信源數未知情況下基于嵌套陣列的DOA估計算法

沈志博，董春曦，黃 龍，趙國慶

（西安電子科技大學電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室，陜西 西安710071）

0 引言

信號的波達方向（DOA）是電子偵察中需要獲取的一個重要參數［1-2］，也是信號分選、輻射源識別以及定位跟蹤的重要依據［3］。與雷達信號的DOA 估計不同，電子偵察中的DOA 估計沒有信號的先驗信息，并且日益復雜的電磁環境也對現有的DOA 估計方法提出了新的挑戰［4］。傳統的測向方法如最大信號法、比幅法等原理簡單、易于實現，但是精度低、分辨力較差［5-6］，而干涉儀測向法雖然精度較高，但是現代電子對抗環境中輻射源數量多、分布密度大，同時多信號問題嚴重影響了其性能［7］。子空間分解算法，如MUISC算 法［8］、ESPRIT 算 法［9］以 及 其 推 廣 和 改 進 算 法 由 于其超分辨能力以及良好的估計精度而得到了廣泛的應用，但是這類方法是以預知信源的數量等先驗信息為前提的，不正確的信源數估計將可能導致算法的失效，而且有效的陣列孔徑也限制其能夠同時處理的信源個數，因此應用到電子偵察系統中具有一定的局限性。文獻［10］提出的嵌套陣列和文獻［11］的互質陣列雖然有效地擴展了陣列孔徑，但是仍需要較多的信號先驗信息；文獻［12］提出了一種未知信源個數的DOA 估計方法，陣列孔徑損失較大，當信源數較多時，需要陣元數也較多，不易在電子偵察系統中工程實現。

針對上述問題，本文提出了一種基于2級嵌套陣列的DOA 估計方法。首先將協方差矩陣向量化作為新的陣列接收數據，并構造新的協方差矩陣；然后對新的協方差矩陣的每一行構造Toeplitz矩陣，并利用其聯合對角結構生成代價函數；最后通過一維搜索求解出各信源的DOA。該方法能夠在信源數量未知的情況下進行高精度的DOA 估計，并且有效地擴展了陣列孔徑，節省了陣元的數量。

1 陣列模型

2級嵌套陣列結構如圖1所示，陣元數為N 。其中第一級陣元數為N1，陣元間距為d1；第二級陣元數為N2，陣元間距為d2，且滿足d2＝（N1＋1）d1，則第一級陣列陣元位置為｛n1d1，n1＝0，1，…，N1-1｝；第二級陣列陣元位置為｛n2d2-d1，n2＝1，2，…，N2｝。

圖1 2級嵌套陣列結構

假設空間中有K個不相關的窄帶遠場信號分別以方向角θk（k＝1，2，…，K）入射到陣列上，且滿足θk∈（-90°，90°），d1≤λmin／2，λmin為最小信號波長。因此第k個信源的導向矢量可以表示為：

則相應的陣列流形為：

進而得到t時刻的陣列接收數據x（t）為：

式中，s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sK（t）］為K×1 維向量；A 為N×K 維矩陣；n（t）為N×1維高斯白噪聲。

2 算法原理

2.1 陣列孔徑擴展

按照式（3）給出的陣列模型得到T（T ＝M×L）次快拍數據，并將其分為M 段，每段的數據長度為L。假設各信源每段的數據滿足近似平穩條件，即：

則第m 段數據的協方差矩陣為：

進而得到新的陣列接收數據：

式中，Y ＝［y′1，y′2，…，y′M］為2 Ni×M 維陣列接收數據矩陣，P ＝［p1，p2，…，pM］為K×M 維信號矩陣，E ＝［I′1，I′2，…，I′M］為2 Ni×M 維噪聲矩陣。

2.2 信源數未知情況下DOA估計

利用式（9）得到的新的陣列接收數據在信源數未知的情況下進行DOA 估計。首先計算新的陣列接收數據的協方差矩陣：

對協方差矩陣的第n 行進行Toeplitz變換，生成Toeplitz矩陣：

根據文獻［15～16］推導，可得最終的空間譜估計表達式為：

其中：

式中，max eig｛·｝表示矩陣的最大特征值。可以看出，算法是通過一維搜索的方式確定譜峰的位置，Ns為搜索次數；且只需要求取最大特征值即可，故不需要知道確切的信源個數就可以得到所有信號的DOA估計。

