電路實(shí)現(xiàn)lorenz混沌系統(tǒng)同步

郭丹偉 張景波

摘 要：若干個(gè)耦合單元之間通過相互作用達(dá)到同步的現(xiàn)象在許多領(lǐng)域中屢見不鮮。20世紀(jì)90年代以來，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡羅爾（P.L.Carroll）提出相同混沌子系統(tǒng)間，在不同的初始條件下，通過某種驅(qū)動(dòng)（或耦合），仍然可以實(shí)現(xiàn)混沌軌道的同步化。該文就混沌同步的幾種主要方法及這些方法的基本原理作簡要的研究。

關(guān)鍵詞：Lorenz 混沌 PC同步

中圖分類號(hào)：O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）08（a）-0045-02

同步是自然界中的一種基本現(xiàn)象，它通常指：至少在兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)相位間的協(xié)調(diào)一致現(xiàn)象。關(guān)于同步現(xiàn)象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯（C.Huygens）關(guān)于耦合單擺的同步現(xiàn)象的觀察。實(shí)際上，若干個(gè)耦合單元之間通過相互作用達(dá)到同步的現(xiàn)象在許多領(lǐng)域中屢見不鮮。尤其是進(jìn)入20世紀(jì)90年代以來，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡羅爾（P.L.Carroll）提出相同混沌子系統(tǒng)間，在不同的初始條件下，通過某種驅(qū)動(dòng)（或耦合），仍然可以實(shí)現(xiàn)混沌軌道的同步化。他們提出了一種混沌同步的方法（簡稱P——C方法），并在電子線路上首次觀察到混沌同步現(xiàn)象。他們的工作和OGY控制混沌的工作，極大地推動(dòng)了混沌同步和混沌控制的理論研究，拉開了利用混沌的序幕。

該文僅就混沌同步的幾種主要方法及這些方法的基本原理作簡要的介紹。

1 Lorenz吸引子

一個(gè)系統(tǒng)的同步是以其條件李雅普諾夫指數(shù)來衡量的，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的條件李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)時(shí)，稱系統(tǒng)是同步的。Lorenz吸引子是一種典型的混沌系統(tǒng)，利用它可以證實(shí)以上的結(jié)論。

Lorenz系統(tǒng)是氣象學(xué)家lorenz在研究流體是提出的動(dòng)力學(xué)模型，隨后人們給出了它的電路實(shí)現(xiàn)。其電路圖如圖1所示。

在電路中，由R1、R2、R3、R4以及運(yùn)算放大器1構(gòu)成了一個(gè)減法器。R5、C2以及運(yùn)算放大器2構(gòu)成一個(gè)積分器。R6、R7以及運(yùn)算放大器3構(gòu)成了一個(gè)倍乘器。乘法器9實(shí)現(xiàn)了U和W的相乘。乘法器10實(shí)現(xiàn)了U和V的相乘。R8、R9、R10、R11、R12以及運(yùn)算放大器4構(gòu)成了一個(gè)加法器。R13、R14以及運(yùn)算放大器5構(gòu)成了一個(gè)反向器。R15、C2以及運(yùn)算放大器6構(gòu)成積分器。R16、R17、R18、R19以及運(yùn)算放大器7構(gòu)成了一個(gè)減法器。R20、C3以及運(yùn)算放大器8構(gòu)成了一個(gè)積分器。

其輸出V（T）—T，關(guān)系如圖2所示。

2 線性狀態(tài)反饋同步

下面討論利用線性反饋的控制方法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)全同系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的同步化。所謂兩個(gè)全同系統(tǒng)，這里是指一個(gè)n維動(dòng)力系統(tǒng)

（7）

對它的復(fù)制品

（8）

兩式中的函數(shù)有完全相同的形式，只是用帶撇的變量代替了不帶撇的變量（參數(shù)u可以有微小的差別）。系統(tǒng)可稱為原系統(tǒng)，系統(tǒng)可稱為復(fù)制系統(tǒng)，為利用線性反饋方法使原系統(tǒng)與復(fù)制系統(tǒng)同步化，在復(fù)制系統(tǒng)方程中增加一反饋項(xiàng)，即

（9）

通過選擇合適的），使得t→∞時(shí)，，就是說使式（9）的解漸進(jìn)穩(wěn)定地趨向方程（7）的解，從而使系統(tǒng)（9）與系統(tǒng)（7）同步化。

這樣做的好處在于：一般來說是與的性質(zhì)有關(guān)的一大類函數(shù)，使得有多種選擇方法來實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步化，從而使應(yīng)用這一現(xiàn)象的可行性更大。

下面對lorenz方程的反饋混沌同步進(jìn)行說明。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

σ（v-u）

ru-v-uw

uv-bw

反饋加在響應(yīng)系統(tǒng)的第二個(gè)方程上

σ（v-u）

ru-v-uw-λ（v-v）

uv-bw

其中的參數(shù)值與原系統(tǒng)的相同，σ=16，r=45.6，b=4。

電路圖中需要在lorenz基本混沌電路的基礎(chǔ)上，完全復(fù)制一套u(yù)、v、w，再加入一個(gè)由電阻及運(yùn)算放大器組成的減法器，一個(gè)由電阻及運(yùn)算放大器組成的倍乘器，驅(qū)動(dòng)信號(hào)加在v中。

在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，取電容的初始值為0.1v，響應(yīng)系統(tǒng)中，取電容的初始值為0.11v。此時(shí)，研究者關(guān)心的是v、v隨著時(shí)間的推移，是否能達(dá)到同步的問題。

該文還是利用pspice軟件來檢驗(yàn)v與v是否同步的問題，用與u驅(qū)動(dòng)同樣的方法來觀察v與v的關(guān)系曲線。

3 結(jié)語

該文研究了兩種實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)混沌同步的方法，最終一個(gè)系統(tǒng)是可以達(dá)到同步的。

參考文獻(xiàn)

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