籃球罰球技術中“拋體運動方程”應用研究

李 鐵，賀 麗

籃球罰球技術中“拋體運動方程”應用研究

李 鐵，賀 麗

在籃球比賽中，決定籃球比賽勝負的是投籃得分的多少。隊友之間的密切配合、戰略戰術的制定、球員的個人能力都是投籃得分的決定因素。在這其中，罰球則主要依靠球員個人能力，根據自己的身高選擇一個合適的出手速度和角度，是可以保證百分之百的罰球命中率的。在運動學中，質點運動是最簡單的一類。一般來說，如果物體大小和形狀的變化對物體運動的影響可以忽略時，可以把物體視為一個質點來處理。質點是一個理想模型，但在很多實際情況中，是可以把很多實際物體視為質點的。例如籃球運動中，只考慮籃球的平動忽略其轉動，則可以將籃球視為質點。只要找出各種具體質點運動所遵循的運動方程，就可以得到質點在任意時刻t的運動狀態。本文將建立一個籃球運動模型，求解出其運動方程，并針對不同身高的球員給出一個合理的出手速度V0和角度 θ范圍，及最佳出手速度V0b和 θb角度。

1 建立模型

在國際標準中，籃框的H=3.05m，籃筐中心與罰球者的L=4.225m，籃框的R=0.225m，籃球的r=0.123m。

以投球者所在地面為坐標原點，建立直角坐標系oxyz，則籃框中心的坐標為（0，L，H），如圖1所示。其中，h為籃球的出手高度，V0為籃球出手速度，V0的正方向與Z軸正向夾角為出手角度θ。

圖1 投籃示意圖

現在考慮一個簡單的情況，忽略空氣阻力，考慮籃球在空中做的是平動的情況，即忽略其繞質心的轉動，則籃球在空中的運動可用其質心的運動來描述，即把籃球的運動視為為質點運動。假定籃球的出手速度在x、y、z方向的分量分別為Vx0、Vy0、Vz0；籃球在空中做拋物線運動，在直角坐標系下，其速度和運動方程分別為：

考慮到初始條件t=0，x0=0，y0=0，z0=h，運動方程可改寫為：

在以下的討論中，我們只考慮正向投籃，出手速度v0的正方向與z軸正向夾角為θ，vx0=0，vy0=v0sinθ，vz0=v0cosθ，其運動方程

當籃球投入到籃筐中時，球心（質心）坐標為（0，y1，h），時間t=t1，由（2）式可得：

為簡單起見，僅考慮籃球直接入筐的情況A，不考慮經籃板、籃圈反彈等復雜過程。在籃球運動過程中， t∈（0，t1）滿足下述條件時，可以保證籃球在運動過程中不會碰到籃圈反彈。

2 結果分析

由公式（4）、（6）、（7）、（8），當出手高度h給定時，就可以得到運動員在罰球時能夠投中籃框所需要的出手速度v0和出手角度θ。用Matlab計算出出手高度分別為1.8m、2.0m、2.2m、 2.4m時，能投中籃框的v0、θ值（見圖2）。陰影區域即為在出手高度h一定的情況下，能投籃得分的出手速度v0和出手角度θ的區域。若該區域所包含的所有（v0、θ）參數點的坐標集合即為Z，則投籃命中條件可由判斷函數F來描述。

圖2 陰影區域即為v0-θ參數空間中的投籃命中區域

通過計算，得到罰球時不同出手高度h對應的最小的出手速度V0min，以及最大出手角度θmax。即只有當出手速度V0> V0min，出手角度θ≤θmax時才能投中籃框。

表1 投中籃框的V0、θ值

表1可見，當出手高度分別為1.8m、2.0m、2.2m、2.4m時，能投中籃框的為V0、θ值，最佳出手速度V0b。為保證盡可能高的命中率，要計算出“最佳的”出手速度V0b，這里“最佳”的評判標準是指在投籃命中的前提下所允許的出手速度和角度的相對誤差最大。

圖3 容許速度誤差和容許角度誤差，陰影區域Z中各點對應的△值

左圖為容許速度誤差和容許角度誤差（△V0，△θ）（△V0，△θ）的定義；右圖為陰影區域Z中各點對應的△值。

通過計算，可以得到不同出手高度h下的最佳值（V0b，θb），見圖4。可以看到，最佳出手速度隨h的變化單調減小而最佳出手角度則單調增大。

圖4 不同出手高度h下的最佳值出手速度V0b和出手角度θb

3 結論

1）本文研究了罰球時的籃球拋體運動，在忽略空氣阻力及其繞質心的轉動的情況下，籃球在空中的運動可用其質心的運動來描述，即把籃球的運動視為質點運動。

2）通過建立模型，得到了罰球時籃球做拋體運動的運動方程，并得到了在出手高度h一定的情況下，投籃得分的出手速度V0和出手角度θ的區域Z，以及最小的出手速度V0min和最大出手角度θmax。

3）為保證盡可能高的命中率，還計算出了“最佳”出手速度V0b，即在罰球時以速度V0b、角度θb投出后，在投籃命中的前提下所允許的出手速度和角度的相對誤差最大。

［1］馬文蔚.物理學（上冊）［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］張三慧.力學［M］.北京:清華大學出版社，1999.

［3］MATLAB數學實驗與建模［M］.北京:清華大學出版社，2010.

［4］李江俊.拋體運動在實際問題中的應用研究［J］.和田師范專科學校學報，2012（31）.

Applied Research of the Projectile M otion Equation in Basketball Free Throw

LITie，HE Li

通過體育學、運動力學等學科知識，從拋體運動方程出發，忽略空氣阻力及其繞質心的轉動的情況下，針對不同身高的籃球運球員給出一個合理的出手速度和角度范圍。研究發現：1）在忽略空氣阻力及其繞質心的轉動的情況下，籃球在空中的運動可用其質心的運動來描述，即把籃球的運動視為為質點運動；2）在出手高度h一定的情況下，能投籃得分的出手速度v0和出手角度θ的區域Z，以及最小的出手速度v0min和最大出手角度θmax；3）罰球時以速度v0b、角度θb投出后，在投籃命中的前提下所允許的出手速度和角度的相對誤差最大。

籃球罰球；出手速度；出手角度；身高；拋體運動

The study focuses on advising the basketball p layers on a reasonable release speed and angle range according to their heights at free throws.The suggestion is given by applying“the projectilemotion equation”，ignoring air resistance and its rotation about themass center.The study finally concludes that:first，without consideration of the air resistance and its rotation about themass center，the basketballmovement in the air can be described by the movement of its mass center；second，with a definite release height h，a player scores onlywhen the domains Z between the release speed v0and the release angleθ；thrid，when a free throw is made at the speed v0band angleθb，on the premise that it scores，the relative error between the casting speed and the angle is to themaximum.

basketball free throw；shot speed；angle；height；the projectilemotion

G841

A

1003-983X（2015）07-0612-03

2015-03-16

李 鐵（1980-），男，江蘇徐州人，碩士，講師，研究方

向：體育人文社會學、體育運動訓練學研究.

江蘇科技大學公共教育學院體育教研室，江蘇張家港215600 Jiangsu University of Science and Technology，Physical Education Department of Public Education College， Zhangjiagang Jiangsu，215600