信息提供下的公交管制策略

劉大龍，田瓊

(北京航空航天大學 經濟管理學院，北京100191)

隨著IT技術的快速發展，公共交通運行的實時信息往往能夠幫助乘客更好地規劃出行，這些信息包括時刻表、車次計劃的變更、預計的延遲等.但由于個體的差異，每位乘客獲取公交信息的能力是不同的，有的乘客能夠利用信息計劃出行，降低站臺等待時間成本，使得總成本降低，而有的乘客則因為不擅于利用信息，使計劃成本超過計劃能夠降低的等待時間成本，反而增加了總成本.除此之外，及時地提供準確的信息也會給公交公司帶來額外成本，信息服務質量越高，乘客規劃成本越小則公交公司的成本越高［1-2］.已有文獻對公交價格和服務頻率進行了大量的研究，有關公交信息方面的研究主要側重于公交信息系統及其相關技術的研究［3-4］，有關公交信息對乘客出行行為的分析相對較少.2012年De Borger和Fosgerau對公交管制策略下的信息提供進行了研究，他們考慮了乘客獲取信息能力的差異，在并不能都依據信息計劃出行下，比較了用戶均衡和系統最優的狀態，但他們只考慮了價格帽(price-cap)的管制策略，沒有研究應用更為普遍的收益率(rate-of-return)管制策略和數量控制(quantitycontrol)管制策略［5］.

在公交市場上，公交公司受政府管制，其提供運輸服務的目的是最大化自身利益，而政府作為委托人，他們選擇不同的管制策略，目的是提高社會福利，兩者目的不完全一致，存在博弈［6］.Tian等對公交管制策略進行了研究，得出了不同交通管制策略下社會最優與壟斷最優的帕累托有效邊界，但沒有對公交信息服務進行研究［7］.本文主要研究如何在信息提供背景下對公交公司進行管制.

1 基本模型

本節主要描述了模型的基本結構，重點是信息提供的質量，并且只考慮單一的公交線或地鐵線而不考慮其他諸如公共汽車尺寸、其他車輛對乘坐公交人數的影響等內容.

1.1 乘坐公交的一般成本

考慮一條公交線路，乘客提前依據信息計劃行程或隨機去公交站臺出行.乘坐公交的成本包括:公交車票、等待時間成本［8］，延誤時間成本［9-10］，車內擁擠成本和計劃行程的成本［11-14］.在信息作用下，還包括獲取公交信息的成本.計劃行程與不計劃行程都需要支付公交票價p.設途中時間為常數T，乘客單位時間成本為α，則途中時間成本為αT.如果乘客計劃行程，則到站臺后就沒有等待時間成本，如果乘客不計劃行程，則有等待時間.假設公交車發車的間隔穩定為h，如果乘客不計劃行程，期望等待時間為h/2.如果計劃行程，則計劃成本為αψ(I)，ψ(I)表示信息質量為I時乘客計劃行程所消耗的信息查找時間，ψ(I)是關于I的單調遞減函數(ψ′(I)＜0)，即信息質量越好，計劃行程的查找時間越短，計劃成本也就越少.所以乘客乘坐公交計劃行程的一般成本為

乘客不計劃行程的一般成本為

由式(1)和式(2)可知，計劃行程與否主要取決于αψ(I)與αh/2之間的大小關系，令αψ(I)=αh/2的解為

其中Iω為使乘客進行計劃行程的最差信息質量，是關于h的函數.式(3)兩邊對h求導，得

所以兩公交車之間的時間間隔越大，即服務頻率越小，乘客計劃行程的最差信息質量越小.

假設 I∈(I－，I+)，若 Iω＞ I+，則沒有人計劃行程;若Iω＜I－，則所有的人都計劃行程，計劃行程人數的比例可以表示為

其中φ(I)是關于I的密度函數，上式兩邊分別對h求導，得

所以增加公交車之間的發車時間間隔，即降低服務頻率可以增加計劃行程的人數比例.

則不計劃行程人數的比例為

所以乘坐公交的期望一般成本為

1.2 消費者剩余、公交公司收入和社會福利

D(N)為當乘車人數為N時乘坐公交的一般成本，是反需求函數，D′(N)＜0，即乘坐公交一般成本的減少會造成乘客數量的增加;N為乘車人數.

由均衡條件

消費者剩余為

其中 n∈(0，N).

公交公司收入為

公交公司成本為

其中，h1為運行一輛公交車的系統固定成本，如司機費用等，為一常數;κ為乘客的平均變動成本，包括油耗費用、電費等，為一常數;g(I)為公交公司提供信息的成本.故公交公司的利潤為

社會福利為

2 壟斷最優與社會最優

本節分析公司利潤最大化與社會福利最大化2種情況下乘車人數、發車時間間隔和信息質量之間的關系以及公交價格的確定.

