靜電場和靜磁場的對稱性和不變性分析

秦哲　胡艷敏

摘要：在電磁學(xué)中，求解電荷或電流分布對應(yīng)的靜電場或者靜磁場問題時，根據(jù)分布的對稱性和不變性分析，總結(jié)靜電場和靜磁場的方向以及與空間變量的關(guān)系規(guī)律，同時將對稱性和不變性分析貫穿整個包含有場分布的物理模型中，拓展學(xué)生的解題思路，也是對物理教學(xué)內(nèi)容的補充。

關(guān)鍵詞：對稱性；不變性；靜電場；靜磁場

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）48-0137-02

對稱性和不變性是物理學(xué)的重要領(lǐng)域。物理學(xué)家不可能先驗地知道我們這個世界涉及到的所有不變性和對稱性，或已確定了不變性和對稱性又不能完全確定物理量的形式。在電磁學(xué)中，對稱性和不變性分析用于判斷電磁場的方向以及確定電磁場與變量的關(guān)系，在分析解決具有一定對稱性分布的電荷產(chǎn)生的電場或具有對稱性分布的電流產(chǎn)生的磁場等物理問題時，引入物理定律或定理前如果能夠初步判斷各物理量的方向和空間變量的關(guān)系，可使問題的求解大大簡化。目前國內(nèi)大學(xué)物理教材，不論是在專業(yè)電磁學(xué)教材[1]還是普通物理教材[2]中，在利用高斯定理或者安環(huán)環(huán)路定理求解靜電場或靜磁場時，對電場或磁場的對稱性和不變性分析較少，在得出結(jié)果時往往是默認物理量的對稱性和不變性。比如在求點電荷的空間電場分布時，一般會利用高斯定理，選取合適的曲面積分，直接得出點電荷在空間電場強度的矢量表達式。對于場強方向的給出有些生硬，場強與空間變量關(guān)系的確定也是從結(jié)果的表達式來說明的，說服力不夠。所以，在教學(xué)過程中，如果預(yù)先對點電荷分布的對稱性和不變性進行分析和講解，得出場強的方向和場強與空間變量的關(guān)系，再應(yīng)用高斯定理得出場強的表達式，學(xué)生接受起來會更順其自然。

筆者在長期從事中法合作辦學(xué)機構(gòu)，中國民航大學(xué)中歐航空工程師學(xué)院預(yù)科物理教學(xué)中，尋找中法物理教學(xué)的區(qū)別，探索符合中歐學(xué)院本科生普通物理學(xué)教學(xué)的方法，對國內(nèi)物理教學(xué)也具有一定的參考價值。對于電磁學(xué)中靜電場和靜磁場的問題，法國物理教學(xué)過程注重電荷或電流分布的對稱性和不變性分析，找出靜電場和靜磁場分布的規(guī)律。通過平移或旋轉(zhuǎn)不變性研究場強與空間變量的關(guān)系；通過分析電荷或者電流分布的對稱面和反對稱面，找出對稱面或反對稱面上點的場強的方向，或者面外的一對對稱點場強的對稱關(guān)系。本文通過類比的方法總結(jié)了電荷和電流具有不變性和對稱性分布情況下的靜電場和靜磁場。

一、靜電場的不變性和對稱性分析

（一）靜電場分布的不變性

如果帶電體的電荷分布沿著某個方向具有平移不變性，電場強度即與此方向上的變量無關(guān)。例如無限大的帶電平面周圍的場強，沿著平面方向移動具有平移不變性，因此帶點平面周圍的電場強度就與這個方向的變量無關(guān)。如果帶電體的電荷分布沿著某一個對稱軸旋轉(zhuǎn)具有旋轉(zhuǎn)不變性，電場強度即與此旋轉(zhuǎn)方向變量無關(guān)。例如一個無限長帶電圓柱體，繞著中心軸旋轉(zhuǎn)具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此周圍的電場強度與旋轉(zhuǎn)變量無關(guān)。另外，電場強度沿著中心軸的方向具有平移不變性，電場強度也與此方向的平移變量無關(guān)。如果建立坐標系，根據(jù)不變性可以判斷電場強度與坐標系中具體某些空間變量的相關(guān)性。

