關注學習過程 提升數學思維水平

沈建偉

在小學數學中的統計與概率這一領域，平均數、中位數、眾數是小學階段學習的三個統計量，其中以平均數應用最為廣泛，它也是學生將來學習其他兩種統計量的基礎。

一、立足生活，緊扣學習起點，巧妙地引出“平均數”的名稱和用途

【教學環節一】從比較投籃比賽的勝負問題中自然引出“平均數”。

師：小朋友們對投籃有興趣嗎？

生：有。

師：現在有兩隊進行投籃比賽，比賽結束后，他們爭論不休，都認為自己贏了。這是兩隊比賽結果的統計圖（如下圖）。

引導學生審題后，師：男隊說他們投的總數多，所以他們贏，女隊說他們隊的佳佳投中的最多，所以她們贏，同學們，你們覺得呢？

生1：我認為男生說的沒道理，因為他們人數比女生多，比較總數投了幾個是不公平的。

生2：我認為他們是一個隊和另一個隊比賽，不能只看其中一個人投的個數來決定的，所以我覺得女生說的是沒道理的。

師：對呀！他們不是個人比賽，而是團體比賽，但總人數又不同，用什么可以代表男隊的整體水平呢？用什么可以代表女隊的整體水平呢？

生：用平均數。

師：平均數是什么樣的數呢？你們聽說過嗎？

多數學生表示聽說過。

師：那你們知道生活中哪些地方用到平均數嗎？

生1：三年級平均每班有45人。

生2：期末考試的平均分是91分。

生3：周三中午平均每人分到6個桂圓。

師：是啊，生活中確實經常要用到平均數，出示如下信息：

生活中的平均數：

1.三（2）班學生的平均體重是25千克。

2.小紅家平均每月用水5噸。

3.快速火車的平均速度是每小時350千米。

4.期中考試的班級平均分是92分。

……

在這個環節中，先從學生熟悉的投籃比賽開始，給出一個判斷誰輸誰贏的問題，馬上激起學生熱烈的討論，在討論中學生發現了不論是說男隊贏還是女隊贏都有不合理之處，教師順勢引導學生從單純的比單人個數或集體總數的比較到比較兩隊的整體實力，給學生指出了一個思維的方向，即用什么來代表男隊的整體水平呢？用什么來表示女隊的整體水平呢？于是“平均數”呼之欲出。

二、解決問題，突出學習路徑，多層次地理解“平均數”的意義和性質

理解平均數的意義和了解平均數的性質，是平均數教學的重難點，在實踐教學中往往過于注重通過用什么方法求得一組數據的平均數這一手段來促使學生對平均數概念的理解，而容易忽視讓學生去探究一組數據的平均數究竟和什么有關，是和各個數據的總數有關呢？還是和單個數據有關？和數據個數的多少有關系嗎？如果教師不引導學生往這些方面去思考，則很少有學生會主動去思考這些問題，導致學生對平均數的意義和性質的理解過于膚淺，對將來運用“平均數”這個統計量時產生偏頗。只有經歷了從直觀到抽象、從感性到理性的認識過程，找到了數據的變化和平均數的變化的相關性，才能真正認識到平均數的本質特點，提高學生的思維水平。

【教學環節二】從求“平均數”的方法中初步理解“平均數”。

師：那么你們覺得平均數應該是一個怎樣的數呢？

生1：不大不小的數。

生2：中間的數。

生3：很均勻的數，大家一樣多。

師：你們說得都很好，第一位小朋友說是不大不小的數，是什么意思呢？

生1：就是比大的那個數小一點，比小的那個數大一點。

師：那么怎樣知道這個不大不小的，大家一樣多的數呢？你們有沒有辦法求出男生隊的平均數呢？女生隊呢？

多數學生覺得可以。學生思考后回答。

師生交流中，得到如下兩種方法：

①移多補少。

②總數÷份數。

基于生活經驗，學生對平均數已有一定的認識，但還是粗糙的、孤立的一個結果性的感性認識。教學中通過演示課件，使學生經歷移多補少的過程并直觀地認識到平均數的性質之一是處于這組數據的最大數和最小數之間，發現平均數不一定就是這組數據中的某一個數，而是當各數據按移多補少使得每個數據相同的規則重新分配后得到的一個新的數。在此基礎上來討論計算的方法，使“總數÷份數=平均數”這個計算平均數的數量關系式得到直觀的支撐，便于學生理解為什么平均數可以用總數除以份數的方法求得，并有別于“總數÷份數=每份數”這個已有的認識。

