基于延遲決策的航空公司動態(tài)價格競爭復雜性

胡 榮，李天睿，張 君，江 超

（南京航空航天大學民航學院，南京210016）

0 引言

航空運輸市場是典型的寡頭壟斷市場，航空公司在市場價格競爭過程中存在著明顯的決策信息交互作用：航空公司在制定定價策略時，不僅要考慮策略對自身的影響，還要考慮到競爭對手對自身定價策略的態(tài)度和反應。因此，博弈論成了此類問題的有效分析工具。

由于定價問題涉及到航空公司的核心利益，很多學者已嘗試運用博弈論來分析航空公司的市場價格競爭行為，主要沿著兩條主線展開：一是以收益管理理論為基礎開展分析。文獻［1］在第六屆INFORMS收益管理和定價年會上，提出了非零和的和非合作的隨機博弈和微分博弈的動態(tài)定價模型，并證明了納什均衡解的存在性和唯一性；文獻［2］構建了市場中包含兩家航空公司，采取兩種定價水平的博弈模型，分析了中國航空公司收益管理效果不明顯的影響因素；文獻［3］通過引入社會福利函數(shù)和航空公司載運率因子，運用次優(yōu)理論對機票價格管制問題進行了博弈分析和理論解釋；文獻［4］則結合中國航空定價機制，引入民航總局這一市場監(jiān)管者，運用博弈理論分析了民航總局對航空定價實行管制和航空公司降價競爭的問題；文獻［5］對航空市場的差別定價問題進行了分析，等等。二是以平均定價理論為基礎開展分析。文獻［6］較早運用博弈論研究了航空公司價格競爭問題，文章分別構建了完全信息和不完全信息的價格競爭博弈模型，分析了航空公司之間惡性價格競爭的緣由；文獻［7］構建了航空公司兩階段的市場空間博弈模型，并對South－Atlantic航空市場進行了分析；文獻［8］基于產(chǎn)品差異化理論，建立了不完全信息的航空公司價格競爭博弈模型，證明模型不存在純戰(zhàn)略均衡；文獻［9－11］分別考慮了航班延誤、進入壁壘的因素，構建了航空公司市場競爭的動態(tài)博弈模型；文獻［12］對中國航空運輸市場的“價格戰(zhàn)”和“價格聯(lián)盟”進行了分析，對東方航空公司和南方航空公司間的“價格戰(zhàn)”進行了模擬和分析；文獻［13－14］研究了基于有限理性和不同競爭戰(zhàn)略的航空公司動態(tài)價格競爭復雜性，等等。

縱觀當前研究文獻，運用博弈論開展航空公司價格競爭的研究尚有幾點不足：1）絕大多數(shù)研究均假設航空公司在價格競爭中具有完全理性；2）是對航空公司的價格競爭研究以靜態(tài)分析為主，動態(tài)價格競爭研究不足；3）是對航空公司市場價格調整機制的研究尚顯單一，尚未涉及延遲決策機制。故本文在上述研究不足的基礎上，引入延遲決策價格調整機制，建立雙寡頭壟斷的航空公司動態(tài)價格競爭模型，對模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性進行分析，并仿真不同市場參數(shù)下的航空公司動態(tài)價格競爭復雜性，深入研究延遲決策對系統(tǒng)穩(wěn)定域、系統(tǒng)到達均衡的時間、航空公司累計利潤等的影響，以從不同視角分析延遲決策對競爭復雜性的影響。

1 基本模型

收益管理在國外航空公司中有著廣泛運用，通過對細分的旅客實施差別定價可提高航空公司的收益。但中國航空運輸市場65%以上的旅客是公務和商務旅客，從收益管理的角度來看，中國當前的航空旅客需求是比較缺乏彈性的，缺乏實施差別定價的市場基礎［3］，同時中國航空公司的收益管理軟件主要用于統(tǒng)計和成本效益分析等方面，收益管理并未發(fā)揮其有效作用［4］，因而本文采用文獻［13］中平均價格定價理論構建航空公司動態(tài)價格競爭模型。

假定某航空運輸市場僅由兩家航空公司（分別記為A1和A2）所壟斷，并且兩家航空公司都以利潤最大化為戰(zhàn)略目標制定競爭策略。不妨設航空公司Ai在時期t的機票價格為pi（t），旅客運輸量為qi（t），其中i＝1，2，t＝0，1，2，…，下同。則可得到整個航空運輸市場的需求函數(shù)為

