低PAPR的OFDM干擾系統設計與調制單元的FPGA實現

0 引言

OFDM 是一種典型的多載波調制技術，將高速數據流串并轉換成多路低速數據流后調制到相應的多載波上即可得到頻率展寬的多載波信號，在通信和通信對抗領域有著廣泛的應用，如OFDM 通信系統、JTIDS干擾系統。

多載波在某個時刻沿同一方向進行累加，當多個載波信號相位一致恰好均以峰值相加時，OFDM 信號會產生最大的尖峰幅度，信號的瞬時功率就會遠遠大于信號的平均功率，將導致較高的峰均功率比（PAPR）。這就要求系統中的D／A 轉換器、功率放大器等部件有足夠大的動態范圍，這也將導致這些部件的低效率。OFDM 多載波干擾信號的產生同樣會帶來PAPR 較高的問題。當產生的OFDM 多載波干擾信號PAPR 較高時，將會嚴重影響多載波干擾信號的干擾輸出功率，而對于干擾系統最需要考慮的因素就是干擾輸出功率。

根據相位組合優化法，通過帶通濾波器添加傳遞函數的方法直接對噪聲序列信號進行相移，能夠生成帶有初始相位的相位序列，對其進行多載波調制即可得到低PAPR 的OFDM 干擾信號。本文提出了一種低PAPR 的OFDM 干擾系統的硬件實現方案，通過基于CORDIC的基-4FFT 算法設計實現了多載波調制單元，以此完成對相位序列的多載波調制。

1 OFDM 基本原理

OFDM 信號的產生：高速數據流經串并轉換成N路速率較低的并行子數據流，將這N 路并行的子數據流分別調制到對應的子載波上經并串轉換后發射出去。

設一個OFDM 信號包含N個子載波，則其輸出的復數基帶信號可以表示為：

式中， （）X i 為數據符號，N 為子載波的個數，fi＝f0＋i／T，f0為最低子載波頻率，T 為OFDM 符號的持續時間（周期）。 （）s t 的實部對應OFDM 符號的同相分量，虛部對應OFDM 的正交分量。對信號 （）s t 以T／N 的 采 樣 速 率 進 行 采 樣，令t ＝kT／T（k＝0，1，…，N-1） ，即可得：

分析式（2）可得，sk等效為對di進行IDFT 變換，由這N個子載波信號疊加而生成。同樣，接收端則可通過對sk進行DFT 變換來恢復出數據符號di。

根據以上分析可得：可以分別利用IDFT 和DFT運算快速有效地實現OFDM 系統多載波的調制與解調。實際應用OFDM 系統通常采用更加便捷的IFFT／FFT 實現。

2 低PAPR的相位序列

OFDM 多載波信號的PAPR 定義為：信號的峰值功率與均值功率的比值。數學表達式為：

現有的降低多載波干擾信號峰均功率比的方法中，相位優化法即給多載波干擾信號添加合適的相位擾動，得到含有初始相位信息的相位序列，可以在信號無損的情況下降低多載波干擾信號的峰均功率比。1965年Newman提出了著名的Newman相位，多載波信號的PAPR 可以保持在2.6dB 左右。1994年Narahashi和Nojima給出了另一種近似二次解Narahashi相位［1］。

通過帶通濾波器添加傳遞函數的方法可以直接對噪聲序列信號進行相移，生成帶有初始相位的噪聲序列經多載波調制后得到OFDM 干擾信號。以Newman相位為例，帶通濾波器法［2］獲得Newman相位的原理框圖如圖1所示。

頻率信號X（N）在IFFT 之前添加一個帶通濾波器H（W）。其傳輸函數如下：

圖1 帶通濾波器法添加Newman相位原理框圖

將α、w1、w＝2πf 代入H（w），可得：

在基帶信號中，由于子載波的頻率f＝（i-1）／T，代入式（6）可得：

則：

即Newman相位序列。

3 OFDM 干擾系統多載波調制單元設計

本文設計的低PAPR 的OFDM 干擾系統的硬件結構框圖如圖2所示。噪聲序列信號經串并轉換后，經帶通濾波器對序列進行初始相位的添加，帶有初始相位信息的相位序列經多載波調制單元生成低PAPR的OFDM 干擾信號。多載波調制單元是系統的核心模塊，可通過IFFT 來實現，傳統的IFFT／FFT 模塊需要消耗較大的硬件量，為減小運算量和硬件復雜度，本文通過基于CORDIC 的基-4FFT 算法來完成系統的多載波調制單元。

圖2 低PAPR 的OFDM 干擾系統硬件結構框圖

3.1 基-4FFT算法原理

FFT 和IFFT 實現上僅僅相差一個旋轉因子相位符號，結構上具有完全的等效性。所以FFT 的實現方法同樣適應于IFFT。FFT 實現方案通常采用基2、基4、基8等算法，選用的基數越大，運算量越小，但是控制邏輯也就越復雜，硬件實現難度大。在減小運算量和降低硬件量的前提下，方案選用基-4FFT 算法來實現。

設x（n）為N 點有限長序列，其DFT 為：

式中，WN＝exp（-j2π／N），稱為蝶形因子或旋轉因子，由于它具有周期與對稱性，計算N 點DFT，只需要N2次乘法和N N（ ）-1 次加法運算。

基4 算法是在時域上把 x（n） 分解抽取，即將x （n） 分 為x （4m ）、x （4m ＋1） 、x （4m ＋2） 、x 4m（ ）＋3 ，則式（9）可寫為：

令A′＝ X （k） ，B′＝X （k ＋N／4） ，C′＝X（k ＋2 N／4） ，D′＝X （k ＋3 N／4） ，得：

則式（13）即為基-4FFT 蝶形運算公式。可見1個基4蝶形單元只需進行3次復數乘法和8次復數加運算。N 點基-4FFT 算法只需（3／8）Nlb N（ ）-2 次復數乘法和NlbN 次復數加法運算。基-4FFT 蝶形運算結構如圖3所示。

