基于數字濾波器的伺服系統諧振抑制方法

王建敏，吳云潔*，劉佑民，張武龍

(1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191;2.北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術重點實驗室，北京100191;3.北京航天發射技術研究所，北京100076;4.北京仿真中心導彈控制系統仿真國防科技重點實驗室，北京100854)

在實際的機械伺服系統中，機械諧振模態普遍存在.原因是伺服系統的傳動部分，比如傳動軸、連接軸等，并非是完全剛性的，在受力后會發生彈性形變.機械諧振不僅會影響伺服系統的穩定性和跟蹤精度，還會嚴重損害機械部件，降低其壽命.因此，在伺服系統中，機械諧振的抑制一直是控制研究的重要問題，對此已有大量研究.

機械諧振的產生原因復雜多樣并且難以避免，因此只能針對已存在的機械諧振進行抑制或消除的研究.在眾多對機械諧振抑制的研究中，大致可以將機械諧振抑制方法分為以下幾類:

1)通過改進硬件方法進行諧振抑制.文獻［1］利用傳感器直接測量電機端與負載端的位置和速度信號，根據兩端信號估算出機械諧振的狀態，然后進行抑制;而文獻［2］是通過設計硬件陷波器電路并加入到伺服系統中來補償機構諧振的幅頻特性，進而消除機械諧振的.

2)通過設計控制器，采用不同的控制方法實現諧振抑制.Slobodan和 Milic［3］利用速度環反饋控制方式設計了伺服系統的諧振抑制方案;Krzysztof和Teresa［4］在反饋控制的基礎上加入增益-積分速度控制器在雙質量體系統中實現了諧振的抑制;楊曉霞等［5］利用加速度反饋方法設計了控制器，從而將諧振抑制到一定范圍內;于晶等［6］在加速度反饋的前提下設計了高階滑模控制器，有效抑制了機械諧振，在保證動態響應性能的同時，增強了系統對于負載擾動的魯棒性;文獻［7-8］則利用擾動觀測器和反饋補償器對系統中的機械諧振進行了估計和補償，達到了諧振抑制的效果.

3)通過設計數字濾波器來抑制或消除機械諧振的影響.在此類諧振抑制方法中，應用陷波器實現機械諧振抑制的研究是最多的［9-12］.Xu等［13］將自適應的低通濾波器加入到速度反饋回路中實現了對機械諧振的抑制.

以上3種對機械諧振的抑制方法研究中，通過硬件改進的抑制方法花費的時間和成本相對比較多，實現難度也比較大，不易廣泛推廣;通過改善控制策略實現諧振抑制的方法雖然可以從整體系統上達到較好的控制效果，但控制器的設計過程相對繁瑣，對系統的功能需要有較強的把握才能保證設計的控制器可用;通過加入數字濾波器消除機械諧振的方法相對簡單、容易實現，但現有文獻均只是針對諧振點頻率抑制的研究.而在出現機械諧振時往往是諧振點和反諧振點成對出現的，利用陷波器只抵消了諧振點，反諧振點同樣會影響伺服系統的跟蹤精度和帶寬.

基于以上原因，本文針對陷波器、低通濾波器進行了研究，并提出了一種雙二次型濾波器，能夠解決同時抑制諧振點和反諧振點的問題，在提高跟蹤精度的同時增大了系統的帶寬.并利用伺服轉臺系統進行了實驗驗證.

1 問題描述

1.1 數學模型

對于直流電機直接驅動的伺服系統，當考慮機械諧振模態時，一般采用雙質量體模型來描述系統動態［14］，即

式中，Ra為電樞電阻;La為電樞電感;i為電樞電流;Ke為反電動勢系數;θm為電機轉角;um為電樞電壓;Tm為電機輸出力矩;Kt為電磁轉矩常數;Jm為電機轉動慣量;Bm為電機端黏性阻尼系數;Tl為扭轉力矩;θl為負載轉角;Ks為轉軸的機械剛度;Jl為負載轉動慣量;Bl為負載端黏性阻尼系數;Td為擾動力矩，包括摩擦力矩、耦合力矩及外部干擾力矩.

