大學物理實驗教學中關于實驗數據的不確定度的計算和分析

孫紅章 王翚 蘇向英

摘要：本文首先討論了大學物理實驗教學中關于不確定理論中的直接測量量的A類、B類標準不確定度和合成不確定度以及間接測量量的不確定度的通常表示方法，隨后推算出了幾個基本物理實驗中各個測量量不確定度的計算公式，對大學本科學生的物理實驗教學具有指導意義。

關鍵詞：大學物理實驗教學;不確定度計算;固體密度測量;楊氏彈性模量測量;共軛法測凸透鏡焦距

中圖分類號：G642 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）35-0169-02

現如今在大學物理實驗教學中為了更加準確和精確的表示實驗測量結果，常使用不確定度理論來表示實驗測量結果。[1，2]在大學物理實驗教學中，不確定度的計算一直是一個難點，也是一個重點，許多本科學生因為不確定度的計算方法非常復雜，而且計算量很大，而放棄對實驗數據的科學處理。這里我們將闡述大學物理實驗教學中不確定度的通常表示方法，并結合有關的基本物理實驗，在課堂上用多媒體演示，使大學一年級學生很容易掌握不確定度的計算，取得了良好的教學效果。

一、不確定度理論的一般原理和計算方法[3，4]

不確定度理論對于直接測量量把數據的不確定度根據數據的性質來分類，把符合正態分布統計規律的稱之為A類標準不確定度，而不符合正態分布統計規律的稱之為B類標準不確定度。把兩類不確定度的平方和的根稱之為測量量的合成標準不確定度，或者簡稱為不確定度。

大學物理實驗中物理量的直接測量量的平均值的標準偏差即為A類標準不確定度，它的計算公式為：

t的大小與物理量的測量次數n和置信概率p有關系，置信概率p一般約定取值為68.3%，特殊情況下置信概率p取95.4%。如果我們測量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。如果我們測量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。

物理測量量的B類不確定的計算公式為：uB=

Δ儀/C，Δ儀被稱之為實驗儀器的“最大允差”，C是實驗儀器誤差概率分布的置信因子系數。實驗儀器的誤差分布一般有正態分布和均勻分布，呈正態分布時C=3，呈均勻分布時C= 。但是如果實驗儀器誤差的分布不能確定為何種分布，我們可以把它簡單認為是均勻分布。如果當A類不確定度和B類不確定度是相互獨立的時候，它們的合成絕對不確定度的計算公式為：u = =（u ?+u ?） 。直接測量量的相對不確定度的計算公式為：E =u ? ×100%.

如果實驗中間接測量量的函數關系方程是

N=f（x1，x2，…，xn），那么它的標準不確定度的計算公式是：

u = = （？鄣f/？鄣x ） u ? （2）

在公式中u 為實驗中各直接測量量xi的合成絕對標準不確定度，它的相對標準不確定度的計算公式是：

E = = （？鄣ln f / ？鄣x ） u ? （3）

這兩個公式被稱之為不確定度的傳遞公式，如果測量量的表達式是各個直接測量量的積和商的形式，先計算其相對不確定度較方便。間接測量量的標準不確定度和相對不確定度的關系為u = ·E ，所以測量量最終結果的一般形式表示為：

N= ±u E =u ? 100%，p=68.3%。 （4）

二、固體密度的測量實驗中不確定度的計算方法

固體密度的測量實驗是大學物理實驗教學中的一個重要基礎實驗。

當待測物體是一銅圓柱體時，其直徑的多次測量的平均值為 ，高度的多次測量的平均值為為 ，質量的多次測量的平均值為為 ，則銅圓柱體密度的最佳值為 =4 （π 2 ）-1，我們先計算出各個直接測量量的不確定度，因為銅圓柱體密度的表達式是各個直接測量量的積和商的形式，所以先計算其相對不確定度較方便，根據不確定度的傳遞公式得到銅圓柱體密度的相對不確定度：

銅圓柱體密度的絕對不確定度表示為：u = Eρ。

當待測物體是一空心的鋁圓管時，設其外徑的多次測量的平均值為 ，內徑的多次測量的平均值為 ，高度的多次測量的平均值為 ，質量的多次測量的平均值為 ，則鋁圓管密度的最佳估計值為

