高斯定理求解電場強度的教學探討

葉世旺　唐軍　張榮　薛劉萍

摘要：本文探討了高斯定理教學中所涉及到的幾個重點和難點，并結合典型例題分析了高斯定理在求解電荷非均勻分布的帶電體的場強中的應用，以使學生輕松、全面地理解和應用該定理。

關鍵詞：高斯定理；高斯面；電場強度

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）12-0188-02

高斯定理是靜電學的基本規律之一，也是普通物理教學的重點內容[1-3]。利用高斯定理，可簡單、快速地求得某些電荷均勻分布帶電體（如球型、圓柱形、無限大平板等）的空間場強分布[4]。利用該定理求解場強問題的關鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。其實，通過合理選擇高斯面，高斯定理也可以求解某些電荷非均勻分布的帶電體激發的場強。本文結合典型的例題進行探討，便于學生更好地理解高斯定理的內容和掌握利用高斯定理解題的思想方法。

一、對高斯定理的理解

4.高斯定理是由庫侖定律和場強疊加原理導出的，可適用于任何電場，是電磁場基本規律之一。

二、應用高斯定理求解電場強度

我們知道，利用點電荷的電場強度公式和場的疊加原理原則上可以求出任意已知電荷分布激發的電場強度，這是數學計算上的問題。而對于某些特殊情況，我們可以用高斯定理來求解電場強度。其基本思想是要使待求場強E都可移到高斯定理的積分號外，從而求出帶電體系在待求點產生的場強。這就要求電場強度的分布要具有某種對稱性。所以用高斯定理求解場強，首先要定性分析帶電體系產生的場強，以明確場強方向和大小的分布規律；其次，依據場強分布規律，判斷能否用高斯定理求解，能則構建適當的高斯面進行求解。

構建高斯面必須滿足兩個條件：其一，高斯面必須通過所求場強的點；其二，高斯面上各點或某部分各點場強大小均相等。在此基礎上，高斯面的形狀大小原則上可任意選取，但必須使計算簡單，所以一般可作高斯柱面和球面。作高斯球面時要求球面上各點的場強大小都相等，方向和面元法向的夾角都相等，這就要求場強的分布要關于高斯球面的球心對稱，如點電荷、均勻帶電球面（體或殼）等電荷分布具有球對稱性的，其場強分布也具有球對稱性，所以可以作同心的高斯球面利用高斯定理來求解。如果是作高斯柱面（可分為兩底面和一側面），則要求計算的點所在面（底面或側面）的電場強度大小相等，而且面元的方向和場強方向的夾角相等，其余兩面上的場強大小可以不同，如果不同則要求面元的方向和場強方向的夾角為90°，或者場強的大小相等而且已經知道了。比如無限大均勻帶電平面（板）、無限長均勻帶電直線、無限長均勻圓柱面（體或殼）等可以用作高斯柱面的方法來求解。

很多學生就認為只有電荷均勻分布且具有面對稱、柱對稱或球對稱時才能用高斯定理求解電場強度。其實，高斯定理也可以求解某些電荷非均勻分布的場強分布。如電荷體密度分布為ρ=Krn（其中K，n為常數，r為點到球心的距離）的球體（殼），場強分布具有球心對稱性，可以作同心的高斯球面利用高斯定理來求解。又如無限長體密度分布為ρ=Krn（其中K，n為常數，r為點到圓柱軸線的距離）圓柱體，場強分布具有關于圓柱軸線對稱，可以作同軸的高斯柱面利用高斯定理來求解。再如求孤立導體表面附近處的電場強度，由靜電平衡性質可知，導體表面附近處的場強處處垂直于導體表面，導體內部的場強處處為零，分析場強的分布情況，就知道可以用高斯定理來求解[6，7]。又如下面的例子：

三、結論

利用高斯定理，不僅可以快捷的求得均勻帶電的球型、圓柱形、無限大平板等帶電體激發的空間場強分布，也可以求解某些電荷不均勻分布的場強，如無限長體密度分布為ρ=Kr（其中K，n為常數，r為點到圓柱軸線的距離）圓柱體，電荷體密度分布為ρ=Kr（其中K，n為常數，r為點到球心的距離）的球體（殼），電荷體密度為ρ=Kx（0≤x≤a），厚度為a的無限大帶電平板等情況。用該定理分析問題的關鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。通過合理選擇高斯面，滿足計算的點所在的面上的場強大小處處相等，方向與面元法向夾角恒定（一般為900），其余面上的通量是定值，就可以用高斯定理來求解電場強度。通過對高斯定理求解非均勻分布帶電體的場強的探討，可以使學生更好地理解高斯定理的內容和掌握利用高斯定理解題的思想方法。

參考文獻：

[1]王先菊.高斯定理教學探討[J].理化生教學與研究，2010，（18）：182.

[2]雷桂林，路玉燕，鄭卓.能用高斯定理求解場強問題的類型[J].甘肅教育學院學報（自然科學版），2003，17（02）：55-58.

[3]張燕飛.利用高斯定理求解電場強度[J].滁州師范學院學報，2005，7（4）：105-107.

[4]李復.電磁場的對稱性分析[J].物理與工程，2006，16（1）：37-42.

[5]陳鉞.關于高斯定理證明的教學探討[J].湖南理工學院學報（自然科學版），2004，17（1）：29-30.

[6]程守洙，江之永.普通物理學（上冊）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2006.

[7]張三慧.電磁學[M].北京：清華大學出版社，1999.