噪聲強度對空間公共物品博弈的影響

牛亞蘭，趙 明

（1.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，桂林541004；2.柳州師范高等專科學(xué)校圖書館，廣西 來賓546100）

自然或社會系統(tǒng)中廣泛存在著合作與競爭行為，博弈理論能夠很好地描述與解釋這些現(xiàn)象。在之前的研究中，為了方便人們通常假設(shè)個體以均勻混合的方式進(jìn)行聯(lián)系，即所有個體全部相互接觸或者個體之間隨機接觸，但在現(xiàn)實中，個體之間的聯(lián)系并非如此，個體往往是只與其有限的特定鄰居相聯(lián)系。最早研究這個問題的是Nowak和May，1992年他們將博弈個體放置在具有空間結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)上并讓所有個體只與其鄰居進(jìn)行囚徒困境博弈［1］，在這樣的系統(tǒng)中合作者與背叛者能夠很好地共存，在特殊的初始條件下甚至可以產(chǎn)生類似于混沌的時空斑圖，由此開始了空間演化博弈的研究。在隨后的二十幾年內(nèi)這一研究方向吸引了許多生物學(xué)家、物理學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家、社會科學(xué)者，各種空間博弈理論逐步被提出，空間演化博弈的研究取得了豐碩的成果［2－16］。在早期的博弈研究中個體往往被假設(shè)是完全理性的，這顯然與現(xiàn)實不相符，因為在經(jīng)濟系統(tǒng)中非理性因素是普遍存在的，它的作用類似于噪聲對系統(tǒng)的影響。為了描述這一現(xiàn)象，1998年物理學(xué)家Szabó和T?ke將二維平面格子中的伊辛模型和費米動力學(xué)引入到囚徒困境博弈［4］，作者在學(xué)習(xí)概率公式中巧妙加入了噪聲項，允許個體非理性的選擇是否改變原策略，這給博弈的研究帶來了一次質(zhì)的飛躍。到目前為止，研究最多的博弈模型是囚徒困境博弈和鏟雪堆博弈，但近年來多人參與的公共物品博弈模型也被廣泛關(guān)注，它能夠模擬真實的經(jīng)濟系統(tǒng)中個體或團隊的投資、合作與收益分配等現(xiàn)象，存在噪聲的情況下空間公共物品博弈合作行為的演化勢必會受到影響。過去人們只是定性討論了噪聲對系統(tǒng)的影響［4，8－12］，本文對噪聲強度對空間公共物品博弈的影響加以細(xì)致研究。模擬結(jié)果表明，噪聲對合作行為的出現(xiàn)起到了抑制作用，并且抑制作用的大小跟系統(tǒng)增益系數(shù)有關(guān)。另外，在噪聲強度較小時合作頻率隨增益系數(shù)的增大呈現(xiàn)階梯式上升，并且噪聲越小階梯越明顯；在噪聲強度很小（如κ＝0.001）即個體是非常理性的情況下，合作頻率隨增益系數(shù)的變化不再是連續(xù)增大而是出現(xiàn)分段現(xiàn)象，在臨界增益系數(shù)處合作頻率發(fā)生了突變。我們對合作頻率分段現(xiàn)象的原因進(jìn)行解釋。

1 模型介紹

我們采用的網(wǎng)絡(luò)模型是具有周期邊界條件的二維正方晶格網(wǎng)絡(luò)，每個節(jié)點均有4個鄰居節(jié)點，節(jié)點代表博弈個體，邊表示個體與其鄰居的博弈關(guān)系。類似經(jīng)典公共物品博弈實驗［17］，假設(shè)有一個公共的基金，每個個體獨立并且同時決定選擇投資（合作）或者不投資（背叛）到這個基金中，合作者每次均投資c單位的貨幣，背叛者投資為零，所投進(jìn)的總資金將以r的倍數(shù)增值（r為增益系數(shù)，r＞1），然后平分給所有個體。公共物品博弈模型的定義有多種形式，例如，個體只參與自身及其鄰居組成的群體博弈，即單群體博弈［18］；另外，個體同時參與多個群體的博弈，每個個體持有固定的資金c，合作者的資金c平分到所參與的群體中，即多群體博弈［19－20］；還有一種形式是個體雖然參與多個群體，但每參與一個群體就投入c單位的資本，這是介于以上兩種形式之間的另一種公共物品博弈模型。現(xiàn)在我們研究的是最后一種形式，在我們的模型中，個體和其最近鄰進(jìn)行公共物品博弈，每個個體同時參加以自己為中心和以其鄰居為中心的群體博弈，為研究方便假設(shè)合作者每參與一個群體投入1單位的資本，每個群體增值后的總資金將平分給參與這個群體的所有個體，平分到的資金減去自身投資的金額為個體的凈利潤，稱為收益。初始狀態(tài)是合作者與背叛者均勻混合分布在這個網(wǎng)絡(luò)中，每個個體以相等的概率選擇合作或背叛策略。個體x參與一個群體博弈所得收益為