2.1 壟斷最優

如果政府對公交不進行管制，那么公交公司將尋找最優的(N，h，I)使其自身利潤最大化，即

全直腸系膜切除術(Total mesorectal excision，TME)目前已成為直腸癌切除術的經典原則，遵循這一原則經腹直腸癌根治術在降低術后局部復發和延長患者生存期方面取得顯著效果[1]。但其術后并發癥日益引起臨床重視，尤其是低位直腸癌，術中可能損傷盆腔自主神經和盆底肌群，影響術后胃腸功能和性功能的恢復[2]。近年來有學者提出，對于僅侵及黏膜下層的T1N0期低位直腸癌可采用局部切除術[3]，但目前有關兩種術式的效果尚有爭議[4]，本研究回顧性分析兩種術式的效果，并分析局部切除術預后的影響因素，為臨床提供參考，現報道如下。

其中，上標F為利潤最大化情況下變量的解;等號左邊為公交公司的邊際收入，第1部分反應了公交公司的市場壟斷能力;等號右邊為乘客的期望邊際成本.

由式(18)得

因為D′(N)＜0，所以式(19)第1項為正.這說明壟斷情況下，公交公司為了最大化其利潤，將設定比平均乘客變動成本κ更大的公交價格，與經典的微觀經濟學市場結構理論中的壟斷定價理論一致.

2.2 社會最優

政府的目的是使社會福利最大，即

該數學規劃的一階條件為

社會最優的目標函數比壟斷最優的目標函數多了一個消費者剩余部分，即式(11)，而式(11)是一個關于N的函數，因此，除了第1個一階條件不同之外，另外2個一階條件與壟斷最優相等.由，得

其中，上標W為社會最優情況下各個變量的解;等號左邊為整個社會的邊際收入;等號右邊為整個社會系統的邊際成本.由式(22)得

3 管制策略

本節主要分析在不同的管制策略下信息為整個公交系統的優化所產生的作用.管制策略主要包括收益率管制策略和數量管制策略.

3.1 收益率管制策略

在收益率管制策略下，公交公司可以自由改變其輸入，即發車的頻率和提供信息的質量，也可以改變自己的輸出水平，即乘客數，但公交公司的經濟利潤是有一定的約束的，經濟利潤平攤到每位乘客時不能超過政府規定的每單位輸出收益，用ε(ε＞0)表示，那么收益率約束就是 F(N，h，I)/N≤ε.

該優化問題為

其一階條件為

其中，ρ≥0，且ρ是收益率約束的拉格朗日乘子.由式(25)得當時，則，矛盾，故

當邊際利潤大于約束收益率，且均大于0時，收益率約束為緊約束，此時ρ＞1;當邊際利潤小于0，且小于約束收益率時，收益率約束為緊約束，此時0＜ρ＜1;當邊際利潤為0時，則收益率約束為松約束，不起作用，此時ρ=0.

3.2 數量管制策略

數量控制管制策略是為了保證整個公交系統有一定的輸出能力，因此，政府會制定一個最小輸出量 N－，那么數量約束就可以表示為N≥N－，則該優化問題為

該優化問題的一階條件為

其中，μ≥0，且μ是數量約束的拉格朗日乘子，其經濟含義是對乘車人數邊際利潤的負數.與壟斷最優相比較，惟一不同的是?F(N，h，I)/?N=－μ.若邊際利潤為0，即μ=0，此時數量約束為松約束，不起作用，其最優解與壟斷最優解相同;若邊際利潤小于0，即μ＞0，此時數量約束是緊約束，即N=，就相當于求解優化問題:

3.3 公交管制策略的比較

在不影響研究結論的前提下，為了方便解析推導，本文采用線性函數的形式來描述乘客需求和相關信息成本.假設反需求函數為D(N)=ba·N，乘客查找信息的時間函數為ψ(I)=c/I，公交公司提供信息的成本函數為g(I)=d·I.信息質量 I～ U(0，1)，則 φ(I)=1，I∈(0，1).其中，a，b，c，d為參數，則收益率管制和數量管制策略起作用情況下優化的求解條件分別為

和

求得相應的收益率管制的解為

數量管制的解為

而完全無管制的壟斷最優解為

完全管制，即社會最優解為

以上結果表明，任何情況下最優解的乘車人數N與信息質量I，發車時間間隔h與信息質量I都具有相同的關系，因為4種情況的最優解都有等價的2個一階條件，即都有收益率管制可能存在2個解，公交公司將選擇利潤大的方案.數量管制能夠有效保證乘車人數的下限.完全管制所提供的信息質量和乘車人數是完全無管制的2倍，這是因為假設的公交信息成本函數和反需求函數都是線性函數，信息質量也服從簡單的均勻分布，實際中信息成本g(I)應該是關于I的凸函數.所以這里的IW=2IF只是在需求函數線性、信息成本函數線性時得出的結果，而NF=NW，hF=hW是由壟斷最優與社會最優2個分別相同的一階條件所得，雖然函數假設的局限性，但是這里反映了完全管制比完全無管制更能使資源合理分配.