（二）靜電場分布的對稱性

1.研究的點在對稱面或者反對稱面上。如果能找到電荷分布的對稱面，記為Π，即電荷分布關(guān)于Π對稱，在這個對稱面上的點M的電場強度■（M）∈Π；如果能找到電荷分布的反對稱面，記為Π′，即電荷分布關(guān)于Π′反對稱，在這個反對稱面上的點M的電場強度■（M）⊥Π′。例如兩個距離為2a的一對正點電荷，垂直于兩點連線且過連線中點的平面為此電荷分布的對稱面，由此規(guī)律可以得知，對稱面上的任何一點的電場強度的方向都平行于此對稱面。如果是距離為2a的一對電荷，如圖1所示，電量一正一負，那么垂直于兩點連線且過連線中點的平面為此電荷分布的反對稱面，反對稱面上的任意一點的電場強度的方向都垂直于此對稱面。

2.研究的點在對稱面或者反對稱面外。如果能找到電荷分布的對稱面，記為Π，即電荷分布關(guān)于Π對稱，在這個對稱面外且關(guān)于對稱的兩點M和M′的電場強度和大小相等，方向關(guān)于Π鏡面對稱；如果能找電荷分布的反對稱面，記為Π′，即電荷分布關(guān)于Π′反對稱，在這個反對稱面外且關(guān)于對稱的兩點M和M′的電場強度和大小相等，方向關(guān)于Π′反鏡面對稱。例如圖2所示的電偶極子對應(yīng)的電場分布，關(guān)于對稱面對稱的兩點M和M′的電場強度和大小相等，方向關(guān)于鏡面對稱。

二、靜磁場的不變性和對稱性分析

對于靜磁場的不變性和靜電場的結(jié)論類似，對稱性分析結(jié)論和靜電場卻剛好相反。

（一）靜磁場分布的不變性

如果帶電體的電流分布沿著某個方向具有平移不變性，磁場強度即與此方向上的變量無關(guān)。例如無限長的圓柱體導(dǎo)體模型通以一定電流，電流分布具有沿著圓柱體軸向移動具有平移不變性，因此圓柱體周圍的磁場強度就與這個軸向變量無關(guān)。如果帶電體的電流分布沿著某一個對稱軸旋轉(zhuǎn)具有旋轉(zhuǎn)不變性，則磁場強度即與此旋轉(zhuǎn)方向變量無關(guān)。同樣是無限長的圓柱體導(dǎo)體模型通以一定電流，電流分布具有繞著中心軸旋轉(zhuǎn)具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此周圍的磁場強度與旋轉(zhuǎn)變量無關(guān)。這類模型電流分布比較特殊，所以利用不變性很容易分析出磁場強度與變量之間的關(guān)系。如果電流的分布比較復(fù)雜的話，此結(jié)論不再適用。

（二）靜磁場分布的對稱性

1.研究的點在對稱面或者反對稱面上。如果能找到電流分布的對稱面，記為Π，即電流分布關(guān)于Π對稱，在這個對稱面上的點M的磁場強度■（M）⊥Π；如果能找到電流分布的反對稱面，記為Π′，即電流分布關(guān)于Π′反對稱，在這個反對稱面上的點M的磁場強度■（M）∈Π′。如圖3所示，一環(huán)形圓柱體導(dǎo)體模型通以一定電流，包含有此圓環(huán)的平面為此電流分布的對稱面。由此規(guī)律得知，對稱面上所有點的磁場強度的方向都垂直于此對稱面。如果一個平面過圓環(huán)的中心軸，那么此平面為此電流分布的反對稱面，反對稱面上所有點的磁場強度的方向都平行于此對稱面。

2.研究的點在對稱面或者反對稱面外。如果能找到電流分布的對稱面，記為Π，即電流分布關(guān)于Π對稱，在這個對稱面外且關(guān)于對稱的兩點M和M′的磁場強度和大小相等，方向關(guān)于Π反鏡面對稱；如果能找到電流分布的反對稱面，記為Π′，即電流分布關(guān)于Π′反對稱，在這個反對稱面外且關(guān)于對稱的兩點M和M′的磁場強度和大小相等，方向關(guān)于Π′鏡面對稱。

本文針對具有不變性和對稱性分布的電荷或電流模型，分析和總結(jié)靜電磁場的方向與空間變量之間的初步關(guān)系。對于分析電勢和磁勢的對稱性、不變性以及靜電場和靜磁場的結(jié)論是相對應(yīng)的。另外，在對本科生的教學(xué)中，不光是電磁場，凡是具有對稱性和不變性的分布模型，都可使用對稱性和不變性分析判斷物理量的方向以及與空間變量的關(guān)系。在整個相關(guān)物理教學(xué)過程中，提高學(xué)生的物理素養(yǎng)，拓展學(xué)生的發(fā)散思維。

參考文獻：

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)第三版（上）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]程守洙，江之永.普通物理學(xué)第五版（2）[M].北京：高等教育出版社，1961.