其中，i，j＝1，2，i≠j；ai＞0表示航空運輸市場對航空公司Ai的需求水平；θi＞0稱為差異化系數(shù)，反映的是航空公司之間的差異化程度。具體而言，差異化系數(shù)θ1表示航空公司A2對A1的差異化程度，θ1越小表明兩者差異化程度越大，替代性越小。一般而言，有0＜θi＜bi，這意味著某航空公司自身價格對市場需求的影響大于交叉價格的影響。考慮到航空公司間在航線網(wǎng)絡、航班班次、服務品牌等方面的差異且不失一般性，令a1＝a2，b1＝b2，θ1≠θ2則市場需求函數(shù)為

假設兩家航空公司的成本函數(shù)均為線性形式即Ci＝ciqi。則航空公司在時期t的利潤函數(shù)為

對于任意給定的時期t，對Πi（p1，p2）關于pi求偏導，可得到航空公司Ai在當期的邊際利潤為

由于在現(xiàn)實市場競爭中，航空公司并不能獲得完全的市場信息，也不能完全預測到未來的市場變化情況，因而他們在價格競爭決策中體現(xiàn)為有限理性，只能隨著價格競爭的進程按照一定的價格調整規(guī)則對自身價格進行動態(tài)調整直至競爭最終達到均衡狀態(tài)。而“近視眼”調整機制是市場競爭中最為常用的調整機制之一［15］。本文假定兩家航空公司均采用“近視眼”調整機制，即航空公司基于上期價格競爭的邊際利潤情況，對本期價格決策進行的動態(tài)調整。具體調整規(guī)則為：在時期t，如果估計的邊際利潤是正（負）的，那么該航空公司將提高（降低）第t＋1期的價格。故有：

其中，αi＞0為航空公司Ai的價格調整速度，反映了該航空公司對邊際利潤信號的反應速度。因此可得基于“近視眼”調整機制的航空公司動態(tài)價格競爭模型：

然而在現(xiàn)實中，航空公司在制定價格決策時不僅會考慮到當期的利潤情況，還會綜合考慮以往連續(xù)多期的利潤信息；此外，航空公司在動態(tài)價格競爭過程中一旦操作失當將會使得市場競爭陷入混沌［13－14］，航空公司必定會采取措施來穩(wěn)定市場。本文根據(jù)上述思想，可構建基于延遲決策的航空公司動態(tài)價格競爭模型：

本文一方面為重點考察延遲決策對航空公司動態(tài)價格競爭的影響，另一方面為體現(xiàn)航空公司間決策能力的差異，不妨認為航空公司A1具有較高的市場競爭能力，采用延遲決策參與市場價格競爭，而航空公司A2僅采用“近視眼”調整機制參與市場競爭。因此當T＝1時則有如式（8）航空公司動態(tài)價格競爭模型：

2 模型分析

對于航空公司的價格競爭，只有當其均衡價格非負時才有現(xiàn)實意義，故本文只研究模型（8）的均衡結果非負的情況。為研究模型（8）的穩(wěn)定性，將其改寫為

首先，計算系統(tǒng)（9）在任意一點的Jacobian矩陣：

在有界均衡點E1處的Jacobian矩陣為

它的3個特征值分別為λ1＝0，λ2＝1＋α1（a ＋ bc1）和λ3＝1＋α2（a ＋ bc2）。顯然，λ2＞1，λ3＞1，故均衡點E1是不穩(wěn)定點。

再次，在有界均衡點E2處的Jacobian矩陣為

它的3個特征值分別為λ1＝0，λ2＝1＋α1（a＋bc1＋θ1p2）和λ3＝1＋α2（a＋bc2－4bp2）。由于p2＝，故有λ ＞1，λ ＜1，因此均衡點E也是不穩(wěn)定點。

再次，在有界均衡點E3處的Jacobian矩陣為

它的3個特征值分別為λ1＝1＋α2（（a＋bc2）＋θ2p1），

綜上分析，可得定理1：

定理1 系統(tǒng)（9）的均衡點E1，E2，E3都是不穩(wěn)定點。

考察系統(tǒng)（9）在Nash均衡點E＊的情況，考慮到f＊＝p1＊，在均衡點E＊的Jacobian矩陣為

即，式（10）在空間 （α1，ω，α2）中定義了系統(tǒng)（9）的Nash均衡點E＊的一個穩(wěn)定區(qū)域，當系統(tǒng)參數(shù)取值超出式（10）這個范圍，則點E＊將變得不穩(wěn)定。因而可得到關于Nash均衡點E＊局部穩(wěn)定性的定理：

