調(diào)和級數(shù)1/n發(fā)散性的證明

段佩

摘要：級數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表示形式，是微積分理論研究與實際應(yīng)用中的一種強(qiáng)有力的工具。在級數(shù)斂散性的討論中，調(diào)和級數(shù)的應(yīng)用很廣泛，關(guān)于調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的各種方法，對級數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的，特別是在其證明方面能起到舉一反三、融會貫通的作用。本文對調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明方法進(jìn)行了整理，其中有些采用了與原證不同的敘述，但比原證更加具體明了。

關(guān)鍵詞：調(diào)和級數(shù)；發(fā)散性；部分和；積分法

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）16-0203-02

1 引言

級數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表示形式，是微積分理論研究與實際應(yīng)用中的一種強(qiáng)有力的工具。而在級數(shù)斂散性的討論中，調(diào)和級數(shù)的應(yīng)用很廣泛。關(guān)于調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的各種方法，對級數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的，特別是在其證明方面能起到舉一反三、融會貫通的作用。本文對調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明方法進(jìn)行了整理，其中有些采用了與原證不同的敘述，但比原證更加具體明了。

2 調(diào)和級數(shù)的證明方法

證法一：利用柯西收斂原理證明[1]

證明：令ε■=■，？坌n∈N

由S■-S■=■+■+…+■

>■

=■>■

∴該級數(shù)發(fā)散

證法二：利用比階判斂法證明

證明：當(dāng)P=1時，■n■·■=■n·■=1>0

根據(jù)比階判斂法可知，級數(shù)■■發(fā)散

證法三：利用反證法證明

證明：假設(shè)級數(shù)■■收斂，即1+■+■+…+■

+…=S

∵■>■，n∈N

∴S=1+■+■+…+■+…

=1+■+（■+■+■+…）+（■+■+■+…）

≥1+■+2（■+■+■+…）

=1+■+（■+■+■+…）

=■+S

即S≥■+S，矛盾

∴假設(shè)不成立，■■發(fā)散

證法四：將級數(shù)分成兩個級數(shù)證明

證明：■■分為分母是奇數(shù)和偶數(shù)的兩個級數(shù)

■■=■+■+■+■+…+■+…和？搖

■■=1+■+■+■+■+…+■+…

由于1>■>■>■>…>■>…

■2■·a■=■■=■■

而■■=■

∴■2■·a■發(fā)散，即■2■·a■=■■=■■發(fā)散

同理■■=■+■+■+…+■+…也發(fā)散

∴■■發(fā)散

證法五：應(yīng)用級數(shù)■a■與■2■·a■有相同的斂散性（a■≥a■≥…≥a■≥…≥0）

證明：取a■=■（n=1，2，…）1>■>■>…>■>0

而級數(shù)■2■·a■=■2■·■=■1=+∞發(fā)散

故調(diào)和級數(shù)■■發(fā)散

證法六：利用Bertrand判別法證明■■發(fā)散

證明：a■=■

r=■（lnn）n（■-1）-1

？搖？搖？搖？搖=■（lnn）n（■-1）-1

？搖？搖？搖？搖=■（lnn）n·（■-1）-1

？搖？搖？搖？搖=■（lnn）n·■-1

=0<1

∴級數(shù)■■發(fā)散

證法七：證明部分和數(shù)列S■的子列S■發(fā)散

證明：S■=1+■+■+…+■…

S■=1+■+（■+■）+（■+■+■+■）+…+（■+■+…+■）

>1+■+2×■+4×■+…+2■×■

=1+（■）

=1+■

∴■S■≥■（1+■）=+∞

即■S■=+∞

∴S■發(fā)散，從而調(diào)和級數(shù)■■發(fā)散

證法八：積分法證明調(diào)和級數(shù)■■發(fā)散

證明：取f（x）=■，則f（x）在1，+∞內(nèi)單調(diào)遞減連續(xù)，且f（n）=■

∵■■dx=■■■dx=■lnA=+∞

∴■■發(fā)散

3 關(guān)于調(diào)和級數(shù)■■的應(yīng)用舉例

（1）判斷級數(shù)■■的收斂性。

解：∵正項級數(shù)■>■=■，

而■■發(fā)散的調(diào)和級數(shù)

由比較判別法，級數(shù)■■發(fā)散

（2）用比較判別法判斷1+■+■+■+…+■

+…的斂散性。

解：∵u■=■>■

又■■=■■■

調(diào)和級數(shù)■■是發(fā)散的，故■■發(fā)散

根據(jù)比較判別法■■=1+■+■+■+…+■+…發(fā)散

4 結(jié)語

調(diào)和級數(shù)是判斷另外一個級數(shù)發(fā)散的一種重要工具，該級數(shù)的證明方法也精彩紛呈。本文綜合了一些證明，也給出了筆者根據(jù)有關(guān)定理對該級數(shù)的證明，有一定的創(chuàng)新意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集（4）[M].費定暉，周學(xué)圣，譯.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2005：2-16.endprint