一致連續性概念的教學探討與反思

蘭堯堯

摘要：函數的一致連續性是數學分析中一個非常重要的概念，刻畫了函數在區間上的整體性質。本文主要探討一致連續的概念教學，并對教學實際進行了反思。

關鍵詞：一致連續；逐點連續；直觀教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）16-0229-02

一、引言

函數的一致連續性是分析數學中一個非常重要的概念，刻畫的是函數在區間上的整體性質。在函數的可積理論、積分（弧長公式）、函數序列以及含參變量積分等一系列問題的證明過程中，一致連續性都起到了關鍵作用，沒有這個概念，這些結論都無法得到。因此，深刻理解一致連續的概念對后續課程的學習與數學思維的培養都是至關重要的。另一方面，就數學知識本身的拓展與深化而言，從逐點連續到一致連續，體現了怎樣的數學思想與方法，這對培養學生良好的數學修養與思維都是裨益良多的。

二、借助幾何直觀，類比教學

數學分析中幾個的“一致性”概念都比較抽象，不易理解。“一致連續”是學生遇到的第一個“一致性”概念，因此，利用幾何直觀引入概念，正本清源，同時注意將逐點連續與一致連續進行類比，讓學生順利跨越這“第一道坎”，對后續課程的學習是至關重要的。

在課堂教學中，我們尊重學生認知事物的基本規律，使學生首先形成一致連續概念的表象，再通過表象抽象出一致連續概念，通過練習加強概念的理解，并由教師介紹一致連續在后續課程中的作用，使學生對該概念的重要性有初步的印象。

本課時的教學由下面四個環節構成：

第一環節：問題提出。

函數的逐點連續性是函數的局部性質，而一致連續性則是一種更強的連續性，刻畫的是函數在區間上的整體性質。

問題一：函數在某點處連續（逐點連續）的本質是什么？（ε-δ定義）

一致連續性對于學生而言，高度抽象，難以理解，學生對為什么要引入該概念感到困惑。首先，復習函數逐點連續的概念，溫故知新，通過類比，引出更強的連續性——一致連續。

問題二：逐點連續定義中的δ與ε、x都有關，隨ε、x的變化而變化，啟發學生，若取δ=■{δ（ε，x）}>0，會得到什么樣的結論？即是否存在公共的δ？（幾何直觀，多媒體演示）

通過對逐點連續地分析，總結出其本質——不要求存在公共的δ，使得函數在每一點連續、區間上各點之間的連續性不需要進行比較，這是“自掃門前雪”，也正是逐點連續，還是函數在區間上局部性質的本義。那么，我們要研究區間上函數的整體性質需要什么樣的連續性呢？

基于幾何直觀的教學，有助于學生對抽象概念本質的理解，“看圖識字”可以使學生記得牢，學得活。

第二環節：引出定義。

定義：設函數y=f（x）為定義在區間上的函數。若對任意ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對任何x■，x■∈I，只要x■-x■<δ，就有f（x■）-f（x■）<ε.

PPT演示（幾何直觀）“不一定連續”：

如果函數劇烈震蕩，非常“陡”，或者函數曲線幾乎垂直于x軸時，將導致δ=■{δ（ε，x）}=0，此時函數不一致連續。

定義：（不一致連續）設函數y=f（x）為定義在區間上的函數，若存在ε■>0，對任意δ>0，存在x■，x■∈I，雖然x■-x■<δ，但f（x■）-f（x■）≥ε■.

第三環節：定義運用。

例1.證明函數y=■在[0，+∞）上是一致連續的。

本例借助幾何直觀，尋求■{δ（ε，x）}，有助于學生掌握公共的δ的取法。

例2.證明函數y=■在（0，1）上不一致連續（盡管其在（0，1）上逐點連續）。

第四環節：課堂小結。

教師總結：本節課學習了一致連續的概念，通過與逐點連續的類比，我們得到：（1）一致連續必連續，反之不成立（見例2）；（2）一致連續是函數在區間上的整體性質，而逐點連續是局部性質。

在今后的學習中我們將看到一致連續所發揮的重要作用，如在函數的可積理論、積分（弧長公式）、函數序列以及含參變量積分等一系列問題的證明過程中，一致連續都起到了重要作用，沒有這個概念，這些結論都無法得到。