其中，nc與nd分別為這個群體中選擇合作和背叛的個體數(shù)，s（x）為個體x的投資金額。每一時步個體x所得收益為參與5個群體所得收益和，用P（x）表示。

采取同步更新策略的方法，個體根據(jù)費米更新規(guī)則調(diào)整自己的策略，個體x隨機等概率地選擇一個鄰居個體y并以一定概率學(xué)習(xí)其策略，學(xué)習(xí)概率為

其中，P（x）和P（y）分別為x和y兩參與者在上一時步所得的收益，κ為噪聲強度。在噪聲強度很小（κ→0）的情況下，當(dāng)P（y）＞P（x）時學(xué)習(xí)概率為1，當(dāng)P（y）≤P（x）時學(xué)習(xí)概率為0，意味著個體一定向比自己收益高的個體學(xué)習(xí)；當(dāng)噪聲強度取大于零的某一值時，即使所選鄰居收益比自身收益小仍有一定的概率學(xué)習(xí)其策略，這表示了個體的非理性行為，并且κ越大個體越不理性。

2 數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析

本文采用蒙特卡洛方法進(jìn)行數(shù)值模擬，考察在不同的增益系數(shù)下噪聲強度對合作行為的影響，另外還計算了不同噪聲強度值下合作頻率隨增益系數(shù)的變化情況。在模擬中，我們的結(jié)果都是通過讓系統(tǒng)演化2 000時步后取1 000步的數(shù)據(jù)，并且對50個不同初始合作者與背叛者分布狀態(tài)做了平均獲得的，經(jīng)驗證演化2 000時步系統(tǒng)已達(dá)到動態(tài)平衡。

圖1a給出了在不同的增益系數(shù)r下合作頻率ρc隨噪聲強度κ的變化關(guān)系，從圖可以看出：除了增益系數(shù)r過小（r＝3.5）或過大（r＝6.0）的情況，隨著噪聲強度κ的增加合作頻率ρc都存在一個降低的過程，這表明噪聲的存在會抑制合作，并且噪聲越大合作現(xiàn)象越稀少，此外這個抑制作用對不同的增益系數(shù)所產(chǎn)生的影響強度是不一樣的，增益系數(shù)越小，抑制作用越明顯。圖1b給出了在不同的噪聲強度κ下，合作頻率ρc隨增益系數(shù)r的變化關(guān)系，由圖可見：隨著增益系數(shù)的增加，合作頻率都會存在一個從零變大的突變過程，并且噪聲強度越大，合作涌現(xiàn)所需的臨界增益系數(shù)rc越大，即噪聲對合作的涌現(xiàn)起到抑制作用；當(dāng)噪聲強度比較大時，隨著增益系數(shù)的增加合作頻率曲線光滑上升，但當(dāng)噪聲強度比較小時曲線的上升出現(xiàn)了階梯形式，并且噪聲強度越小階梯形式越明顯，當(dāng)噪聲強度很小（如κ＝0.001）時，合作頻率曲線出現(xiàn)了分段現(xiàn)象，在每段中系統(tǒng)的合作頻率值近似相等，且分段個數(shù)等于節(jié)點的度。這個分段現(xiàn)象與王文旭等［7］提出的基于記憶的鏟雪堆博弈結(jié)果類似，即在某些增益系數(shù)r值附近合作頻率會從一個值突變到另一個值，作者通過局域穩(wěn)定性方法解釋了分段現(xiàn)象，我們在此基礎(chǔ)之上從合作團簇存亡的角度分析了合作頻率的分段現(xiàn)象并提出自己的見解。

圖1 空間公共物品博弈中，在不同的增益系數(shù)和噪聲強度下合作頻率的變化情況Fig.1 Changes of the frequency of cooperation with different multiplication factor and noise intensity in spatial public goods game

為了研究方便我們把噪聲強度很小（如κ＝0.001）的合作頻率隨增益系數(shù)變化的曲線單獨畫出來，如圖2所示。通過數(shù)值模擬，得出的3個臨界增益系數(shù)值分別為rc1≈3.58，rc2≈4.17，rc3≈5.0，被這3個臨界增益系數(shù)所分割的4段合作頻率曲線所對應(yīng)的合作合作率分別為ρc＝0.0，ρc1≈0.52，ρc2≈0.88，ρc3＝1.0。在每一段對應(yīng)的增益系數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)演化穩(wěn)定后合作者和背叛者分布的斑圖類似，圖3就給出了對應(yīng)于4段穩(wěn)定的合作率在演化穩(wěn)定后某一時步的斑圖快照。明顯地，這4個斑圖的面貌截然不同：在對應(yīng)于Ⅰ段的圖3a中所有的個體都采取背叛策略，而在對應(yīng)于Ⅳ段的圖3d中所有的個體都采用了合作策略，在對應(yīng)于Ⅱ段的圖3b中合作者形成團簇并且被背叛者包圍，而在對應(yīng)于Ⅲ段的圖3c中合作團簇連成片，在成片的合作者團簇中只有被擠壓成狹窄空間中的背叛者存在。