伺服系統中的機械諧振模態主要是由各傳動軸之間的柔性引起的.將式(1)～式(5)化簡，可得電機輸出轉角與電機力矩之間的關系為

式中，s為拉普拉斯算子;K1=JmJl;K2=JmBl+JlBm;K3=JmKs+JlKs+BmBl;K4=BmKs+BlKs.

1.2 諧振問題

本文所研究的伺服系統采用干擾觀測器(DOB)加零相差前饋控制器(ZPETC)的綜合控制結構［15-16］.當存在機械諧振時，系統的模型辨識就不準確，這樣將影響DOB的設計，進而影響系統的跟蹤精度和系統帶寬.

對式(6)做進一步的分析可知，該系統存在諧振極點和諧振零點.這些零極點引起了伺服系統的機械諧振.通過對該伺服系統加白噪聲測試，獲得了系統伯德圖如圖1所示.

圖1 系統伯德圖Fig.1 System Bode diagram

從圖1的幅頻特性曲線上明顯看到系統有較大的諧振，其中波峰b點為諧振點，波谷a點為反諧振點.式(6)的諧振極點使其產生諧振點，諧振零點使其產生反諧振點.由幅頻特性曲線可知，系統的諧振頻率比較低而諧振峰值比較高，這為DOB的設計帶來了一定的困難.因為諧振點附近，名義模型和實際模型的誤差增大，系統的魯棒穩定性很難滿足;若要滿足系統的穩定性條件，則需要減小濾波器的帶寬，系統頻帶要求就不一定能滿足.因此，需要設計濾波器對機械諧振進行抑制，進而設計符合條件的DOB和ZPETC，滿足系統的控制要求.

2 數字濾波器的設計

對于機械諧振問題，采用數字濾波器是一種簡單有效的方法，即設計濾波器來分別抵消系統中的諧振極點和諧振零點.在控制輸入和被控對象之間串聯一個濾波器，其結構圖如圖2所示.

圖2 串聯濾波器結構圖Fig.2 Structure image of connected filter

則串聯濾波器后的系統傳遞函數表示為

式中，θ(s)為電機輸出轉角;u(s)為輸入電壓;Gp(s)為被控對象;Q(s)為所設計的數字濾波器.

2.1 陷 波 器

常用的陷波器為改進型雙T網絡陷波器，因其能夠方便地實現作用頻率、陷波帶寬和陷波深度的調節，因此被廣泛使用.其傳遞函數［10］為

式中，a=1/ω20;b=k1/ω0;c=k2/ω0，ω0為陷波器的作用頻率;k1，k2分別為陷波器的陷波帶寬參數和陷波深度參數.

由于陷波器是帶阻濾波器，其幅頻特性曲線的中段是向下彎曲的，因此可以將圖1中的b點抑制掉.將ω0設置為b點的頻率值，同時根據諧振頻率選擇合適的參數k1和k2即可設計好陷波器.將設計好的陷波器加入到式(7)所示的傳遞函數中，可獲得新的被控對象頻率響應.圖3所示為加入陷波器后系統的伯德圖.

圖3 加入陷波器后系統的伯德圖Fig.3 Bode diagram of system added notch filter

由圖3的幅頻特性曲線可見，陷波器的凹陷點與系統諧振點b的峰值點正好相互抵消，得到了較為光滑的幅頻特性曲線，如圖中虛線所示.在較多數的文獻中采用的是上述方法進行諧振抑制的，能達到一定的效果，在本文第3節將通過實驗進行驗證.但是由于反諧振點a(即幅頻特性曲線中向下凹陷的點)的存在，對系統的建模仍然會產生較大誤差.圖中的點劃線(Gn(s))是根據實際曲線擬合的名義模型，它與濾波后的系統幅頻特性曲線(Gp(s)Q1(s))相比，在中頻段的差距還是比較大的.

