LINEX損失函數下具有風險相依結構的信度模型

李新鵬，德娜·吐熱汗，騰　葉，吳黎軍

(1.新疆農業大學 數理學院，新疆 烏魯木齊，830052；

2.石河子大學 理學院，新疆 石河子，832000；

3.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊，830046)

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LINEX損失函數下具有風險相依結構的信度模型

李新鵬1，德娜·吐熱汗1，騰葉2，吳黎軍3

(1.新疆農業大學 數理學院，新疆 烏魯木齊，830052；

2.石河子大學 理學院，新疆 石河子，832000；

3.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊，830046)

摘要：在經典信度理論中,運用平方損失函數來估計保費會導致很高的懲罰額,影響保險市場的競爭力;另一方面,經典信度理論假設一個保單組合的每個保單索賠額間互相獨立；但在實際應用中,各個保單索賠額間卻是風險相依的.采用LINEX損失函數，將溫利民等人在2012年提出的一個保單各年索賠額間具有時間變化效應的風險相依結構推廣到一個保單組合的各個保單索賠額間,并且給出了LINEX 損失函數下具有風險相依結構的Bühlmann模型的信度保費和LINEX損失函數下Bühlmann模型的信度保費.

關鍵詞：信度模型；LINEX損失函數；風險相依結構

在保險精算中,信度理論是最重要的保費厘定技術,現代信度理論起源于Bühlmann,在他的文章中得到任意分布下的凈保費信度估計.信度理論是利用往年索賠記錄來預測下一年索賠情況的一種定量方法,得到的保費為樣本均值和聚合保費的加權和[1].

經典信度理論中,總是用平方損失函數來估計保費,但使用平方損失函數會導致很高的懲罰額,尤其不利于小額風險事故的投保人,這勢必會影響保險市場的競爭力.針對這一問題,20世紀70年代許多學者注意到過高估計或過低估計引起的損失并不相同,于是引入了非對稱損失函數.在某些情況下,使用平方損失函數所估計的保費不準確,這一點在許多文章中都給出了實例,如Berger[2],Varian[3].

Varian于1975年提出了一個非對稱損失函數,被稱為LINEX損失函數(線性指數損失函數),如下:

(1)

經典信度理論中假定在風險參數給定下,一個保單組合的每個保單索賠額之間獨立同分布,然而在實際應用中,考慮各個保單間風險相依結構的信度模型與實際更符合.不同保單的索賠額間具有風險相依結構,不同風險間具有相關結構,如同一次交通事故可以導致多次索賠,地域臨近的房屋面臨共同的火災風險等.溫利民等[7]在2012年運用平方損失函數研究了一個保單各年索賠額間具有時間變化效應的信度模型,得到相應的信度保費,Yeo和Valdez[8]在2006年提出了具有共同效應的信度模型,并在索賠額服從正態分布條件下推出了信度保費,溫利民等[9]在2009年研究了各個保單索賠額間具有共同效應的信度模型,得到了信度保費,黃維忠等[10]在2012年給出了平衡損失函數下各個保單索賠額間具有共同效應的信度保費[10].

本文既考慮了風險間的相關性,又考慮了保費制定的公平性、合理性.因此,采用LINEX損失函數,將2012年溫利民等人提出的一個保單各年索賠額間具有時間變化效應這一風險相依結構推廣到一個保單組合的各個保單索賠額間,研究了在這種風險相依結構下的信度模型,得到了相應的信度保費.

1　模型預備知識

在經典信度理論中,假設K個保單構成一個保單組合,每個保單的風險參數為Θ,在Θ給定下,每個保單之間獨立同分布,對于第i個保單,它的過去n年索賠額為Xi1,...,Xin,但與經典信度理論不同的是,本文假設每個保單有各自的風險參數,這些風險參數為Θ1,...,ΘK,且這些風險參數具有某種相依結構,假設如下:

假設2保單i的風險參數Θi的分布函數為πi(θ),且E[μ(θi)]=μ,E[v(θi)]=vi,

(2)

引理1在由式(1)給出的LINEX損失函數下,第i個保單的基于樣本X的下一年保費的最優估計為：

(3)

引理2在假設1和假設2下,有以下結果:

(ⅰ)Yij的均值為：E(Yij)=μ,i=1,···,K,j=1,···,n+1

(ⅱ) Yi,n+1與Y的協方差為：Cov(Yi,n+1,Y)=τi(τ1,…，τk)?1n′，其中1n為每個元素均為1的n×1列向量,?為矩陣的Kronecker積.

(ⅲ)Y的協方差矩陣為：Cov(Y,Y)=diag(viMi,i=1,2,…，K)+[(τ1，…，τkj?1n][(τ1，…，τk]?1n′]

其中:

為對角矩陣.