3 算法分析

經過上述分析可以得出算法的基本步驟如下：

1）將T 次快拍數據分為M 段，每段長度為L，分別計算協方差矩陣Rm，m ＝1，2，…，M ；

2）向量化協方差矩陣，并去掉冗余的元素，形成新的陣列接收數據y′m，m ＝1，2，…，M ；

3）計算y′m的協方差矩陣；

4）選取R 中的前Ni＋1 行，對每個行向量進行Toeplitz變換，構造Toeplitz矩陣；

5）利用式（13）和式（14）構造矩陣F 和G（θ）；

6）利用式（12）進行譜峰搜索，確定譜峰的位置，進而得到各信源的DOA 估計。

該算法的運算包括陣列擴展前后的協方差矩陣的計算以及矩陣F 和G（θ）的構造，因此其計算量約為該算法不需要預知信源的個數，并且能夠在欠定的條件下進行有效的估計，即能夠同時估計的信源個數大于實際的陣元數。文獻［12］的算法中雖然不需要預知信源數，但是N個陣元最多只能估計（N ＋1）／2個信源，而本文提出的算法利用嵌套陣列有效地擴展了陣列孔徑，因此，N個陣元最多能夠估計的信源個數為：

陣列孔徑擴展后，角度分辨能力和估計精度也得到了相應的提高，與文獻［12］中的算法相比，該算法具有更高的估計精度和分辨力。另外，該算法進行譜峰搜索時選取的是最大特征值，因此對于噪聲具有一定的魯棒性，在低信噪比的情況下也能夠進行正確的估計。

4 仿真分析

本節通過仿真實驗對本文所提出的算法進行分析與驗證。選用角度均方根誤差（RMSE）來描述算法的估計性能，其定義為：

1）仿真實驗1

假設陣元數N ＝5，采用2級嵌套結構，即N1＝2，N2＝3。快拍數T＝8192，數據分為16段（M ＝16），每段長度L ＝512。4個信源分別以到達角-15°、5°、30°和45°入射到陣列上，信噪比為15dB。圖2分別給出文獻［12］算法（虛線）和本文算法（實線）的DOA 估計結果。

圖2 DOA 估計結果（信源數K＝4）

從圖2的結果中可以看出，在5個陣元的情況下，文獻［12］中的算法只能估計出3個信源，而本文算法能夠對4個信源進行正確的估計。由于算法進行了陣列孔徑擴展，增加了自由度，因此能夠在欠定的情況下（信源數大于實際陣元數）進行DOA 估計。

為了進一步驗證算法能夠估計的信源數量，選取8個信源，到達角分別為-55°、-35°、-20°、-5°、5°、20°、30°和45°。圖3給出了信源數K ＝8時的估計結果。

圖3 DOA 估計結果（信源數K＝8）

根據公式（15）所示，5個陣元最多可以估計的信源數為（52-1）／4＋（5-1）／2＝8。而從圖3的結果可以看出，算法能夠對全部8個信源的DOA 進行正確的估計，與理論分析結果一致，從而驗證了算法的正確性。

2）仿真實驗2

針對算法的估計精度進行實驗，選取3個信源，到達角分別為-15°、5°和30°，令信噪比SNR 從-5dB變化到20dB，其它實驗條件與仿真實驗1相同。每個信噪比下進行500次蒙特卡羅實驗，并對文獻［12］和本文算法的均方根誤差與信噪比的關系曲線分別進行描繪，仿真結果如圖4所示。

圖4 不同信噪比下的估計均方誤差比較

文獻［12］算法在SNR低于2.5dB時已無法正確估計3個信源，因此圖中未標出。從圖4可以看出，在陣元數N 相同的條件下，本文算法具有更高的估計精度。

為了進一步驗證算法的DOA 估計精度，圖5 給出了不同信噪比下的估計均方誤差與克拉美羅界（CRB）［17］進行比較的結果，其中CRB（N）表示陣元數為N 的克拉美羅界。