三、教學反思

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為學習數學的目的不是一成不變的，在不同的社會背景下，所需達到的目的也不同，他總結了五點：①掌握數學的整個體系；②學會數學的實際應用；③數學作為思維的訓練；④數學作為篩選的工具；⑤培養解決問題的能力。由于授課對象為師范生，我們將課程定位在思維訓練與培養解決問題的能力上，因此，在進行教學設計時，我們更注重思維發生的過程，重視一致連續性概念的形成過程，結合幾何直觀，激發學生的學習興趣，使得抽象問題形象化，讓學生充分體現數學的應用價值與思維價值。

（一）教學方法反思

本次課主要采用問題驅動結合講授法進行教學，以恰當的問題為紐帶，結合幾何直觀，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成一致連續性概念，引導學生經歷數學知識再發現的過程，讓學生在參與中獲取知識，發展思維。

從課堂反饋來看，學生在問題鏈的引導下，能夠主動思考并回答問題，一致連續的概念在解決問題的過程中被發現、被吸收、被應用。此外，師生、生生共同解決問題的過程也是師生情感交流、融洽課堂氣氛的過程。不過，更為理想的狀態是能讓學生自己發現并提出問題，而不是由教師“包辦”其思維與推理，使得學生囿于設定好的問題與情境之中。另一方面，要引導學生提出觸及概念本質的問題，避免天馬行空不著邊際的發散思維，從而降低課堂的有效性，這是采用問題驅動教學法尤其需要引起注意的地方，也促使我在今后的教學中不斷反思與改進。

（二）教學過程反思endprint

整個教學過程體現了教為主導，學為主體。課堂圍繞教學重點展開，教學目標得到了實現，難點得到了化解。另一方面，通過學生的學習活動與教師的教學活動，總結了今后值得注意與改進的地方，具體分析如下。

1.教學目標。本課的教學目標是使學生理解一致連續與逐點連續的區別與聯系；掌握利用定義驗證函數的一致連續性；提高類比歸納、抽象概括、聯系與轉化的思維能力。從課堂實施情況看，借助幾何直觀，提出問題之后，學生能通過與逐點連續定義的類比歸納出一致連續性的本質，進而抽象出其ε-δ定義，并運用定義證明函數的一致連續性?？傊?，本課的教學目標得到了實現。

2.教學重難點。本課的重點是一致連續性概念，難點是一致連續與逐點連續的區別與聯系。利用定義驗證函數在區間上的一致連續性，從課堂實施情況看，教學過程緊緊圍繞教學重點展開，從問題提出→引出定義→定義應用→課堂小結，環環相扣，凸顯重點，化解難點，學生對一致連續這一抽象概念有了較好的理解。數學分析中幾個“一致性”概念都是比較抽象的、不易理解的，“一致連續”是學生遇到的第一個“一致性”概念，因此在本次課中，學生順利跨越了這“第一道坎”，這為后續課程的學習打下了良好的基礎。

3.學生的學習活動。思維活躍，積極思考教師提出的問題，充分調動自己的原有知識解決問題，主動參與討論、交流。不過，在運用定義證明函數的一致連續性時，部分學生對δ的選取無從下手，盡管知道利用反推的方法進行δ的選取，但在不等式放縮時遇到了問題，無法順利使用一些常用的技巧，這與學生原有的基礎有關，也與課后練習不夠有關。

4.教師的教學活動。精心設計問題，引導學生思考、討論，對學生的回答給予了肯定與鼓勵，注重保護學生的積極性。教學基本是在教師的問題引導下，以學生的主動探究為主，一步一步接近概念，教師對課堂的調控有自己的考慮，做到了有計劃、有目的的進行教學。但整個教學過程中，學生循著教師的思路考慮問題，沒有自己提出問題，課堂活動止于教師問、學生答，在今后的教學中應當注意培養學生發現問題的能力，給學生創造提出問題的機會和時間，培養其創新能力。

日本著名數學教育家米山國藏指出：“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們終身受益?！边@與Freudenthal的教育理念相契合，是我們進行教學設計與實施教學的基本理念，希望學生能從課堂中切身感受到“冰冷的”定義定理之下藏著的“火熱的”思考，將數學作為思維的訓練工具，培養其發現問題、分析問題、解決問題的能力。另一方面，由于授課對象為師范方向的學生，他們當中的大部分日后將會走上講臺，傳道、授業、解惑，因此掌握數學知識的本質與背景、深刻理解其思想與方法就顯得更為重要了。endprint