向量組的線性相關(guān)性證明方法初探

張玉平+董昌州

摘要：向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中一個(gè)非常重要的概念，判斷給定向量組尤其是分量沒有具體給出的向量組的線性相關(guān)性是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。將證明向量組線性相關(guān)性的方法串聯(lián)起來，是學(xué)生解決這類問題的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；向量組；線性相關(guān)性

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：C 文章編號(hào)：1674-9324（2015）16-0201-02

向量組的線性相關(guān)性理論是線性代數(shù)理論的重要組成部分，它貫穿于線性代數(shù)課程的始終，線性代數(shù)中許多重要概念都離不開它，是線性代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。學(xué)生在初學(xué)這一概念時(shí)常常感到不易理解，尤其是遇到有關(guān)向量組線性相關(guān)性的證明，更是一頭霧水，我們的教材中按照知識(shí)結(jié)構(gòu)的順序，先后介紹了若干種可以證明向量組線性相關(guān)性的方法，比較零散，對(duì)學(xué)生來說不易于整體把握，知識(shí)串聯(lián)不起來，導(dǎo)致做題時(shí)無從下手，這里我們將判斷向量組線性相關(guān)性的一些常用方法進(jìn)行總結(jié)歸納。

一、利用定義

設(shè)有向量組A：a■，a■，…，a■，如果存在不全為零的數(shù)λ■，λ■，…，λ■，使λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0，則稱向量組A是線性相關(guān)的。否則，稱它是線性無關(guān)的。

例1：設(shè)b■=a■，b■=a■+a■，…，b■=a■+a■+…+a■，且向量組a■，a■，…，a■線性無關(guān)，證明：向量組b■，b■，…，b■線性無關(guān)。

證明：利用定義。假設(shè)k■b■+k■b■+…+k■b■=0，則根據(jù)定義，只需證明k■=k■=…=k■=0即可，由條件有：

k■a■+k■（a■+a■）+…+k■（a■+a■+…+b■）=0，即

（k■+k■+…+k■）a■+（k■+…+k■）a■+…+k■a■=0，

因?yàn)橄蛄拷Ma■，a■，…，a■線性無關(guān)，因此必有：k■+k■+…+k■=0k■+…+k■=0……k■=0，所以k■=k■=…=k■=0，證畢。

利用定義證明向量組的線性相關(guān)性是最直接、最基本的方法。

二、利用齊次線性方程組的解來判斷

根據(jù)定義，要判斷向量組的線性相關(guān)性只要判斷表達(dá)式λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0中的系數(shù)λ■，λ■，…，λ■是全為零或是不全為零即可。因此，當(dāng)齊次線性方程組λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0只有零解時(shí)，a■，a■，…，a■線性無關(guān)，非零解時(shí)，a■，a■，…，a■線性相關(guān)。

例2：設(shè)向量組B：b■，b■，…，b■能由向量組A：a■，a■，…，a■線性表示為（b■，b■，…，b■）=（a■，a■，…，a■）K，其中K為s×r矩陣，A組線性無關(guān)，且R（K）=r，證明：B組線性無關(guān)。

證明：只需證明Bx=0這個(gè)齊次線性方程組只有零解x=0即可，由于B=AK，所以AKx=0，因?yàn)锳組線性無關(guān)，因此AKx=0這個(gè)齊次線性方程組只有零解Kx=0，而R（K）=r，因此Kx=0這個(gè)齊次線性方程組只有零解x=0，證畢。

三、利用矩陣的秩

由于判斷齊次線性方程組解的情況，可以利用系數(shù)矩陣的秩來判斷，即向量組a■，a■，…，a■線性相關(guān)的充要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=（a■，a■，…，a■）的秩小于向量的個(gè)數(shù)m，向量組a■，a■，…，a■線性無關(guān)的充要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=（a■，a■，…，a■）的秩等于向量的個(gè)數(shù)m。

例1還可用此方法證明：根據(jù)條件有

（b■，b■，…，b■）=（a■，a■，…，a■）？搖1 ？搖？搖1 ？搖… ？搖1？搖0 ？搖？搖1 ？搖… ？搖1… … … …？搖0 ？搖？搖0 ？搖… ？搖1，記作B=AK，由于K≠0，所以K可逆，由于向量組a■，a■，…，a■線性無關(guān)，所以R（A）=r，因此R（B）=r，證畢。

在這種情況中，如果向量的個(gè)數(shù)與向量的維數(shù)相等的話，則可以利用方陣A的行列式來判斷，因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，即可以利用克拉默法則。

我們知道等價(jià)的向量組有相同的秩，因此還可以利用向量組的等價(jià)性來判斷。

四、利用向量組的等價(jià)性來判斷

例3：設(shè)a■，a■，…，a■是一組n維向量，已知n維單位向量e■，e■，…，e■能由它們線性表示，證明：向量組a■，a■，…，a■線性無關(guān)。

證明：由于任意n維向量組都能由n維單位向量e■，e■，…，e■線性表示，而由已知，n維單位向量e■，e■，…，e■又能由a■，a■，…，a■線性表示，因此a■，a■，…，a■與e■，e■，…，e■等價(jià)，即R（a■，a■，…，a■）=R（e■，e■，…，e■）=n，證畢。

以上我們將證明向量組線性相關(guān)性的常用方法串聯(lián)了起來，只要牢牢掌握住判斷向量組線性相關(guān)性與判斷所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是否有非零解是等價(jià)的這條主線，那么所有判斷齊次線性方程組是否有非零解的方法都可以用到判斷向量組線性相關(guān)性上。

此外，反證法也是我們證明向量組線性相關(guān)性的一種常用方法。

五、利用反證法

例4：若向量β可由向量組a■，a■，…，a■線性表示且表示式唯一，證明：向量組a■，a■，…，a■線性無關(guān)。

證明：利用反證法。假設(shè)a■，a■，…，a■線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)k■，k■，…，k■使得k■a■+k■a■+…+k■a■=0 （1）

又向量β可由向量組a■，a■，…，a■線性表示，設(shè)表示式為β=l■a■+l■a■+…+l■a■？搖 （2）

（1）+（2）得，β=（k■+l■）a■+（k■+l■）a■+…+（k■+l■）a■

由于k■，k■，…，k■不全為零，即k■+l■，k■+l■，…，k■+l■與l■，l■，…，l■是兩組不全相等的數(shù)，說明β有兩種不同的表示法，這與向量β可由向量組a■，a■，…，a■線性表示且表示式唯一、矛盾，所以a■，a■，…，a■線性無關(guān)，證畢。

六、利用已知命題直接判斷

1.包含零向量的向量組必線性相關(guān)。

2.兩個(gè)向量線性相關(guān)則對(duì)應(yīng)分量成比例。

3.當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量一定是線性相關(guān)的。

4.若向量組A：a■，a■，…，a■線性相關(guān)，則向量組B：a■，a■，…，a■，a■也線性相關(guān)；反之，若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)。

5.若向量組a■，a■，…，a■線性相關(guān)，則該向量組中至少有一個(gè)向量能由其余向量線性表示；反之向量組a■，a■，…，a■線性無關(guān)，則任一向量都不能由其余向量線性表示。

線性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，題目綜合性與靈活性都較大，以上我們介紹的這些方法在具體做題時(shí)通常并不是孤立使用的，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)時(shí)一定要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，及時(shí)地對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，做到融會(huì)貫通。

參考文獻(xiàn)：

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[2]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納[M].第二版.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

[3]黃先開.線性代數(shù)題型歸納與練習(xí)題集[M].世界圖書出版社，2006.endprint