不同信噪比下的的估計均方誤差與CRB比較

從圖5 的仿真結果可以看出，算法的DOA 估計均方誤差隨信噪比變化曲線在CRB（5）和CRB（17）之間。由于算法進行了陣列孔徑擴展，N個陣元擴展后形成一個（N2-1）／2＋N 的虛擬均勻線陣，因此算法的估計精度要優于5個陣元的線陣，而低于17個陣元的線陣的估計精度。

3）仿真實驗3

針對算法分辨力進行實驗，選取2個到達角度相近的信源（15°和16°），陣元數N ＝9，其它實驗條件與仿真實驗1相同，文獻［12］算法（虛線）和本文算法（實線）的DOA 估計結果如圖6所示。

圖6 DOA 分辨力比較

從圖6的仿真結果可以看出，當2個信源角度相近時，文獻［12］算法已經無法區分，而本文算法仍然能夠正確地估計出2個信源的角度，分辨能力更優。由于算法進行了陣列擴展，有效孔徑變大，因此具有更高的DOA 分辨力。

5 結束語

輻射源的DOA 估計在電子偵察中有著重要的研究意義。本文針對信源數未知情況下的DOA 估計問題，提出了一種基于2級嵌套陣列的DOA 估計算法。理論分析和仿真實驗表明，該方法擴展了陣列孔徑，能夠利用較少的陣元個數同時估計多個信源的DOA，并且具有較高的估計精度和分辨力，對信噪比要求也不高。因此，該算法能夠滿足當前電子偵察測向系統的要求。■

［1］Dai JS，Xu X，Zhao D，et al.Direction-of-arrival estimation via real-valued sparse representation［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2013，12：376-379.

［2］蔡晶晶，李鵬，趙國慶，等.RD-MUSIC的二維DOA 估計方法［J］.西安電子科技大學學報，2013，40（3）：81-86.

［3］趙國慶.雷達對抗原理［M］.西安：西安電子科技大學出版社，1999.

［4］Richard WG.電子情報（ELIENT）雷達信號截獲與分析［M］.北京：電子工業出版社，2008.

［5］翟慶偉，王玉，宮兵.波束比幅法測向技術研究［J］.無線電通信技術，2007，33（6）：55-56.

［6］陶海紅，夏南，王楠.單比特寬帶數字接收機的頻域多波束測向技術［J］.電波科學學報，2009，24（1）：83-89，110.

［7］李淳，廖桂生，李艷斌.改進的相關干涉儀側向處理方法［J］.西安電子科技大學學報（自然科學版），2006，33（3）：400-403.

［8］Schmidt RO.Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Trans on Antennas Propag，1986，34（3）：276-286.

［9］RoyR，Paulraj A，Kailath T.ESPRIT-A subspace rotation approach to estimation of parameter of cisoids in noise［J］.IEEE Trans.on Acoustics，Speech and Signal Processing，1986，34（5）：1340-1342.

［10］Pal P，Vaidyanathan P.Nested arrays：A novel approach to array processing with enhanced degrees of freedom［J］.IEEE Trans.on Signal Process.，2010，58（8）：4167-4181.

［11］Vaidyanathan P，Pal P.Sparse sensing with co-prime samplers and arrays［J］.IEEE Trans.on Signal Process.，2011，59（2）：573-586.

［12］Qian C，Huang L，Zeng WJ，et al.Direction-of-arrival es-timation for coherent signals without knowledge of source number［J］.IEEE Sensors Journal，2014，14（9）：3267-3273.

［13］Ma WK，Hsieh TH，Chi CY.DOA estimation of quasistationary signals with less sensors than sources and unknown spatial noise covariance：A Khatri-Rao subspace approach［J］.IEEE Trans.on Signal Process.2010，58（4）：2168-2180.

［14］Han KY，Nehorai A.Nested vector-sensor array processing via tensor modeling［J］.IEEE Trans.on Signal Process，2014，62（10）：2542-2553.

［15］HanFM，Zhang XD.An ESPRIT-like algorithm for coherent DOA estimation［J］.IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2005，4：443-446.

［16］ZengWJ，Li XL，Zhang XD，et al.Direction-of-arrival estimation based on the joint diagonalization structure of multiple fourth-order cumulant matrices［J］.IEEE Signal Processing Letters，2009，16（3）：164-167.

［17］王永良，等.空間譜估計理論與算法［M］.北京：清華大學出版社，2004.