3.2 CORDIC算法原理

圖3 基-4FFT 蝶形運算結構圖

1959年CORDIC算法由Volder等人在美國航空控制系統的設計中首先提出，1971年Walter將其推廣到初等函數的運算中。CORDIC 算法采用加減與左移右移的方法來實現復雜的算法，有利于硬件的實現，非常適合作為信號處理的模塊單元。其基本思想是：將要旋轉的目標角度分解成一系列微旋轉角度后，以這些微旋轉角度不停地旋轉，最終逼近目標角度θ［3］。其原理圖如圖4所示。

圖4 CORDIC算法原理圖

可以看出將點（x0，y0）旋轉一個角度θ，得到點（x1，y1），那么有旋轉方程：

旋轉的角度θ 由多個微旋轉角度（θ＝θ1＋θ2＋…＋θi＋… ）組成，令第i次旋轉的角度為θi，則第i次旋轉得到的旋轉方程為：

由式（15）可以得出其矩陣運算只需要3次乘法運算，令tanθi＝si2-i，則cosθi＝（1＋2-2i）-1／2。其中，si＝±1表示旋轉角度的方向，si＝1表示角度順時針轉動，si＝-1 表示角度逆時針轉動。式（15）中有關tanθi的乘法操作就可以轉化成簡單的移位操作，整個乘法只剩下系數項cosθi。由于cosθi的值與未旋轉角度θi無關，隨著迭代次數的增加，cosθi將收斂于1個常數K，即：

令θi為第i次旋轉后未旋轉角度，則：

式中，θi為第i次旋轉后未旋轉角度，θi＋1為第i＋1次旋轉后未旋轉角度，siarctan2-i為第i 次旋轉的角度。當θi＋1趨近于0 時，表示所需旋轉的角度旋轉完畢。整個過程只需進行移位和加減運算。

3.3 CORDIC算法在多載波調制中的應用

數據X0的離散傅里葉變換（DFT）為：

設X0＝x0＋j y0，Xk＝xk＋j yk，將＝exp（-j2π／Nnk）代入得：

xk的實部和虛部分別為：

式（18）中數據X0與旋轉因子的相乘可用向量的旋轉表示，即將X0旋轉了θ＝-2nkπ／N。因此在硬件實現FFT（即OFDM 系統的多載波調制）時，只需要將θ＝-2nkπ／N 的值存儲到存儲器RAM 中，多載波調制中的旋轉因子單元即可利用CORDIC 算法的旋轉移位來實現。

CORDIC算法實現多載波調制單元的CORDIC基-4FFT 蝶形運算結構如圖5所示。

5 多載波調制單元的CORDIC基-4FFT 蝶形運算結構圖

CORDIC 算法所能旋轉的最大角度為θmax＝無法覆蓋整個周期，將旋轉角度的旋轉范圍定位為［0 ，π／2］，當所需旋轉的角度不在這個范圍時，可通過預旋轉來處理［4］。具體操作如表1所示。

表1 旋轉角度的預旋轉操作

4 仿真分析與實現

本文所用FPGA 為Altera公司的Stratix II系列的EP2S90F1020C3 器件，時鐘頻率為100MHz。在Quartus II環境下進行仿真實現了OFDM 干擾系統的多載波調制單元，仿真結果如圖6 所示。運用CORDIC算法的旋轉移位代替了FFT 算法的復數乘法運算，僅占用了1499個邏輯塊、991個專用寄存器和0個加法器，運算量和運算復雜度都大為降低。

圖6 CORDIC算法實現多載波調制單元時序仿真波形圖

系統中采用Newman相位序列和Narahashi相位序列經多載波調制后，得到的OFDM 多載波干擾信號PAPR 的值如圖7 所示。傳統的降低OFDM 信號PAPR 的方法會帶來信號非線性失真、頻譜擴展干擾、帶內信號畸變、硬件實現難度及計算量大等問題。相位組合優化法只是改變噪聲序列信號相位，能夠動態優化系統PAPR 且硬件實現復雜度低，不會帶來上述問題。IFFT 變換需要較多次復雜的復數乘法運算，運算量和硬件量較大。基于CORDIC 的基-4FFT 算法利用CORDIC算法的移位、加減運算代替復雜的復數乘法運算，來實現對相位序列的多載波調制，能夠有效降低系統的運算量和硬件量。

圖7 不同初始相位序列對應PAPR 的值

5 結束語

本文根據OFDM 可以產生頻率擴展的多載波干擾信號的原理，給出了一種低PAPR的OFDM干擾系統，并通過基于CORDIC的基-4FFT 算法設計實現了系統的多載波調制單元。在生成低PAPR 的OFDM 干擾信號的同時減少了運算量和硬件復雜度，降低了系統對D／A 轉換器、功率放大器等其他器件參數的要求，有較好的應用前景。■

［1］Narahashi S，Nojima T.New phasing scheme of N-multiple carriers for reducing peak-to-average power ratio［J］.Electronics Letters，1994，30（17）：1382-1383.

［2］孫銘揚.降低峰均比的方法和具有低峰均比的正交頻分復用系統：中國，200610076003.9［P］.2007-06-20.

［3］Yang J，Ding HW.Design and implementation of OFDM baseband transmission system based on CORDIC algorithm and pipeline FFT［C］∥Proceeding of International Conference on Digital Manufacturing ＆ Automation（ICDMA2012），2012：962-967.

［4］蔚接鎖.基于FPGA 與流水線CORDIC算法的FFT 處理器的實現［D］.天津：天津大學，2009.