箱式動力結構的振動傳遞特性分析

高維金，王亮，劉永光

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

在節能減材和領域特殊需求的背景下，多領域的裝備朝著大型化、高速化、輕量化的方向發展，其裝備構件呈現出了柔性大、結構阻尼小的特點.對于本身內部含有動力源的箱式動力結構，如艦船減速器、風電齒輪箱及直升機齒輪箱［1］等，在實際工作過程中，由于工況的頻繁改變，柔性較大的構件可能產生振動，甚至損壞.為了能有效地抑制結構振動，進行如結構動力學優化［2］、基于磁致伸縮作動器的主動控制［3-7］等，需要對箱式動力結構振動傳遞機理進行研究.文獻［8-11］建立齒輪軸-軸承-箱體的完整有限元模型，并賦予初始邊界條件進行有限元仿真，分析系統的動力學傳遞特性.此外，則是通過集中質量法對嚙合齒輪副建立質量-彈簧-阻尼的數學模型，采用傳遞矩陣法計算得到箱體的軸承座處的動載荷，以此作為有限元箱體模型的激勵條件，研究箱體的振動特性［12-14］.從文獻來看，有限元法和集總模型傳遞矩陣法是主要的研究方法.相比而言，有限元法計算精度較高且可以避免傳遞矩陣法中可能出現的數值不穩定現象［15］.

因此，考慮齒輪嚙合錯位、齒側間隙等因素建立減速器的三維傳動模型，采用Craig-Bampton縮減法將箱體縮聚為6個軸承孔中心處節點的柔性體，分析嚙合副的嚙合時變剛度、嚙合線性傳遞誤差及軸向重合度.在此基礎上，從輸入軸扭矩波動和線性傳遞誤差分別為激勵條件的兩方面，對傳動系統基于軸段節點的思想進行了計算，得到箱體軸承處的加速度頻率關系，為后續的箱體優化及基于超磁致伸縮作動器的主動振動控制提供了邊界條件及相關數據.

1 研究對象及模型

1.1 研究對象

圖1為某二級減速箱的傳動機制，Z1和Z2分別為安裝在輸入軸和中間軸上的主、從動斜齒輪，Z3和Z4分別為安裝在中間軸和輸出軸上的主、從動直齒輪.各嚙合副的相關參數見表1.

圖1 某二級減速箱的傳動機制Fig.1 Transmission mechanism of two-stage reducer

表1 嚙合齒輪的基本參數Table1 Basic parameters of meshing gear

1.2 研究模型

為了研究箱體的振動特性以及箱體的柔性變形對傳動的影響，將箱體作柔性化處理.從提高計算效率及所關心的個別節點變形或響應的角度來看，需要根據實際情況將模型縮聚到所要求解的自由度.在減速箱系統中箱體視為子結構，采用Craig-Bampton［16］子結構固定界面模態綜合法將箱體的彈性變形用模態坐標的形式表達出來.Craig-Bampton子結構固定界面模態法可描述為

式中，Xb和Xin分別為界面節點與內部自由度的位移;Φic為界面坐標依次產生單位位移引起的內部靜模態;Φin為固定界面分支正則化主模態;qc為約束模態的坐標;qn為固定界面正則化模態坐標.

為了能夠反映邊界作用效應及高階模態，引入正則模態N，則原有模態坐標可以表述為

式中q*為Craig-Bampton模態坐標

將式(2)代入式(1)中可得

式中Φ*為具有原系統主模態和約束模態所有特性的正交Craig-Bampton模態.

圖2為箱體、齒輪、傳動軸的三維模型.將箱體視為子結構，基于Craig-Bampton縮減法作柔性化處理，縮聚節點為6個軸承孔中心處，節點用于將來自齒輪傳動的力傳遞到箱體.縮聚節點的編號見圖3.

圖2 減速箱的三維模型Fig.2 Three-dimensional model of reducer

圖3 箱體縮聚節點編號Fig.3 Reduction nodes number of gearbox

2 箱式動力結構振動激勵分析

2.1 齒輪嚙合時變剛度

齒輪嚙合剛度對于齒輪振動來說是一個很重要且復雜的參量，它是研究齒輪動態性能的基礎.齒輪的嚙合剛度受傳遞載荷、輪齒彈性變形、嚙合位置等諸多因素影響，建立其嚙合剛度模型是很復雜的問題.考慮二級減速箱的嚙合錯位因素，分析齒輪嚙合時變剛度.嚙合錯位正負的定義如圖4所示.在模型中，若錯位是沿著局部坐標系z軸的正方向，其值為正(圖4(a));若錯位值沿著局部坐標系z軸的負方向，其值為負(圖4(b)).通過軸、軸承的變形以及工作載荷狀況計算的齒輪嚙合錯位如圖5所示.