對圖3進行深入的分析計算可知，加入陷波器后系統的幅值穩定裕度為38.8 dB.而系統帶寬通過分析估計約為11.8 rad/s(由于閉環系統無法準確獲得，因此只能是估計，下同).

2.2 二階低通濾波器

從圖1的幅頻特性曲線中可知，反諧振點a的出現將系統的幅值壓了下來，致使幅頻特性曲線的斜率值增大.而一般情況下將轉臺伺服系統視為二階系統，因此在模型辨識時以二階系統參數辨識為主.則斜率值的增大不利于對系統參數的辨識，并且導致辨識模型與實際模型的差值增大，進一步影響控制器的設計.考慮到二階低通濾波器(又稱振蕩環節)幅頻特性的特點，因此設計二階低通濾波器對反諧振點a進行抑制.二階低通濾波器的傳遞函數［17］為

式中，ξ為阻尼比;ωn為自然頻率.

二階低通濾波器的諧振頻率與自然頻率的關系為

式中ωr為濾波器的諧振頻率.

將ωr取為a點的頻率值，根據式(10)可計算得到自然頻率，并選取合適的阻尼比ξ即可得到具有抑制a點諧振能力的二階低通濾波器.將該濾波器加入到式(7)的傳遞函數中可得到新的傳遞函數的頻率特性，加入低通濾波器后系統的伯德圖如圖4所示.

圖4 加入低通濾波器后系統的伯德圖Fig.4 Bode diagram of system added low-pass filter

由圖4的幅頻特性曲線可知，加入低通濾波器后系統的反諧振點a被抑制了，系統的幅頻特性曲線的低頻段變得比較平滑，斜率值也有了一定程度的減小.擬合的名義模型曲線(Gn(s))與濾波后的系統幅頻特性曲線(Gp(s)Q2(s))在中頻段的吻合度還是很高的.第3節中將通過實驗證明該濾波器使得系統的頻帶提高了.但是該低通濾波器使得系統的相移增大了，從圖4的相頻特性曲線中可以看到，中頻段以后系統的相移增大了將近180°.并且由于諧振點b依然存在，對整個系統的控制器設計仍然會產生影響.

通過進一步的分析計算，加入該濾波器后系統的幅值穩定裕度為31.3 dB，閉環系統帶寬約為11.9 rad/s.

2.3 雙二次濾波器

為了同時抑制諧振點和反諧振點，在結合2.1節和2.2節所述陷波器和二階低通濾波器特性的基礎上，設計了雙二次型濾波器.設

則雙二次濾波器設計為

式中，ωa為對應 a點的頻率;ωb為對應 b點的頻率.

該雙二次型濾波器的物理意義很直觀，可以理解為Qa(s)和Qb(s)均是二階低通濾波器，其幅頻特性曲線具有向上的諧振峰.現將Qb(s)取倒數，則其幅頻特性曲線變成了向下的諧振峰.它與Qa(s)串聯后，由Qa(s)抵消系統幅頻特性曲線中的諧振點a，1/Qb(s)抵消反諧振點b，這樣系統幅頻特性曲線中的正、反諧振點均得到了抑制.

將式(13)的雙二次濾波器與式(8)的陷波器相比較可發現，當ωa=ωb時，式(13)與式(8)具有相同的形式，可見陷波器是所設計的雙二次濾波器的一種特例形式.

將式(13)及式(6)代入式(7)，可得新的被控對象的表達形式為

式中，G′p(s)為去除了諧振零極點的被控對象;K5，K6，K7為耦合常數.

由式(14)可見，所設計的雙二次型濾波器將抵消原被控對象中的諧振極點和諧振零點，進而消除機械諧振.

