基于改進多目標遺傳算法的艦尾紊流模擬方法

陶楊，韓維

(1.海軍航空工程學院 飛行器工程系，煙臺264001;2.海軍裝備研究院，上海200436)

艦尾紊流的特性分析一直以來都是艦載機飛行仿真研究中的重點問題.艦載機回收時，最大著艦誤差源自艦尾紊流對艦載機的擾動，美軍軍用規范MIL-F-8785C［1］通過對大量實驗和實測數據的總結、統計和分析后，把這種擾動視為4種成分的合成并對它們進行了定量描述，本文將其中的一個分量——自由大氣紊流分量作為研究對象.

目前多數紊流處理方法都是將Gauss白噪聲作為輸入信號，經過紊流頻譜函數分解成的傳遞函數濾波后得到相應的紊流序列［2-4］.這種方法使用簡單方便，但生成紊流序列的相關特性不能很好符合紊流模型相關函數的理論表達式，且它們之間的誤差與采樣步長大小成反比，采樣步長越小誤差越大.

針對這一問題，本文基于文獻［5-6］將所求大氣紊流序列先離散化再通過數值方法求解的思想對艦尾紊流進行了研究，提出了一種艦尾紊流數值模擬的新方法.該方法將3個方向的艦尾紊流離散成Euler前向差分格式進行求解，同時針對上述方法存在計算精度低的問題，引入了修正系數，并將紊流相關性檢驗的準則看作待優化目標函數，使用改進的多目標遺傳算法進行修正系數求解，進而實現在小步長情況下獲得較精準的紊流序列.

1 自由大氣紊流生成方法

式(1)所示為MIL-F-8785C根據統計學分析給出的自由大氣紊流分量的頻譜函數:

式中Ω為角頻率.將式(1)的頻譜函數根據分子分母的不同形式分為兩類:第1類包括Φu(Ω)和Φw(Ω);第2類為Φv(Ω).兩者的處理方法略為不同，下面分別進行討論.

1.1 第1類頻譜函數

因Φu(Ω)和Φw(Ω)之間存在線性關系，故以Φw(Ω)為例說明進行.Φw(Ω)共軛分解后得到的傳遞函數，由 Euler前向差分格式可得紊流速度:

式中{r}表示均值為0、方差為1的Gauss白噪聲序列.這里借鑒文獻［7］中的思想加入修正系數，差分方程變為

式中A，B為待定修正系數.由遞推公式(3)可得

因為w均值為0［5］，所以其方差為

根據文獻［5］，可知 AP＜1，則式(6)的等比級數和收斂:

在隨機過程中，頻譜函數與相關函數之間存在Fourier變換對的關系.對Φw(Ω)作Fourier逆變換可得到該方向紊流序列以距離差ξ為自變量的距離相關函數:

取 ξ=nh，有

根據相關函數的定義，可知:

對比式(9)和式(10)可得

將式(11)代入紊流速度方差表達式(7)可得

1.2 第2類頻譜函數

對于第2類頻譜函數，可將其因式分解表示為兩個獨立頻譜函數和的形式，之后采用同1.1節類似的方法分別處理.

由此得到傳遞函數:

總的紊流序列{v}可先分別求出各自紊流序列{v1}，{v2}，再求和得到{v}={v1}+{v2}.類似式(3)，有

式中，P1=e－h/1000/A1;P2=e－3h/400/A2;A1，B1，A2，B2為待定修正系數.

取ξ=nh，總的相關函數:

紊流序列{v}的方差:

該頻譜函數的相關函數為

若式(16)和式(18)兩者表示同樣的衰減率，則比較可得

式(19)必然滿足:

可解出

式中

另外由式(17)可得

這樣，若待定修正系數確定，即可根據不同形式的紊流頻譜函數不斷遞推生成所需的紊流序列.

2 待修正系數確定方法

艦尾紊流作為大氣紊流的一種特殊存在形式，它擁有大氣紊流的所有特征.相關性函數因為能夠反映出紊流的全部性狀，所以一直以來多用為檢驗和分析紊流的主要指標［7-9］.

另外，艦尾紊流也是一個隨機過程，需要用統計特性對其進行描述.而均方差作為隨機過程重要的統計特性，它反映了隨機過程的能量，同時也是反映數據離散程度最常用的一種量化形式，是檢驗仿真結果精確與否的重要指標.

因此，為檢驗生成的紊流序列{x}是否正確，這里采取了兩個驗證準則:一是讓{x}的均方差σx趨近理論值 σx，th，即 f1(x)二是通過對{x}進行相關性檢驗使相關函數Rx(ξ)貼近理論相關函數 Rx，th(ξ)，即 f2(x)=

在兩個準則之間函數關系不明確的情況下，不能通過權重關系將之合并為一個待優化函數用常規的單目標優化尋得最優解，因此采用多目標尋優的思想進行求解.則問題可描述為f(x)=min［f1(x)，f2(x)］，兩個約束準則作為待優化的目標函數，待修正系數為通過尋優最終得到的決策變量.