斜齒輪的法截面單位接觸嚙合剛度和端截面單位接觸嚙合剛度的關系為［17］

圖4 嚙合錯位值正負的定義Fig.4 Definition of plus and minus symbol for meshing misalignment

圖5 斜齒輪和直齒輪的嚙合錯位Fig.5 Meshing misalignments of helical gears and spur gears

式中，Kn為法截面單位接觸嚙合剛度;Ke為端截面單位接觸嚙合剛度;β為斜齒輪螺旋角;f(θ)為端截面單位接觸嚙合剛度關于齒輪轉角的函數.

斜齒輪單對齒嚙合時變剛度的表達式為［18］

式中，K為斜齒輪副的嚙合時變剛度;θ為輸入軸的轉角;W為斜齒的有效寬度;θm為輸入軸斜齒輪的每齒平均轉角;εa為軸向重合度;βb為基圓螺旋角;θ1和θ2為齒輪嚙合接觸線的最小和最大滾動角.

直齒輪的嚙合時變剛度求解相對簡單，只需將單位接觸剛度乘以有效工作齒寬，再考慮重合度即可.

根據模擬計算可得，斜齒輪的軸向重合度最小為1.608，最大為1.739，可知斜齒輪的傳動較為平穩.直齒輪的傳動比最小為1，最大為2，齒輪單雙對齒交替嚙合，易造成沖擊.

計及嚙合錯位的影響，運用齒輪嚙合剛度的計算公式得到斜齒輪副和直齒輪副的單對齒嚙合時變剛度，如圖6所示.

圖6 斜齒輪和直齒輪的嚙合時變剛度Fig.6 Time-varying meshing stiffness of helical gears and spur gears

2.2 齒輪嚙合傳遞誤差

在沒有制造及安裝誤差且嚙合剛度很大的理想情況下，系統可按固定的傳動比進行工作，不存在傳遞誤差.然而實際中齒輪的制造及裝配誤差、嚙合錯位、嚙合時變剛度等因素導致齒輪在嚙合線方向產生傳遞誤差，進而這些誤差對系統產生激勵力［19-20］.傳遞誤差(TE，Transmission Error)就是沿嚙合線方向被動齒輪上的齒廓在實際嚙合位置同理想條件下嚙合位置的偏差，其波動直接反映了被動齒輪的不均勻性，對傳動系統的振動及噪音有著重要影響.圖7為傳遞誤差示意，其中A為理論嚙合位置，A′為主動輪轉過一定角度與從動輪嚙合位置.

設主動輪轉角為θa，基圓半徑為Rb1;從動輪轉角為θp，基圓半徑為Rb2.則沿嚙合線方向的傳遞誤差表達為

在考慮嚙合錯位、嚙合時變剛度及齒側間隙的情況下，斜齒輪副和直齒輪副間的傳遞誤差如圖8所示.

圖8 斜齒輪副間和直齒輪副間的傳遞誤差Fig.8 Transmission error of helical gears and spur gears

3 振動傳遞機理及振動評估

3.1 振動傳遞機理

在箱式動力結構系統中，往往會產生一些擾動因素，如傳動齒輪的嚙合沖擊、錯位滑動旋轉不平衡等.由于這些因素的長期作用，系統中的某個部件就可能產生未變形，然后以彈性波的形式沿著系統裝配連接的路徑關系進行傳遞或者以固體噪聲發射到周圍環境［21］.當彈性波通過這些彈性部件(軸、齒輪、軸承及箱體)時，可能激發部件的自然頻率發生共振，結果擾動振動加劇，形成惡性循環.圖9為振動彈性波能量傳遞的示意圖.圖中實線表示振動的傳遞路徑，虛線表示內部固體聲輻射到箱體形成二次噪聲.

圖9 振動傳遞示意圖Fig.9 Schematic diagram of vibration transmission

3.2 不同激勵的振動特性及振動評估

根據3.1節中的振動傳遞機理，從輸入端扭矩波動及齒輪傳動誤差兩方面來研究振動在系統中的傳遞特性.

3.2.1 齒輪傳遞誤差激勵的振動特性

由于齒輪嚙合時變剛度具有明顯的周期性，故可將傳遞誤差以齒輪嚙合頻率進行傅里葉級數展開為

式中，Ta為平均傳遞誤差;Ti為諧波幅值，i為諧波階數;ω為齒輪嚙合頻率;Φi為諧波相角.

以斜齒輪嚙合傳遞誤差諧波為激勵，基于節點的思想分析各軸段及縮聚節點處的響應.圖10為傳遞誤差的諧波幅值圖，表2為相關的傳遞誤差諧波數據.

圖10 傳遞誤差的諧波幅值Fig.10 Harmonic value of transmission error

輸入軸、中間軸、輸出軸的節點劃分示意見圖11.節點的劃分是根據部件連接位置、軸肩位置確定的.輸入軸的節點從左到右依次是Node1～Node12，中間軸的依次為Node1～Node9，輸出軸的依次為Node1～Node11.

