凸函數的積分判別法及其應用

曹俊飛

(廣東第二師范學院 數學系，廣東 廣州 510310)

凸函數的積分判別法及其應用

曹俊飛

(廣東第二師范學院 數學系，廣東 廣州 510310)

摘要:凸函數是一類非常重要的函數，有著廣泛的應用，因此對凸函數的研究具有重要意義。本文首先建立了凸函數的積分判別法，并給出了此判別法與凸函數其他定義之間的等價關系。然后介紹了積分判別法中的Hadamard不等式，并證明了Hadamard不等式中等號成立的充分必要條件。最后舉例說明了凸函數積分判別法的運用方法。

關鍵詞：凸函數；積分判斷法；Hadamard不等

中圖分類號：O174

文獻標志碼：碼：A

文章編號：號：2095-4824(2015)03-0098-05

收稿日期：2015-03-11

作者簡介：曹俊飛(1982-)，男，湖北黃岡人，廣東第二師范學院數學系講師，博士。

Abstract：Convex functions are a very important kind of functions which are been widely used in mathematical and other fields. Hence it is of great significance to study the judgment method of convex functions. First, this paper establishes the integral judgment method of convex functions and proves the equivalence between this theorem and other definitions of convex functions. Next it introduces the Hadamard inequality and proves the necessary and sufficient conditions for the medium-Hadamard inequality. Finally, several examples of the convex function application with the integral method are illustrated.

凸函數的定義最早是在1905年由Jensen給出的，自凸函數理論建立以來，凸函數這一重要概念已在許多數學分支中得到了非常廣泛的應用。眾多學者對凸函數的研究對其發展起著十分重要的作用。

作為數學中一個比較年輕的數學分支，凸函數是在上世紀50年代以后隨著數學規劃、最優化控制、數理經濟學等應用數學學科的興起而發展起來的[1]。到目前為止，凸函數的研究已經從凸函數的定義研究到更多的關于凸函數性質的研究以及凸函數性質的應用方面的研究。由于凸函數的理論的廣泛性以及在數學各個領域的廣泛應用，因此對凸函數理論進一步深入研究和推廣顯得尤為重要，對凸函數的判別、性質以及應用的研究具有十分重要的意義。

基于Jensen凸函數的定義和性質, 1893年Hadamard給出了經典的Hadamard不等式。Hadamard不等式是隨著凸函數的發展而逐漸發轉起來的,它是凸函數理論以及應用的重要組成部分。一直以來關于凸函數Hadamard不等式理論和應用的研究也一直是不等式和凸函數理論和應用研究的熱點問題。

本文首先建立了凸函數的積分判別法，并給出了此判別法與凸函數其他定義之間的等價關系。然后介紹了積分判別法中的Hadamard不等式并證明Hadamard不等式中等號成立的充分必要條件。最后舉例說明了凸函數積分判別法的應用實例。

1　預備知識

凸函數的定義最先是由Jensen所引入，定義如下：

定義1[2]若函數f(x)滿足

(1)

則稱f(x)為凸函數。

后來一些作者給出了如下的一般定義：

定義2[3]若函數f(x)滿足

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

(2)

則稱f(x)為凸函數。

注：若f(x)是區間I上的連續函數，則上述兩個凸函數的原始定義是等價的[2]。

凸函數還有很多等價的定義：

定義3[2]如果對?x1，x，x2∈I，x1

則稱f為I內的凸函數。

則稱f為I內的凸函數。

定義5[2]如果對?x1，x2∈I，x1

則稱f為I內的凸函數。

定義6[2]若函數f(x)滿足

(1)?x∈I，f′-(x)，f′+(x)存在，且f′-(x)≤f′+(x)；

(2)?x1，x2∈I，x1

則稱f為I內的凸函數。

定義7[2]若果函數f(x)滿足在I內存在單調增加的函數φ，?x0∈I，?x∈I，

則稱f為I內的凸函數。

定義8[4]若對?x1，x2，…，xn∈I，函數f(x)滿足

則稱f為I內的凸函數。

定義9[5]若函數f(x)滿足在I內可導，且對?x，y∈I，有

f(x)≥f′(y)(x-y)+f(y)，

則稱f為I內的凸函數。

定義10[6]設函數f(x)在I內連續，且二次可導，f″(x)≥0，則稱f為I內的凸函數。

定義11[7]若對?x1，x2∈I，函數f(x)滿足

φ(λ)=f[λx1+(1-λ)x2]，為[0，1]上的凸函數，則稱f為I內的凸函數。

定義12[5]若函數f(x)滿足在I內可導，且f′(x)單調遞增，則稱f為凸函數。

2　凸函數積分判別法

本節將建立凸函數的積分判別法。

定理1 若對任何a

則f為凸函數。

定理2 若對任何a

則f為凸函數。

注：上述兩個積分不等式稱為Hadamard不等式。

證明：(1) 證明第一條不等式：

令

x=x1+λ(x2-x1)，λ∈(0，1)