4 算例

4.1 壟斷最優與社會最優

令 a=1，b=30，c=2，d=10，h1=100 元，α =0.25 元/min，T=30 min.

將乘車時間T作為自變量，則壟斷最優解與社會最優解的信息質量、乘車人數、發車時間間隔、公交公司利潤或社會福利都隨著乘客乘車時間的增加而降低，如圖1所示.

圖1 乘車時間對社會最優與壟斷最優的影響Fig.1 Trip duration on social and monopoly optima

將乘客單位時間成本α作為自變量，當α從0開始增大時，壟斷最優解與社會最優解的信息質量與發車時間間隔先增大后減小，乘車人數則一直減小，公交公司的利潤或社會福利先減小后增大，如圖2所示.

圖2 單位時間價值對社會最優與壟斷最優的影響Fig.2 Unit time cost on social and monopoly optima

將h1作為自變量，當h1從0開始增大時，壟斷最優解與社會最優解的信息質量減少，且減少的速度越來越慢，最后趨于一個穩定值;乘車人數逐漸增加，最后趨于一個穩定值;發車時間間隔先增加，后減小，最后趨于一個穩定值;公交公司利潤或者社會福利先稍微增加，后一直減小，如圖3所示.

將平攤到乘車人身上的變動成本κ作為自變量，隨著變動成本的增加，壟斷最優解與社會最優解的信息質量、乘車人數、發車時間間隔、公交公司利潤或者社會福利都減小，如圖4所示.

圖3 系統固定成本對社會最優與壟斷最優的影響Fig.3 System fixed cost on social and monopoly optima

圖4 平均變動成本對社會最優與壟斷最優的影響Fig.4 Average variable cost on social and monopoly optima

4.2 收益率管制與數量管制

4.2.1 收益率管制

將收益率ε作為自變量，最優解的信息質量、乘車人數、發車時間間隔以及公交公司利潤的變化如圖5所示.

圖5 收益率管制的影響Fig.5 The effects of rate-of-return regulation

由圖5可知，當給定的收益率ε＜11.3元/人時，滿足該約束下的解有2個，根據利潤最大原則，公交公司會選擇利潤大的解，即曲線OAB段，利潤最大點為A點，此時收益率為8.302 6元/人，所以當ε≥8.3元/人時，約束不起作用，為壟斷最優.因此，圖5中利潤最大情況下會選擇圖形的OAB段.隨著收益率的增加，信息質量、乘車人數、發車時間間隔均減小，公交公司利潤增大，最后與壟斷最優解相同.

4.2.2 數量管制

因為在無約束條件下的壟斷最優解NF=10.65，所以當 N－ ＜NF時，數量約束為松約束，沒有作用，最優解就是壟斷最優解;當 N－≥NF時，數量約束為緊約束，此時數量約束才會起作用.將作為自變量，相關關系如圖6所示.

圖6 數量管制的影響Fig.6 The effects of quantity-control regulation

由圖6可知，當數量約束 N－≤10.65時，此時數量約束無作用，最優解為壟斷最優解.當 N－＞10.65時，隨著 N－的增加，公交公司利潤在減小，信息質量在增加，發車時間間隔也在增加.此時的數量約束才是有效約束.

5 結論

在考慮公交公司提供信息服務和乘客獲取信息存在差異的條件下，將乘客分為計劃行程與不計劃行程2類，分析了公交公司在不同的公交管制策略下公交價格、發車時間間隔和信息提供之間的相互關系，并考察了3種主要的管制策略的影響，分別推導出在完全無管制、完全管制、收益率管制和數量管制下，公交公司所制定的發車時間間隔和所提供的信息質量的關系.研究發現:

1)完全管制情況下的信息質量和乘車人數是完全無管制情況下的2倍，具有更有效的資源配置.

2)在收益率管制下，隨著約束收益率的增加，信息質量、乘車人數和發車時間間隔都在減小，公交公司利潤則是在增加，直到約束約束收益率不起作用后達到壟斷最優的情況.

3)在數量管制下，約束數量較小時，數量管制沒有作用，此時與完全無管制結果相同;當約束數量達到一定的臨界值之后，隨著約束數量的增加，信息質量和發車時間間隔都在增加，但公交公司利潤則一直在降低.

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