根據式(10)可分別計算得到ωa和ωb的值，再選擇合適的阻尼比ξa和ξb即可設計完成雙二次濾波器.將該雙二次濾波器串入式(7)的傳遞函數中，得到如式(14)所示的新系統，進而得到加入雙二次濾波器后系統的伯德圖如圖5所示.

圖5 加入雙二次濾波器后系統的伯德圖Fig.5 Bode diagram of system added two-second filter

從圖5的幅頻特性曲線中可看到，系統的諧振已經被完全抑制，系統的幅頻特性曲線(虛線)在中頻段以下已經變成光滑的直線.而且辨識得到的名義模型(點劃線)也能與系統幅頻特性曲線完美吻合.從相頻特性曲線來看，串聯雙二次濾波器后系統的相移很小，基本與原曲線相重合.因此從仿真來看，所設計的雙二次型濾波器能夠達到理想的諧振抑制效果.

從定量的角度來分析，加入該雙二次型濾波器后系統的幅值穩定裕度達到43.4 dB，并且系統的帶寬約可達12.3 rad/s.

將設計的數字濾波器加入到轉臺伺服控制系統中，得到如圖6所示的結構.其中，e=θd－e.

圖6 加入數字濾波器后的轉臺伺服控制系統結構Fig.6 Structure of turntable servo control system added digital filter

圖6中轉臺伺服系統采用速度環和位置環雙環控制［14］結構，在雙環控制之前加入前饋控制，以消除相位滯后問題.對系統中的等效干擾，采用干擾觀測器進行抵消.速度信號是通過對位置信號微分獲得的，考慮到位置測量量化噪聲的影響，因此將位置信號微分之后經過低通濾波器以獲取速度信號.由圖6的控制系統可見，設計的數字濾波器與控制對象串聯后被作為新的被控對象.在干擾觀測器設計中只要名義模型Gn(s)選取合適，系統中的其他等效干擾就會被觀測出并被抵消掉，進而提高控制器的性能［18］.將所設計的數字濾波器與被控對象串聯后可以抵消原系統中的諧振極點和諧振零點，使得系統消除機械諧振，并且不會改變原系統的可控性能.因此加入數字濾波器后整個系統的穩定性是由之后設計的控制器決定的，數字濾波器對控制系統的穩定性是沒有直接影響的.

為了實現濾波器的計算機應用，需將其離散化.采用雙線性變換，將

代入式(13)可得

式中，K= ω2a/ω2b;N1=4+4Tξbωb+ ω2bT2;N2=2ω2bT2－8;N3=4 － 4Tξbωb+ ω2bT2;D1=4+4Tξaωa+ω2aT2;D2=2ω2aT2－8;D3=4 － 4Tξaωa+ω2aT2;T為采樣周期.

3 實驗結果

以某三軸飛行仿真轉臺為例進行實驗驗證.該仿真轉臺測角元件為光電編碼器，細分分辨率達0.0007°.控制算法以臺灣研華610工業控制計算機為核心，采用C++語言編程實現，人機交互界面由MFC編程建立.工控機通過ISA總線上16位D/A轉換卡與電機驅動器相連.系統的控制周期為1 ms，控制系統采用如圖6所示的控制結構.該三軸轉臺實物圖如圖7所示.

本文使用的是該仿真轉臺的外框軸.外框由于機械尺寸較大，力臂較長，在轉動過程中存在伺服彈性，因此會有較大的機械諧振.將設計的數字濾波器分別加入控制系統中，重新進行白噪聲測試，然后根據轉臺響應結果進行頻譜特性分析并對系統進行辨識，得到了系統的頻率特性和名義模型，3種數字濾波器實驗結果如圖8所示.