則

同理，令

x=x2-λ(x2-x1)，λ∈(0，1)，

有

從而

綜上可得：

與已知不等式

相矛盾。故可知f是凸函數。

(2) 證明第二個不等式：

令x=x1+λ(x2-x1)，λ∈(0，1)，則有：

假設f不是凸函數，則：

f[x1+λ(x2-x1)]=f[λx2+(1-λ)x1]>λf(x2)+(1-λ)f(x1)

所以：

與已知不等式

上述兩個積分不等式可以判斷一個函數是不是凸函數，由此建立凸函數的積分判別法。通過建立積分判別法，使得函數在微積分學有了更加充分的作用。

3　凸函數積分判別法與凸函數其他定義的關系

命題1若函數f(x)滿足在I上連續，則可以由定義11?定理1。

證明：對?x1，x2∈I，由于

φ(λ)=f[λx1+(1-λ)x2]為[0，1]上的凸函數，所以：

f[λx1+(1-λ)x2]=φ(λ)=φ·1+(1-λ)·0]

≤λφ(1)+(1-λ)φ(0)=λf(x1)+(1-λ)f(x2)

所以f為凸函數。

即得到

命題2若函數f(x)在I內可導，則可以由定義9?定理2．

證明：函數f在I內有定義，且f在I內可導，若f為I上的凸函數，則：

由定義9可知：?x，y∈I，y

f(x)≥f(y)+f′(y)(x-y)，

則

而

又因為

所以

即

則

所以命題得證。

通過以上的證明可知，本文建立的凸函數積分判別法與已有的定義是等價的，從而說明本文建立的定理的正確性。

4　Hadamard不等式等號成立的充要條件

設函數f(x)是區間[a，b]上的凸函數，則對于a≤x1

僅當f為線性函數時等號成立，它說明在Jensen不等式的兩端之間可以用積分的平均值插入[8]。由此得出以下兩個性質：

定理3若函數f(x)在[a，b]內連續，且為區間上的凸函數，則：

(3)

成立的充要條件是：在[a，b]上，有

(4)

證明：充分性：對(4)式兩端從a到b積分，

所以：

必要性：因為f是凸函數，按照凸函數的定義3，可知

(5)

特別地，取x1=a，x2=b，則(5)可以化成：

(6)

上式左邊是連續函數，對其積分可以得到：

所以：

所以在[a，b]上，

必要性得證。

定理4若函數f(x)在[a，b]內連續，且為區間上的凸函數，則：

(7)

的充要條件是：在[a，b]上，有

(8)

(9)

對(8)式兩端從a到b積分，可以得到：

所以可以得到：

可見充分性得證。

也就是說：

上式左邊是連續函數，所以對其積分可得：

所以可以得到：

在上式中，取x=a，即可以得到：

同理：再對(6)式左邊積分，得

所以：

所以在[a，b]上，

即必要性得證。

注：定理3連續的條件不能去掉。

5　應用

證明：原不等式等價于：

設f(x)=xx，則由凸函數的積分判別法知f(x)為(0，∞)上的凸函數，故當x>0，y>0時，

令x=sin2x，y=cos2x，則：

例2a>0，b>0，n∈N+且n≠1，則有以下均值關系：

證明：設

f(x)=xn，x∈(0，+∞)，f″(x)=n(n-1)xn-2>0，

所以f為凸函數。即對任意的正數有：

可以得到：

證畢。

[參考文獻]

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010．

[2]劉國華, 陳妍, 龐培林,等. 關于凸函數的八個等價定義[J]. 河北建筑科技學院學報：自然科學版, 2003, 20(3):82-83.

[3]華東師范大學數學系，數學分析[M]. 北京:高等教育出版社， 1980．

[4]俞文輝.凸函數不同定義間的關系及其應用[J]. 南昌高專學報， 2005， 60(5):112-113．

[5]郭素霞.關于凸函數定義的討論[J]. 衡水師專學報， 2000， 2(4):49-52．

[6]尹傳勇.凸函數的等價命題[J].中國高等教育論壇，1998，10(2):21-24．

[7]鐘偉, 周彬林. 凸函數的幾種不同定義及作用[J]. 九江學院學報：哲學社會科學版, 2007, 26(3):74-77.

[8]匡繼昌. 常用不等式[M]. 3版.濟南: 山東科學技術出版社， 2004.

Integral Judgment Method of Convex Function and Its Applications

Cao Junfei

(DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou,Guangdong510310,China)

Key Words：convex function；integral judgment method；Hadamard inequality

(責任編輯：張凱兵)