定理2 在由式（10）定義的范圍內(nèi)，Nash均衡點E＊是系統(tǒng)（9）的穩(wěn)定點。

需要指出的是，雖然航空公司價格調整速度αi，延遲決策權重ω對系統(tǒng)穩(wěn)定域有顯著影響，但對最終的均衡價格的結果值沒有影響，也不會影響到航空公司最終的市場均衡利潤。

3 數(shù)值仿真

為了更好地了解航空公司動態(tài)價格競爭系統(tǒng)的性質，特別是延遲決策對動態(tài)價格競爭的影響，本節(jié)將開展數(shù)值模擬仿真。設市場需求函數(shù)的參數(shù)a＝2.65，b＝1，航空公司服務單位旅客流量的成本分別為c1＝0.6，c2＝0.5，航空公司間的差異化系數(shù)分別為θ1＝0.7，θ2＝0.6，兩家公司的初始市場價格為（2，3）。

3.1 延遲決策對系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響

由前文分析可知，航空公司價格調整速度αi和延遲決策權重ω共同構成了航空公司動態(tài)價格競爭穩(wěn)定空間（α1，ω，α2），如圖1所示。當αi，ω的取值在此空間內(nèi)時，基于延遲決策的航空公司動態(tài)價格競爭最終將穩(wěn)定于Nash均衡點E＊。

圖2描述的是穩(wěn)定空間（α1，ω，α2）在平面（α1，ω）上的投影。從圖2中可以看出航空公司A1的穩(wěn)定域范圍。由于航空公司A1引入了延遲決策機制，延遲決策的權重ω對其價格調整速度α1有顯著的影響。當ω的取值由1逐步遞減時（即往期的決策信息比重越來越大），α1的取值范圍先變大再變小，可見延遲決策并不一定能擴大穩(wěn)定域［16－17］。當ω＝0.75時，α1取得最大值0.822 5。

這一結論說明：1）由于采取了延遲決策機制，航空公司A1能夠獲取更多的決策信息，使得其α1的變動范圍增大，有助于擴大其穩(wěn)定域。從圖2可知，當延遲決策權重ω∈（0.5，1）時，航空公司A1的穩(wěn)定域明顯大于其未采用延遲決策的穩(wěn)定域（即ω＝1時）。2）當ω∈［0，0.5）時，航空公司A1的穩(wěn)定域將小于其未采用延遲決策的穩(wěn)定域。這表明往期的決策信息所占比重越大對系統(tǒng)穩(wěn)定性越不利，這主要因為往期的決策信息反映的是過去的歷史信息，未能有效涵蓋當前的市場動態(tài)，使得決策不能及時吸納最新的當期決策信息。這也提示我們雖然引入延遲決策機制能夠使得航空公司獲得更多的決策信息，但需要科學確定延遲決策的權重，以確保延遲決策發(fā)揮正向積極效用。

3.2 基于延遲決策的航空公司動態(tài)價格競爭演化

圖3描繪的是當系統(tǒng)參數(shù)取上述初始值，航空公司A1的價格調整速度α1＝1，權重ω＝0.95時，航空公司動態(tài)價格競爭隨航空公司A2價格調整速度α2變化的動態(tài)演化圖。從圖3中可以看出，當系統(tǒng)參數(shù)取值滿足穩(wěn)定條件時，兩家航空公司的價格趨于Nash均衡解。隨著α2取值的增大，系統(tǒng)由初期穩(wěn)定的均衡狀態(tài)逐步進入到分岔和混沌狀態(tài)。當系統(tǒng)進入到分岔和混沌狀態(tài)后，航空公司間的市場價格波動很大，很難找出價格變化的簡單規(guī)律，這給航空公司的未來價格決策帶來了困難。

圖1 系統(tǒng)穩(wěn)定域的示意圖Fig.1 Diagram of systems stable region

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)定域的投影圖Fig.2 Projection diagram of systems stable region

圖3 基于延遲決策的航空公司動態(tài)價格競爭演化圖Fig.3 Bifurcation diagram of airlines′dynamic price competition based on delayed dicision

3.3 延遲決策對航空公司競爭的累積利潤的影響

圖4a描繪的是當α2＝0.4（即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)），其他系統(tǒng)參數(shù)取圖3值，競爭周期為20期時的航空公司累積利潤隨權重ω的變化情況。從圖4a中可以看出，隨著ω的減小，航空公司A1的累積利潤持續(xù)降低，而航空公司A2的累積利潤不斷增加。可見當系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，航空公司A1為引入延遲決策需要付出累積利潤減少的代價，而航空公司A2卻能從中獲得“漁翁之利”。

