微分方程[1-3]。由于實際問題的差異，列出的微分方程也有很大差別，因此研究不同類型方程解的問題就研究尤為重要了。在高等數學的教材中，沒有出現下列形式的微分方程

=ay +by +cy？搖 （1）

其中a，b，c是任意常數。顯然，對于該類方程的顯式解是很難研究的，因此本文研究目的是通過定性分析研究該類方程的解問題。

方程（1）兩邊乘以y′后積分得到：

y′ = y + y +cy +c （2）

整理后得到：

y′ = y （y + y+ c）+c （3）

為了進一步分析方程（3），我們要借助于一些對微分方y ?=F（x）已有的結果[4]：

（a）若F（x）在y=m處有一個簡單零點，即F（m）=0，F′ （m）≠0，則解在x→x 時有y（x）=m+ （x-x ） F （m）+O（（x-x ） ），？搖其中y在x=x 處取極值m。

（b）若F（y）在y=m處有一個二重零點，即F（m）=0，F′ （m）=0，F″ （m）≠0，則解在x→∞時有y（x）-m=ηexp（-x ），且當x→∞時y→m。

利用上述結果，我們很容易得到以下結論：

若滿足F（y）>0和y

（1）如果函數F（y）具有兩個簡單零點y 和y ，那么微分方程具有周期解。

（2）如果函數F（y）具有一個簡單零點y 和一個二重零點y ，那么微分方程具有一個衰減解。

（3）如果函數F（y）具有一個二重零點y 和一個二重零點y ，那么微分方程具有一個扭結解。

下面研究P（y）= y （y + y+ ）的零點分布，本文只討論a>0的情況。利用韋達定理以及根與系數的關系，可以得到函數P（y）= y （y + y+ ）的9種圖形以及相應的參數條件。

注意到P（y）= y （y + y+ ）的圖像的向上或者向下平移能夠得F（y）= y （y + y+ ）+c 的圖像。因此我們可以得到微分方程y′ =F（y）= y （y + y+ ）+c 的解具有以下幾種情況：

1.若c>0，則微分方程的解為：（i）當b>0時，方程有負周期解（c <0）;方程有負衰減的解（c =0）;方程除了常數解沒有其他形式解（c >0）。（ii）當b=0時，方程除了常數解外無解。（iii）當b<0時，方程有正周期解（c <0）;方程有正衰減的解（c =0）;方程除了常數解沒有其他形式解（c >0）。

2.若c=0，則方程除了常數解沒有其他形式解。

3.若c<0，則方程y′ =F（y）的解為（i）當b>0時，方程除了常數解外沒有其他形式解（c ≤0）;方程有周期解，正衰減解和負衰減解（c >0）;（ii）當b=0時，方程除了常數解沒有其他形式解（c ≤0）;方程有周期解和扭結解（c >0）;（iii）當b<0時，方程除了常數解沒有其他形式解（c ≤0）;方程有負周期解和負衰減解（c >0）。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]羅梭M.常微分方程[M].葉彥謙，譯.上海：上海科學技術出版社，1981.

[3]時寶，張德純，蓋明久.微分方程理論及其應用[M].北京：國防工業出版社，2005.

[4]J. Lenells，Travelling wave solutions of the Camassa–Holm equation，J. Differential Equations[J].2005，（217）：393-430.