圖7 三軸轉臺實物圖Fig.7 Physical map of three-axis turntable

圖8 3種數字濾波器實驗結果Fig.8 Experimental results of three kinds of digital filters

從圖8的3種濾波器實驗結果對比來看，實驗結果與仿真結果相一致.所提出的雙二次濾波器的實測曲線和擬合曲線吻合度最高，二階低通濾波器次之，陷波器最差.由圖8(c)的幅頻特性曲線可見，加入雙二次濾波器之后轉臺的模型被校正為比較標準的二階系統.因此用二階名義模型來代替轉臺實際模型設計DOB還是很準確的.這樣系統中的等效干擾能盡可能被消除，進而伺服系統的跟蹤精度和系統頻帶才均能提高.

在圖8所示的名義模型的基礎上，設計DOB和ZPETC，并加入到控制系統中進行系統測試.如圖9所示為加入雙二次濾波器后系統的跟蹤曲線.

圖9 加入雙二次濾波器后系統的跟蹤曲線Fig.9 System tracking curve added two-second filter

由圖9可見系統能夠很好地跟蹤指令的變化，說明系統具有良好的動態性能.為了進一步說明本文所設計的雙二次濾波器能夠使得系統在跟蹤精度方面優于另外兩個濾波器，對3種數字濾波器作用下系統的跟蹤精度做了對比，結果如圖10所示.可見，應用陷波器的系統跟蹤誤差是最大的，達到0.009°，而加入本文提出的雙二次濾波器的系統跟蹤誤差是最小的，只有0.0054°.由此可知，應用雙二次濾波器能夠很好地抑制機械諧振，使得系統模型更容易辨識，控制器設計更加方便、有效，控制精度也更加滿足指標.

圖10 跟蹤精度對比Fig.10 Contrast of tracking accuracy

應用數字濾波器后，除了系統跟蹤精度提高以外，系統的頻帶也增大了.如表1所示為加入不同數字濾波器后系統的頻帶范圍.

表1 系統頻帶范圍Table1 System bandwidth scope

加入雙二次濾波器的系統頻帶在“雙三”指標下達到了4 Hz，滿足了指標和精度的要求(“雙三”指標指的是幅度誤差在±3%以內，相位誤差在±3°以內).綜合以上實驗結果，本文提出的雙二次型數字濾波器能夠很好地抑制機械諧振，使得校正后的系統模型更加趨近二階系統，有利于系統模型的辨識及DOB的設計.同時該擬合度較高的數學模型為控制器、ZPETC的設計提供了方便，進而有助于控制系統跟蹤精度的提高和頻帶寬度的增大，最終達到系統動態性能指標.

4 結論

1)該雙二次型濾波器能夠同時抑制諧振中的正、反諧振點，進而將系統模型校正為光滑的二階系統形式，有利于系統模型的辨識和控制系統的設計.

2)在理論分析和仿真的基礎上進行了實驗驗證.實驗結果表明:所提出的雙二次型濾波器能夠很好地抑制諧振，相比于其他2種濾波器，在提高系統跟蹤精度的同時增大了系統帶寬，滿足了系統的動態性能指標.

References)

［1］ John Y H.Control of industrial robots that have transmission elasticity［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，1991，38(6):421-427.

［2］ 趙桂軍，許美健，吳雄君，等.陷波器在導引頭伺服系統中的應用［J］.制導與引信，2013，34(2):1-3.Zhao G J，Xu M J，Wu X J，et al.The application of notch filter for the servo system in seeker［J］.Guidance ＆ Fuze，2013，34(2):1-3(in Chinese).

［3］ Slobodan N V，Milic R S.Suppression of torsional oscillations in a high performance speed servo drive［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，1998，45(1):108-117.

［4］ Krzysztof S，Teresa O K.Vibration suppression in a two-mass drive system using PI speed controller and additional feed backscomparative study［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2007，54(2):1193-1206.

［5］ 楊曉霞，陰玉梅，孟浩然，等.利用加速度反饋的大型光電設備主軸控制技術［J］.中國慣性技術學報，2013，21(4):421-424.Yang X X，Yin Y M，Meng H R，et al.Mount control for large optoelectronic equipment by using acceleration feedback［J］.Jour-nal of Chinese Inertial Technology，2013，21(4):421-424(in Chinese).