證明(ⅰ)根據條件期望公式,得證.

(ⅱ) 對保單i和s,索賠時間t,i,s=1,...,K,t=1,...,n,由假設1和假設2可得:

所以，

(ⅲ) 對保單i和s,索賠時間j,t,i,s=1，…，K,j,t=1,…,n,由假設1和假設2以及條件期望公式可得:

(ⅳ) 由矩陣求逆公式(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1可得[11]:

2　LINEX損失函數下Bühlmann-Straub模型的保費估計

由引理1知,要估計LINEX損失函數下的信度模型的保費,需先估計E(e-αXi,n+1|X),為此令f(X)=E(e-αXi,n+1|X),我們也將估計限定在Yij,i=1,...,K,j=1,...,n的線性組合中, 則f(X)為下述問題的最優解:

(4)

定理1在假設1和假設2下,求解最優化問題(4),得到f(X)的最優估計為

則第i個保單在LINEX損失函數下具有風險相依結構的Bühlmann-straub模型保費估計為

證明最優化問題(4)等價于

MinA,BE[f(X)-A-BY]′[f(X)-A-BY]

(5)

由引理1知，第i個保單在LINEX損失函數下具有風險相依結構的信度保費估計為

注記3由于結構參數(τi,vi)較多，假設τi=τ,vi=v,i=1,2，…，則結構參數μ的無偏估計為：

3　結束語

本文研究了LINEX損失函數下具有風險相依結構的Bühlmann-Straub信度模型,得到了相應的信度保費,推廣了Bühlmann和Bühlmann-Straub模型,并且運用所得的結論給出了LINEX 損失函數下具有風險相依結構的Bühlmann模型的信度保費和LINEX損失函數下Bühlmann模型的信度保費,也給出了基本結構參數μ,τ2,v,的無偏估計.

參考文獻：

[1] Bühlmann H, Gisler A. A course in credibility theory and its applications[M]. Netherlands:Spinger, 2005:77-264.

[2] Berger J O. Statistical Decision Theory: Foundations, Concepts and Methods[M]. New York: Academic Press, 1980.

[3] Varian H R. A Bayesian approach to real estimate assessment[C]// Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J Savage. Amsterdam，1975:195-208.

[4] Parsian A. On the admissibility of all estimator of a normal mean vector under a LINEX loss function[J]. Ann Inst statist Math, 1990, 42:657-669.

[5] Wen L M, Zhang X K, Zheng D,etal. The credibility models under LINEX loss functions[J]. Chin.Quart.J. of Math, 2012, 27(3):397-402.

[6] 李新鵬,努爾古麗·艾力,吳黎軍. LINEX損失函數下具有時間變化效應的信度模型[J].重慶理工大學學報：自然科學版,2014,28(6):135-138.

[7] 溫利,鄭丹,章溢. 具有時間變化效應的信度模型[J]. 江西師范大學學報:自然科學版, 2012,36(3): 249-252.

[8] Yeo K L, Valdez E A. Claim dependence with common effects in credibility models[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2006, 38: 609-629.

[9] Wen L M, Wu X Y, Zhou X. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44: 19-25.

[10] Huang W Z, Wu X Y. The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2012, 28(2):203-216.

[11] Rao R, Toutenburg H. Linear Models[M]. New York: Springer, 1995.

(編輯：姚佳良)

Credibility models with risks dependence structure under LINEX loss function

LI Xin-peng1， TUREHAN Dena1， TENG Ye2， WU Li-jun3

(1.College of Mathematics and Physics, Xinjiang Agriculture University, Urumqi 830052, China;

2. College of Sciences, Shihezi University， Shihezi 832000, China;

3．College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Abstract:In classical credibility theory, the actuary uses squared-error loss function to estimate premium, but it can lead to very high penalties which affects the competitive strength of insurance market. On the other hand, classical credibility theory assumes that the claim amounts of every insurance policy in a portfolio are independent, however, the claim amounts of every insurance policy are risks dependent. Wen et al.(2012)studied the credibility model with time changeable effects among the claim amounts of one insurance policy and obtained credibility premium, this risks dependence structure was generalized to the claim amounts of every insurance policy. The Bühlmann-Straub model was considered with risks dependence structure among every insurance policy under LINEX loss function and the credibility premium formula which generalized the classical credibility model is obtained.

Key words:credibility models; LINEX loss function; risks dependence structure

中圖分類號：O211.2

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2015)04-0011-05

作者簡介：李新鵬,男, news20060801015@126.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11361058)

收稿日期：2014-10-03