圖2 當(dāng)噪聲強度很小（如κ＝0.001）時，合作頻率隨增益系數(shù)的變化情況Fig.2 Changes of the frequency of cooperation with multiplication factor when the noise intensity is very small（e.g.κ＝0.001）

圖3 當(dāng)噪聲強度很小（如κ＝0.001）時，在不同增益系數(shù)下系統(tǒng)演化到2 000時步時的斑圖快照Fig.3 The spot pattern snapshots with different multiplication factor after 2000time step evolution when the noise intensity is very small（e.g.κ＝0.001）

我們所研究的空間公共物品博弈模型是以每個個體為中心與其鄰居構(gòu)成一個群體進(jìn)行一次博弈，所以個體會參與以它及其鄰居為中心的多次博弈，從而使得個體的收益受其鄰居及鄰居的鄰居的投資行為的共同影響，呈現(xiàn)群體交互的形式，為了更直觀地描述該博弈我們畫出了示意圖，如圖4所示。從圖4a中可以看出中心個體同時參與了5個群體博弈（分別是以自身為中心的群體和以它的4個鄰居為中心的群體），另外中心個體的鄰居以及其鄰居的鄰居的投資行為都會對中心個體的收益產(chǎn)生影響，但影響大小不同，在圖4b中，正方形框上的個體對中心個體收益貢獻(xiàn)兩次，因此被稱為中心個體的內(nèi)層鄰居，圓形框上的個體對中心個體收益貢獻(xiàn)一次因此被稱為中心個體的外層鄰居。

圖3以及之前的研究［1］都表明系統(tǒng)中的合作者是以團簇的形式存在的，要想使得合作團簇得以生存就要求合作團簇周圍的背叛者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡叩母怕什恍∮趫F簇邊沿合作者轉(zhuǎn)變?yōu)楸撑颜叩母怕剩瑥奈⒂^上看，一個合作團簇能否生存并向外擴張跟這個團簇邊沿上合作者的分布情況及增益系數(shù)大小息息相關(guān)，因為周圍背叛者要想成功學(xué)習(xí)其鄰居的合作行為的前提是其鄰居收益比自身收益大，而從式（1）中可以看出群體合作者數(shù)量及增益系數(shù)決定個體收益大小。想使背叛者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡撸敲幢撑颜咧辽僖幸粋€鄰居是合作者并且該合作者的收益要大于該背叛者的收益。注意到，對于噪聲強度為零的情況，只要所選鄰居的收益比自身收益大，就一定會學(xué)習(xí)鄰居的策略。下面我們仔細(xì)考察了一個背叛者x周圍只有一個合作者y的情況，考察合作者y的鄰居的策略對y的收益的影響，從而保證y的收益大于x的收益，進(jìn)而使得背叛者x轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡叩母鞣N可能情況。我們將臨界情況下背叛者x及合作者y的周圍的所有可能情況繪制在圖5，在該圖中圓圈區(qū)域為個體y參與的其中一個群體，該群體中合作者數(shù)量用nc表示，其取值分別為1，2，3，4。（因為我們討論的是臨界情況，此時對應(yīng)于x的內(nèi)層和外層鄰居中有且只有一個合作者鄰居，所以不能取0和5。）具體情況有圖5a～f共6種。

圖4 公共物品博弈微觀圖Fig.4 Microgram of the public goods game

圖5a中很明顯在x，y所參與的群體中只有一個合作者y，下一時步必將全部為背叛者；圖5b中有兩個合作者并都是對方的內(nèi)層鄰居，所以對彼此收益貢獻(xiàn)兩次，當(dāng)增益系數(shù)足夠大時合作者收益有可能比它的背叛者鄰居收益高，因此該合作團簇可能會生存下來并擴張；圖5c中也有兩個合作者，但兩者都是對方的外層鄰居，所以對彼此收益只貢獻(xiàn)一次，所以該合作團簇生存下來需要的臨界增益系數(shù)要比圖5b的大；圖5d中有3個合作者，對合作者y而言其余兩個均是其內(nèi)層鄰居，都對y的收益貢獻(xiàn)兩次，當(dāng)增益系數(shù)達(dá)到一定值時背叛者x會學(xué)習(xí)y的合作策略，從而使原合作團簇生存下來并擴張；圖5e中也有3個合作者，對合作者y來說一個合作者是其內(nèi)層鄰居，另一個是其外層鄰居，當(dāng)增益系數(shù)達(dá)到一定值時背叛者x也會學(xué)習(xí)y的合作策略，該合作團簇能夠生存下來并擴張，但臨界增益系數(shù)要比圖5d的大；圖5f中有4個合作者，使x變?yōu)楹献髡邔?yīng)的臨界增益系數(shù)應(yīng)該是最小的。綜上所述，下一時步個體x變?yōu)楹献髡叩目赡芮闆r有圖5b、圖5c、圖5d、圖5e、圖5f5種，并且改變的可能性從小到大的排序是圖5c、圖5b、圖5e、圖5d、圖5f。