［6］ 于晶，馮勇，鄭劍飛.基于高階滑模和加速度反饋的機械諧振抑制方法［J］.控制理論與應用，2009，26(10):1133-1136.Yu J，Feng Y，Zheng J F.Suppression of mechanical resonance based on higher-order sliding mode and acceleration feedback［J］.Control Theory ＆ Applications，2009，26(10):1133-1136(in Chinese).

［7］ Carl J K，Seiichi K.Disturbance observer and feed-forward design for a high speed direct-drive positioning table［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，1999，7(5):513-526.

［8］ Abdullah A M，Ehsan K，Charanjit S B，et al.Integral resonant control for suppression of resonance in piezoelectric micro-actuator used in precision servomechanism［J］.Mechatronics，2013，23(1):1-9.

［9］ 張衛國，曹永剛，陳濤.用數字濾波器改善光電經緯儀機械諧振頻率的方法［J］.光學精密工程，1999，7(2):77-82.Zhang W G，Cao Y G，Chen T.Digital filter approach to improving the resonance frequency of photoelectric theodolite［J］.Optics and Precision Engineering，1999，7(2):77-82(in Chinese).

［10］ 楊明，胡浩，徐殿國.永磁交流伺服系統機械諧振成因及其抑制［J］.電機與控制學報，2012，16(1):79-84.Yang M，Hu H，Xu D G.Cause and suppression of mechanical resonance in PMSM servo system［J］.Electric Machines and Control，2012，16(1):79-84(in Chinese).

［11］ 李獻斌，王躍科，楊俊.級聯陷波器抗窄帶干擾設計與實現［J］.電子測量與儀器學報，2013，27(6):492-497.Li X B，Wang Y K，Yang J.Design and implementation of cascade IIR notch filters for narrow-band interferences suppression［J］.Journal of Electronic Measurement and Instrument，2013，27(6):492-497(in Chinese).

［12］ 馬躍，黃賓，王志成.基于陷波器的伺服系統共振抑制的研究［J］.計算機工程與設計，2013，34(5):1624-1629.Ma Y，Huang B，Wang Z C.Research on resonance vibration in servo system based on notch filter［J］.Computer Engineering and Design，2013，34(5):1624-1629(in Chinese).

［13］ Xu J B，Wang W Y，Shen A W，et al.Detection and reduction of middle frequency resonance for an industrial servo［J］.Control Engineering Practice，2013，21(7):899-907.

［14］ 劉強.現代高精度數字伺服系統運動控制理論及應用研究［D］.北京:北京航空航天大學，2002.Liu Q.Motion control theory and application research on modern high precision digital servo system［D］.Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2002(in Chinese).

［15］ 劉強，爾聯潔.飛行仿真轉臺基于干擾觀測器的魯棒跟蹤控制［J］.北京航空航天大學學報，2003，29(2):181-184.Liu Q，Er L J.Disturbance observer based robust tracking control of high precision flight simulator［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2003，29(2):181-184(in Chinese).

［16］ Wu Y J，Liu X D，Tian D P.Research of compound controller for flight simulator with disturbance observer［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2011，24(5):613-621.

［17］ 胡壽松.自動控制原理［M］.4版.北京:科學出版社，2001:77-83.Hu S S.Automatic control theory［M］.4th ed.Beijing:Science Press，2001:77-83(in Chinese).

［18］ 劉曉東，吳云潔，田大鵬，等.基于干擾觀測器的飛行仿真轉臺滑模控制器［J］.上海交通大學學報，2011，45(3):393-397.Liu X D，Wu Y J，Tian D P，et al.Research of sliding mode controller for flight simulator based on disturbance observer［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2011，45(3):393-397(in Chinese).