【教學環節三】從數據的變化中深入理解“平均數”。

師：女生隊的平均數是5個，如果“小華”沒有參加的話，你認為女生隊的平均數會有變化嗎？會怎么變？

生：會的，平均數會變大。

師：為什么？為什么少了一個人，平均數反而變大了？

生：因為女生中小華投的個數最少，需要補給她3個才和大家一樣多，但如果她不參加的話，那佳佳的3個可以補給小麗和小雨，每個人的個數就多了。

師：是這樣嗎？

學生表示贊同。通過課件演示，展示移多補少的過程，并列式為：（5+7+9）÷3=7（個）

師：那么，如果“小華”仍舊參加，而“佳佳”沒有參加呢，女生隊的平均數又會怎樣呢？

生：平均數會變小，因為佳佳投得最多，她如果不參加的話，女生隊很吃虧，總成績肯定會變差的。

師：你說的總成績變差是指他們投中的總個數少了嗎？

生：不是總個數，是她們隊的平均數少了。

師：那為什么平均數就會少了呢？

生：因為她會把多余的個數分給別人，如果她不參加，小華和小雨就達不到6個了。

通過課件演示，展示移多補少的過程，并列式為：（7+3+5）÷3=5（個）

師：從剛才的兩個事情中，你覺得平均數的大小是由什么決定的呢？

生：平均數的大小是由投的最多的和最少的個數決定的。因為去掉了最大的數，平均數就變小了，去掉了最小的數，平均數就變大了。

師：他說的有道理嗎？有不同的想法嗎？

生：我覺得除了最大數和最小數以外，其他的數如果改變的話，平均數也要變化的。

師：比如說……

生：如果小雨再多幾個的話，他們本來已經分好了6個，那小雨多幾個的話又可以分到每個人那里了，就比6個多了。

師：他說的有道理嗎？

學生同意。

師：也就是說，平均數和這些數據中的每個數都是有聯系的，每個數的變化都會影響平均數的大小。

師：同學們，如果告訴你男生隊有一個人沒參加，但他們的平均數還是5個，你相信嗎？

生1：不相信，因為平均數是要變化的。

生2：可以的，如果小星沒參加的話，平均數是不變的，因為他本來就是5個，不用分給別人，也不用從別人那里加過來。

生3：丁丁也可以的。

師：這又是什么原因呢？這一次數據的變化為什么沒有影響平均數呢？

生：因為他們和平均數是一樣的。

在經歷了如此的數據變化，學生體會到平均數不是一個孤立的數，而是由一組數據中每個數的大小來決定的，真正認識到平均數代表的是一組數據的一個整體水平，理解平均數作為一個統計量的意義所在。在這個學習過程中，教師先通過對一組數據中個別數據的改變，引導學生發現一個數據的變化，導致了這組數據平均數的變化，進而再通過巧妙的提問使學生發現和平均數相等數據和平均數的關系。聰明的學生也許還會想到和平均數相差越大的數對平均數影響越大，與平均數越接近的數對平均數影響越小。移多補少的數學方法在幫助學生理解平均數的性質上起到了支撐學生思維的良好作用，以它直觀的表象促使學生發現一組數據內在的關聯，使學生的思維從外在的形象思維逐漸地轉換到內在的抽象思維，在思維水平上提升到了一個新的高度。

三、多元練習，培養判斷能力，形成求平均數的技能

【教學環節四】快速地說出下列每組數據的平均數：

①7、8、9 ②88、90 ③9、0、21 ④10、20、30、20

⑤75、80、85 ⑥13、7、40 ⑦10、64、16

在平均數教學中，理解平均數的意義和性質固然重要，同時準確地求得某組數據的平均數的能力也是必不可少的。那么，如何避免在求平均數的練習中產生枯燥感和機械性，如何在求得平均數的過程中獲得數學思維能力的提升，感受數學方法的靈活性。這是提高課堂有效性和提高學生學習興趣所必須思考的問題。從前面的學習中，學生掌握了“移多補少”和“總數÷份數=每份數”兩種方法去求得一組數據的平均數。但當真正面對一組數據時，學生會怎想呢？他會優先考慮哪種方法呢？如何引導學生去思考運用哪種方法呢？筆者通過巧妙的習題設計，數據從特殊到一般，讓學生在“速算比賽”這樣的有一定壓力和容易興奮的思維狀態下，自覺地取舍兩種不同的方法，教師適時地進行點撥和反問，使學生能在較短時間內從數據的特征上發現求平均數的適當方法。通過這樣的練習，不僅對平均數的意義和性質有一定的強化作用，而且也訓練了求平均數的技能，更重要的是學生在從看到數據到得到答案的過程中，他的觀察能力、判斷能力得到了良好的培養，提高思維的具體化和系統化能力。

【教學環節五】如下表，302班期末測試，班級平均分是89分，小明是其中一名同學，他會是幾號呢？

生1：11號。

生2：17號、21號都是89分，也有可能。

師：你們同意嗎？還有別的可能嗎？一定是89分嗎？

生：我覺得不一定要89分，其他的也可以。

師：為什么？

生：因為平均數是89分，小明不是89分，平均數也可以是89分的。

師：那你覺得在這里這個平均數89分應該用什么方法求出來呢？

生：用全班的總分除以30就可以求出來。

師：好。[課件演示2670÷30=89（分）]電腦幫我們算出總分是2670分，為什么小明不是89分也可以，他是其他的分數，平均數會改變嗎？

生：不會，因為總分沒變。

師：哦，原來是這樣，總分不變，這組數據的平均數就不會變。那反過來這樣想對不對：一組數據的平均數是89，但數據中可以有比89大的數，也可以有比89小的數？

生：對。

在前面的學習中，學生通過對一組數據的觀察分析，理解了平均數的意義和性質，如果用符號“▲”來表示這組數據，用符號“■”表示這組數據的平均數的話，學生的思考順序可以表示為“▲→■”，那么在這個習題中，學生首先知道的是一組數據的平均數，而后要他推導出其中某個數據，這個思考順序應該為“■→▲”，而且這個數據并不是確定的，而是可以使不大于100的任何自然數。這樣的思維訓練在數學教學中是經常要用到的，這種思維的方式可以幫助學生解決很多數學推理問題。這樣既可以鍛煉學生思維的嚴密性，還可以培養思維的發散性。在解決實際問題時，學生還會碰到類似“小河的平均水深1.3米，淘氣身高1.5米，他能安全的過河嗎？”之類的問題。其實是可以回歸到以上問題中去的，平均分89分相對于平均水深，而每個同學的得分相對于小河不同位置的水深，這些位置的水深是不確定的，可能比1.5米還深。通過這樣的比較和解釋，學生自然能夠理解過河的實際問題了。

參考文獻：

鄒敏.“平均數”兩次教學實踐對比與反思[J].小學教學設計，2010（17）.

？誗編輯 溫雪蓮