圖5 背叛者x與合作者y以及他們所參與的群體中其他個體的示意圖Fig.5 Cooperators x，defectors yand the other individuals in the group they participate in

按前面博弈規(guī)則，合作者每參與一個群體投資1單位貨幣，背叛者不投資。對于圖5b～圖5f5種情況，要想使得背叛者x成功學(xué)習(xí)合作者y的策略，須保證個體x的收益小于y的收益，所以有不等式：

不等式左邊表示x的收益右邊表示y的收益。由這5個不等式分別得出增益系數(shù)r的取值范圍為r＞5.0，r＞25／4＝6.25，r＞25／7≈3.58，r＞25／6≈4.17，r＞25／8＝3.125，其值按大小排序與上述預(yù)測一致。下面我們分析對應(yīng)于圖5b～圖5f的這些臨界增益系數(shù)值是否為圖2的分段點：圖5b中兩個合作者都是對方的內(nèi)層鄰居，只要增益系數(shù)r達(dá)到5.0該合作團簇就會生存下來并向外擴張，實際上這種結(jié)構(gòu)是普遍存在于合作團簇中的，隨時間的演化最終所有的合作團簇會聚集在一起，使得系統(tǒng)中個體全部都變?yōu)楹献髡撸献髀蕿?，因此臨界增益系數(shù)5.0是圖2其中一個分段點；圖5c中計算得增益系數(shù)為6.25，而當(dāng)增益系數(shù)r達(dá)到5.0就全部為合作者了，r再繼續(xù)增大合作率仍為1，故6.25不是分段點；對于圖5d中這樣的合作團簇結(jié)構(gòu)當(dāng)增益系數(shù)大于3.58時，合作團簇才能向外擴張；對于圖5e中當(dāng)增益系數(shù)大于4.17時，合作團簇才能向外擴張；而圖5f中理論上只要增益系數(shù)達(dá)到3.125個體x就會變?yōu)楹献髡撸珗D5f中4個合作者分布在圓圈上，圓的中心是一個背叛者，即4個合作者包圍一個背叛者，該背叛者將獲得很高的收益，其周圍的合作者有很大的概率學(xué)習(xí)其策略，這終將導(dǎo)致原合作團簇分裂，原合作團簇不能生存。綜上所述，下一時步個體x可能變?yōu)楹献髡叩那闆r就只有圖5b、圖5d、圖5e3種情況，在這3種情況中，圖5d的結(jié)構(gòu)是最容易使背叛者x變?yōu)楹献髡叩模葱枰脑鲆嫦禂?shù)最小，約為3.58。當(dāng)r＜3.58時，對于圖5d的結(jié)構(gòu)都不能使背叛者x成功學(xué)習(xí)合作者y的策略，隨時間的演化導(dǎo)致整體沒有合作者幸存，合作率為0，故臨界增益系數(shù)25／7對應(yīng)于圖2其中一個分段點；r再繼續(xù)增大當(dāng)達(dá)到25／6時對于圖5e的合作團簇結(jié)構(gòu)也能生存，從而使得合作率突然增大，故25／6也是圖2其中一個分段點。綜上，理論分析得到圖2的3個增益系數(shù)的臨界點分別為25／7，25／6和5.0。

仿真結(jié)果rc1≈3.58，rc2≈4.17，rc3≈5.0與理論值吻合得很好。遺憾的是我們未能從理論上解釋圖2中Ⅱ，Ⅲ段合作頻率為什么分別為0.52和0.88。

3 結(jié)論

本文通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)噪聲強度對空間公共物品博弈合作行為的出現(xiàn)起到了抑制作用，而且在增益系數(shù)較小時抑制作用比較明顯。另外我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)噪聲強度很小（如κ＝0.001）時，合作頻率隨增益系數(shù)的變化出現(xiàn)分段現(xiàn)象，我們通過理論分析并計算得到臨界增益系數(shù)，仿真結(jié)果與理論值吻合得很好。

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