圖4b，4c分別描繪的是當α2＝0.5，0.6（系統(tǒng)處于分岔和混沌狀態(tài)）時航空公司累積利潤隨權重ω的變化情況。從圖4b和4c中可以看出：1）當系統(tǒng)處于分岔狀態(tài)時，航空公司A1和A2的累積利潤隨著ω的減小均呈現(xiàn)先增加再減少的變化趨勢。這表明航空公司A1引入延遲決策機制后，當權重ω較大（即當期決策信息所占比重較大）時，兩家航空公司均能夠從延遲決策機制中獲益。2）當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，航空公司A1和A2的累積利潤隨著ω的減小而呈波動變化，其中A1的累積利潤總體呈水平波動，而A2的累積利潤總體呈上升趨勢。這表明航空公司A1引入延遲決策機制后，A2能夠從中獲得更多收益。

圖4 不同狀態(tài)下延遲決策對累積利潤的影響示意圖Fig.4 Influence diagrams of delayed decision on the accumulated profits under different states

綜上可見，當系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)時，引入延遲決策機制對航空公司競爭的累積利潤有益，特別是當權重ω取值較大時，航空公司獲益情況更加明顯。而當系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，航空公司A1引入延遲決策機制可以有效擴大穩(wěn)定域但也付出累積利潤減少的代價，A2卻能從中“搭便車”獲取額外收益。

3.4 延遲決策對競爭到達均衡的時間的影響

由于航空公司決策不具有完全理性，因而它們的價格競爭不可能通過一次博弈就實現(xiàn)市場均衡，而是需要經(jīng)過多輪博弈進而達到均衡狀態(tài)。下面分析當系統(tǒng)（9）處于穩(wěn)定狀態(tài)時，延遲決策權重ω對競爭到達均衡的時間（即市場博弈周期數(shù)）的影響，本文假定當｜pi（t）－p＊1（t）｜≤0.000 01時市場競爭達到均衡。

圖5描繪的是當系統(tǒng)參數(shù)取圖4a值時，航空公司動態(tài)價格競爭達到均衡的時間隨權重ω變化的演化圖。從圖5中可看出，隨著ω的增大，達到均衡的時間先縮短再延長；當ω取值較大（如ω≥0.6）時，到達均衡的時間明顯快于ω取值較小時，這也說明當期決策信息較往期決策信息對縮短到達均衡的時間更有利。特別地，當ω＝0.811時，航空公司動態(tài)價格競爭達到均衡的時間最短，僅需27次博弈即實現(xiàn)了市場均衡。

圖5 延遲決策對競爭到達均衡的時間的影響圖Fig.5 Influence diagram of delayed decision on the time when competition reaches equilibrium

4 結論

本文綜合運用延遲決策與非線性動力學的分支理論，構建了基于延遲決策的航空公司動態(tài)價格競爭模型，分析了競爭模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性，并通過數(shù)值仿真，模擬了不同系統(tǒng)參數(shù)下的航空公司動態(tài)定價行為，深入分析了延遲決策對動態(tài)價格競爭模型復雜性的影響。

研究表明：1）引入延遲決策的有限理性航空公司開展動態(tài)價格競爭時，其延遲決策權重、價格調整速度等參數(shù)對競爭模型的穩(wěn)定性有顯著影響，一旦參數(shù)取值超過某一臨界值，系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復雜的動力學現(xiàn)象。2）延遲決策權重對系統(tǒng)穩(wěn)定域大小有顯著影響。權重取值較大時有利于擴大系統(tǒng)的穩(wěn)定域。3）延遲決策對航空公司累積利潤有顯著影響。系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)時，航空公司引入延遲決策機制更有利。同時，也會出現(xiàn)競爭對手“搭便車”而獲取額外利潤的現(xiàn)象。4）延遲決策對競爭達到均衡的時間有顯著影響。當權重取值較大時到達均衡的時間明顯較快。5）決策信息（包含當期及往期）對航空公司動態(tài)價格競爭模型有重要影響。一般而言，當期決策信息對航空公司決策更有益。引入延遲決策機制的航空公司決策關鍵在于確定權重的取值，以有效平衡穩(wěn)定域、累積利潤、均衡時間等因素。

當然，本文僅從理論上研究了延遲決策對航空公司動態(tài)價格競爭復雜性的影響，對現(xiàn)實市場的實證分析有待進一步研究。此外，對于多方引入延遲決策機制、何時引入延遲決策機制等問題將在今后的工作中予以研究。

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