2.1 改進的NSGA2算法

遺傳算法基于群體操作的特點使其能在一次運算后并行得到多個解，因此非常適合作為有多個解的多目標優化問題［10］.目前，比較有代表性的多目標遺傳算法包括向量估計遺傳算法VEGA［11］、多目標進化算法 MOGA［12］、小生境Pareto遺傳算法 NPGA［13］、非劣排序遺傳算法NSGA［14］、強 度 Pareto 進 化 算 法 SPEA［15］、NSGA2［16］等，其中 NSGA2 算法因其低時間復雜性、高魯棒性等特點應用較為廣泛.本文采用的尋優方法就是一種改進的NSGA2算法，在此將改進的部分加以說明.

2.1.1 基于序值的交叉、變異操作

將支配關系引入遺傳機制中，位于不同前端的個體，序值越小表明該個體越優秀，也越有希望能遺傳到下一代.因此在進行個體之間的交叉操作時，希望能有更多的低序值個體的基因參與，而自身變異時則希望能更多地保留低序值個體的基因.基于以上論斷，標準模擬二進制交叉操作和多項式變異操作［17］可改進為以下形式.

交叉操作:

式中rank為序值.

式中，r為［0，1］之間均勻分布的隨機數;ηc為交叉分布指數.

變異操作:

2.1.2 基于擁擠距離的修剪方法

NSGA2中，采用的是精英選擇的策略，低序值的個體會被優先保留.這樣做存在一定的不足，一旦算法陷入了局部最優，因為修剪掉的都是高序值的個體，而自身種群沒有新個體更新，因此很難跳出.為了保持種群的多樣性，避免算法早熟現象，這里對修剪方法進行改進.假設每一前端的個體由兩部分構成，其中原前端按擁擠距離保留一定比例的個體，其余的由下一前端的個體補上，候補的個體同樣遵循按擁擠距離從大到小的選取方法.

2.2 基于改進NSGA2算法的參數選擇

算法流程如圖1所示，具體步驟如下.

步驟1 隨機初始化種群，種群中每個個體由待修正系數xi(i=1，2，…，n)和其對應的待優化目標函數值fj(j=1，2)兩部分組成.

步驟2 根據目標函數值fj判斷種群個體間的支配關系，通過非支配排序得到每個個體的序值和擁擠距離.

步驟3 依據個體序值和擁擠距離，采用錦標賽選擇方法得到父代種群.

步驟4 保存父代種群到臨時記憶庫，同時開始遺傳進化過程，對父代種群進行基于序值的交叉和變異操作，得到子代種群.

步驟5 將臨時記憶庫中的父代與步驟4產生的子代合并為中間種群.

步驟6 重復步驟2的操作，得到該中間種群個體的序值和擁擠距離.

步驟7 采用改進的修剪方法整理中間種群并得到最終的種群.

步驟8 判斷是否達到最大遺傳代數，若滿足，結束優化，并根據需求選擇修正系數;否則，返回步驟2，同時清空臨時記憶庫.

圖1 修正系數選擇流程圖Fig.1 Flow chart of correction coefficient selection

3 計算結果及分析

為方便比較，使用本文的改進NSGA2算法計算時所取的各向紊流采樣步長為0.1 m，產生白噪聲的隨機數種子為23 341，修正系數限定在［0.5，2.5］之間，優化前的原始修正系數均為 1.通過上述方法求出的Pareto非劣解分布如圖2所示，可以看出兩個約束準則存在著此消彼長的關系，并不能同時達到最優，因此需根據實際工程需要選擇其中的一個解作為該問題的最終解.

圖2 x，y，z向 Pareto解分布圖Fig.2 Distribution image of Pareto solution in x，y，z direction

本文以相關性誤差f2為主需求同時兼顧紊流方差誤差f1為原則選取的優化值及對應的修正系數如表1所示，圖3為相應的各向紊流相關性檢驗結果.可見，優化后的目標函數值均比未優化的結果小一個數量級以上，并且優化后紊流相關性函數與理論值基本吻合，達到了良好的效果.采用相應修正系數得出的各方向紊流速度如圖4所示，因為x向和z向頻譜函數存在線性關系，所以結果也較類似.

表1 優化結果Table1 Optimization results

圖3 x，y，z向相關性檢驗Fig.3 Correlation tests in x，y，z direction

圖4 x，y，z向紊流序列Fig.4 Turbulence sequence in x，y，z direction

4 結論

本文對標準NSGA2算法進行改進，提出了一種基于改進NSGA2算法的艦尾紊流數值模擬方法，通過仿真實驗，得到了以下結論:

1)本文算法得到的Pareto非劣解集在解空間的分布均勻且連續，算法的分布性較好.

2)仿真得到的艦尾紊流序列的均方差誤差和相關函數誤差均在要求誤差范圍之內，滿足該模型頻譜函數的理論表達式，表明通過該方法生成的艦尾流紊流序列的準確性高，而且在小步長情況下也能夠得到較精確的修正系數，驗證了本文方法的正確性和合理性.

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