從共形映射角度看Schwarz引理

龍品紅

摘要：歐氏度量是解析函數滿足Schwarz引理的關鍵，本文我們首先介紹了Schwarz引理和共形映射，然后介紹了Schwarz引理的一些推廣形式，最后指出該引理也適用于在共性映射下保持不變性的幾何度量。

關鍵詞：共形映射；解析函數；Schwarz引理

中圖分類號：O174.5 文獻標志碼：C 文章編號：1674-9324（2015）48-0169-02

一、引言

Schwarz引理是復分析中最基本的定理之一，在解析函數論、幾何函數論、多元復分析或多復變函數論中應用廣泛。Schwarz引理源于施瓦茨（H. A. Schwarz）利用共形變換研究黎曼映射定理等特殊結果時得到的范數不等式，關于Schwarz引理的研究有很多方面，主要涉及利用共形變換推廣其形式及應用。本文首先介紹了在單位圓盤上的Schwarz引理和共形映射，然后根據歐氏度量在共性映照下的不變性，我們介紹了兩個Schwarz引理的相應推廣形式，并且指出在共形映照下保持不變性的幾何度量能夠滿足相應的Schwarz引理。

三、共形映射

共形映射又稱保角映射，是復變函數論的分支，它是從幾何的觀點來研究復變函數。下面將給出共形映射的定義。

定理3.1[4]，若f（z）是區域G到區域D上的解析保角的拓撲映照，則則f（z）稱為G到區域D上的共形映射或者保形變換。

解析函數f（z）在導數不為零的解析點處是保角的，注意到拓撲映照是一一對應的映射，并且其與逆映射都是連續的，顯然共形映射是雙解析（全純）函數，至關重要的是逆映射是自動解析的。若f（z）是保角的，則f（z）為單葉解析函數，故函數單葉解析與共形映射是等價概念。

定理3.3，共形等價有助于我們考慮比單位圓盤更廣泛的幾何區域，能夠保證Schwarz引理的推廣成為可能。

四、在共形映射下Schwarz引理的推廣

將研究區域由單位圓盤推廣到以原點為圓心、半徑為任意長r的同心圓盤，通過自共形映射可以得到Schwarz引理的最常見推廣形式。

其中α是一實數，我們也可以把z和w兩平面上的單位圓盤看作z平面上的同一單位圓盤B（0，1），于是（4.2）可看作把B（0，1）中點z映射成B（0，1）中點w，而B（0，1）整體保持不變的分式線性映射。如果讓z及α變動，全部（4.2）型分式線性映射可以構成一個群G。如果在B（0，1）內建立一種非歐幾何，即把B（0，1）看成一種非歐平面的像，那么在B（0，1）內任意兩點間定義非歐距離在群G中的映射下保持不變。

定理4.4[3，6]，事實上非歐度量（距離、長度、面積）、偽距離和超雙曲度量在共形映射下性質保持不變，我們可以得到對應的更一般Schwarz引理，例如Poincare度量。另外，在多復變函數論中Bergman度量、Caratheodory度量和Kobayashi度量在共形映射下也有類似的Schwarz引理的定理。需要指出的關鍵是，中國數學家陸啟鏗院士在把Schwarz引理從單復變推廣到多復變領域。

參考文獻：

[1]E. M. Stein and R. Shakarchi. Complex analysis[M]. Princeton University Press，Princeton and Oxford，2003.

[2]余家榮，路見可.復變函數專題選講[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]張南岳，陳懷惠.復變函數論選講[M].北京大學出版社，1995.

[4]鄭建華.復變函數[M].北京：清華大學出版社，2005.

[5]黃華平.Schwarz引理的推廣及其應用[J].大學數學，2014，30（6）：12-16.

[6]Б.B.沙巴特.多復變函數論[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.