圖11 各軸段的節點劃分Fig.11 Node division of each shaft section

限于篇幅，僅給出傳遞誤差一次諧波激勵下軸段軸承處節點的響應，若進行后續的軸段優化，則需求取其他節點處的響應.輸入軸的速度為1000 rad/min，輸入功率為0.6 kW.考慮齒輪嚙合傳遞誤差激勵，振動通過齒輪軸-軸承的路徑傳遞給箱體.圖12給出了輸入軸、中間軸、輸出軸箱體縮聚節點處在0～5 kHz頻率范圍內的加速度響應.

圖12 縮聚節點處的加速度響應Fig.12 Accelerated speed response of reduction nodes

理想情況下，同一軸兩側軸承處的動態響應一致，這樣系統運行比較平穩，不會產生額外的擾動，也便于振動的控制.從圖12中可以看出，在0～1.5 kHz頻段輸入軸軸承的縮聚節點處動態特性幾乎一致，1.5～4.5 kHz頻段動態特性相差較大，4.5～5.0 kHz頻段的動態特性幾乎趨于一致.對于中間軸軸承處的縮聚節點，可以看出縮聚節點3和5的動態加速度響應在0～5kHz頻段內幾乎趨于一致.對于輸出軸軸承處的縮聚節點4和6來說，在0～3 kHz頻段內動態加速度響應趨勢比較一致，3～5 kHz頻段內，兩節點的加速度響應不一致.

圖13給出了輸入、中間、輸出軸三者軸承內外圈處的動態加速度響應.從圖13中可以看出，輸入軸和中間軸處的軸承內圈動響應經過滾動體傳遞到外圈時，縮聚節點動響應得到衰減，軸承起到了隔振的作用.而在輸出軸軸承外圈處的響應在0～4 kHz頻段內幾乎沒有被衰減，在4～5 kHz頻段內才在一定程度上衰減，軸承沒有起到隔振作用，可能的原因是軸承選擇不當，承受載荷的能力不足.

圖13 輸入、中間及輸出軸軸承內外圈響應Fig.13 Dynamic response of inner and outer rings of the bearing at input shaft，middle shaft and output shaft

3.2.2 輸入扭矩波動的振動特性

由于動力源的輸出存在一定的轉速波動，導致減速箱輸入軸產生扭矩波動，使得非工作齒輪副中的齒輪不能及時和相應嚙合的齒輪進行嚙合，而是在與其嚙合齒輪的兩嚙合面之間單面敲打或雙面敲打，從而產生出齒輪的敲擊噪聲.圖14給出了在輸入軸扭矩波動的條件下，輸入軸、中間軸、輸出軸三者軸承處縮聚節點在頻率0～10 kHz的動態加速度響應.

從圖14中可以看出，輸入軸扭矩波動的情況下，兩軸承處的縮聚節點加速度響應在1 kHz和2kHz處有偏差，其余頻段基本趨于一致.對于中間軸和輸出軸，在0.8～4kHz頻段內縮聚節點加速度響應有偏差，其余頻段響應趨勢基本一致.

圖14 輸入、中間及輸出軸軸承處縮聚節點響應Fig.14 Response of reduction nodes of bearings at input shaft，middle shaft and output shaft

3.2.3 箱體振動評估

采用四面體單元劃分箱體，單元劃分如圖15所示，單元總計為77 225個，節點數為22 940.單元材料為鑄鐵，彈性模量為1.68×105MPa，密度為7.1 ×103kg/m3，泊松比為0.27.箱體底部全部節點6個自由度約束，作為模型求解的邊界條件.質量矩陣歸一化處理，基于Block Lanzos方法提取箱體的前6階固有頻率如表3所示.

圖15 箱體有限元模型Fig.15 Finite element model of gearbox

表3 箱體前6階固有頻率Table3 The first six natural frequencies of gearbox

對于嚙合誤差傳遞激勵而言，箱體設計根據實際工況要求避開其共振頻率點;對于輸入軸扭矩波動激勵來說，輸入軸、中間軸、輸出軸三者軸承處縮聚節點的加速度響應在8 kHz以后幾乎趨于零，說明對于扭矩波動帶來的振動能量在高頻段以后經過齒輪-軸-軸承就已衰減了，而且該減速器箱體的最低固有頻率為39.0392kHz，不可能引起共振，可見該減速器箱體設計保守，有進一步優化的空間.

4 結論

通過對減速箱三維建模，考慮嚙合時變剛度、嚙合錯位等非線性因素，進行振動傳遞特性的分析，得出以下結論:

1)采用Craig-Bampton縮聚法將箱體進行縮聚作為柔性子結構，提高了計算效率，基于軸段節點思想計算得到縮聚節點處的動態響應，根據相關數據評估了箱體的振動特性，箱體設計保守，有進一步優化的空間.縮聚節點的動態響應為后續的箱體優化提供了激勵條件.

2)由于結構模型所選參數不同，在文中所用方法基礎上得到的軸承處響應與文獻［19-20］中的結果不具有直接相比性，但數據變化的趨勢一致，可以作為一種評估動力結構振動特性的方法.進一步的驗證會在后續的試驗研究中進行.

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