=4 （π（ 2- 2） ）-1。我們先計算出各個直接測量量的不確定度，因為鋁圓管體密度的表達式主要是各個直接測量量的積和商的形式，所以先計算其相對不確定度較方便，然后根據不確定度的傳遞公式得到空心鋁圓管密度的相對不確定度：

鋁圓管密度的絕對不確定度為：u = Eρ。

三、共軛法測薄凸透鏡焦距實驗中的不確定度的計算方法

測量薄透鏡的焦距實驗是大學物理實驗中重要的基本光學實驗，共軛法是測定薄透鏡焦距的主要方法之一[1]。我們設f為薄凸透鏡焦距，物和像屏的距離為D（要求D>4f）。當移動薄凸透鏡在某一位置處，像屏上將出現倒立放大的實像。當薄凸透鏡又在另一位置時，在屏上得到倒立縮小的實像，這就稱之為共軛法。如果兩次成像間位移為d，那么我們得到焦距的基本公式：f=（D2-d2）（4D）-1。只要我們測出D、d，就能夠計算出f的大小。共軛法最大的優點是很大程度上避免了物距和像距在測量時因對薄凸透鏡光心位置估計不準而帶來的偏差，而把f測量歸為對精確測量量D和d的精準測量。

因為焦距f的表達式主是各個直接測量量的積和商的形式，所以先計算它的相對不確定度較方便，根據不確定度的傳遞公式，其相對不確定度為：

焦距f的絕對不確定度uf=Er* 。

四、楊氏彈性模量測量實驗的不確定度計算方法

彈性模量又被稱之為楊氏模量，是表示材料抵抗形變性能的一個很重要的物理參量，有著重要的實際應用意義。[5]楊氏模量測量實驗是大學物理實驗本科教學中的一個非常重要的基礎實驗。實驗儀器主要有：望遠鏡光杠桿鏡尺組、楊氏模量測定儀、千分尺、鋼卷尺、游標卡尺、砝碼等。在實驗中我們采用拉伸法測量鋼絲的楊氏彈性模量，這里采用光杠桿法來測量鋼絲因受力而產生的微小形變，這是實驗的關鍵。

測鋼絲楊氏模量的公式為Y= ，其中Y表示鋼絲的楊氏模量，F是單個砝碼對應的重力，L是鋼絲的原長，D為光杠桿的鏡面到標尺的距離，d是鋼絲的直徑，b是光杠桿前后腳之間的距離，Δn為鏡中的標尺讀數加減單個砝碼的平均變化量的大小，Δn的大小用逐差法處理測量數據而得到。

因為楊氏模量Y的基本表達式是各個直接測量量的積和商的形式，所以我們先計算其相對不確定度比較方便，根據不確定度的傳遞公式得到

Er=

鋼絲楊氏模量的絕對不確定度為u = ·E 。

五、結束語

本文總結了大學物理實驗教學中關于不確定理論中的直接測量量的A類、B類標準不確定度和合成不確定度以及間接測量量的不確定度的通常表示方法，隨后得到了固體密度的測量實驗、共軛法測薄凸透鏡焦距實驗和楊氏彈性模量測量實驗中的各測量量不確定度的計算公式，并且我們在課堂上用多媒體演示，使大學一年級學生很容易掌握不確定度的計算，取得了不錯的教學效果，這對大學本科學生的物理實驗教學具有積極的指導意義。

參考文獻：

[1]陳慶東.大學物理實驗[M].北京：機械工業出版社，2006：1-20.

[2]陳慶東，鞏曉陽.大學物理實驗教程[M].北京：機械工業出版社，2013：56-69.

[3]趙志剛，等.多維測量結果不確定度評價方法初探[J].清華大學學報，2007，47（10）：1557-1561.

[4]賈翠紅，等.測量不確定度及其估算[J].福建師范大學學報，2007，23（1）：96-98.

[5]胡益豐，等.用拉伸法測鋼絲楊氏模量實驗中的不確定度分析[J].廣西物理，2007，28（4）：56-59.